A1 - Analysis

In der nachfolgenden Tabelle sind die Bevölkerungszahlen des afrikanischen Staates Mali von 1966 bis 2016 angegeben. Dabei gilt:

$t:\quad$

Zeit in Jahren ab dem Jahr 1966

$N(t):\quad$

Bevölkerungszahl in Millionen

$\color{#fff}{t}$	$\color{#fff}{N(t)}$
$0$	$5,602$
$10$	$6,540$
$20$	$7,895$
$30$	$9,771$
$40$	$13,096$
$50$	$17,858$

Untersuche rechnerisch (ohne Regression) unter Verwendung aller in der Tabelle angegebenen Bevölkerungszahlen, ob es sich um ein exponentielles Wachstum handelt.

(6 BE)

Im Folgenden wird die Entwicklung der Bevölkerungszahlen von Mali (in Millionen) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Jahren ab dem Jahr 1966) jeweils durch die Funktionen $f, g, h, i$ und $j$ beschrieben.

2.1

Berechne unter Verwendung der Wertepaare für die Jahre 1966 und 1996 eine Näherungsfunktion $f$ mit $f(t) = a \cdot \mathrm e^{k\cdot t}$ für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen.

(5 BE)

2.2

Bestimme den Wert des folgenden Terms und erläutere dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.

$\begin{array}[t]{rll} & \left(N(0) - f(0)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(10) - f(10)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(20) - f(20)\right)^2 \\[5pt] +& \left(N(30)-f(30)\right)^2\\[5pt] \end{array}$

Falls du die Funktion $f$ in Aufgabe 2.1 nicht berechnen konntest, verwende stattdessen die Ersatzfunktion $f_e$ mit $f_e(t) = 5,35 \cdot \mathrm e^{0,02 \cdot t}.$

(6 BE)

3.1

Bestimme unter Verwendung aller Wertepaare aus der Tabelle mittels Regression eine ganzrationale Funktion dritten Grades $i$ mit $i(t) = a \cdot t^3 + b \cdot t^2 + c \cdot t + d$ für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen.

(4 BE)

3.2

Alternativ kann die Entwicklung der Bevölkerungszahlen durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 5,236 \cdot \mathrm e^{0,023 \cdot t}$ bzw. durch die Funktion $h$ mit $h(t) = 5,602 \cdot \mathrm e^{0,013 \cdot t + 0,0002 \cdot t^2}$ beschrieben werden.
Ermittle den Wert des Terms $\dfrac{1}{50}\displaystyle\int_{0}^{50} \,\bigg \vert \,g(t)-h(t) \,\bigg \vert \, \;\mathrm dt.$
Deute diesen Wert im Sachzusammenhang und erläutere hierbei auch die Bedeutung der Betragsstriche innerhalb des Terms.

(7 BE)

Das Bevölkerungswachstum Malis ist auf lange Sicht beschränkt. Das beschränkte Wachstum soll durch die Funktion $j$ mit $j(t) = 30,5 - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot t}$ beschrieben werden.

4.1

Erläutere die Bedeutung der beiden hier angegebenen Bedingungsgleichungen zur Ermittlung der Parameter $A$ und $m$ jeweils im Sachzusammenhang.

$h(50) = 30,5 - A \cdot \mathrm e^{- m \cdot 50}$

$\(h$

(4 BE)

Im Folgenden seien $A=125,12$ und $m=0,0456$ vorgegeben.

4.2

Ermittle den Grenzwert, gegen den die Bevölkerungszahlen bei Modellierung durch die Funktion $j$ auf lange Sicht streben.

(3 BE)

4.3

Ermittle für die beiden Funktionen $h$ und $j$ jeweils die Bevölkerungszahl im Jahr 2066 und beurteile die Ergebnisse im Sachzusammenhang.

(5 BE)

Alle Daten sind entnommen aus: http://countrymeters.info/de/Mali (abgerufen am 10.07.2017).

Überprüfen der Faktoren zwischen gleichgroßen Zeitsprüngen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{N(10)}{N(0)}&=& \dfrac{6,540}{5,602} \\[5pt] &\approx& 1,167 \\[10pt] \dfrac{N(20)}{N(10)}&=& \dfrac{7,895}{6,540} \\[5pt] &\approx& 1,207 \\[10pt] \dfrac{N(30)}{N(20)}&=& \dfrac{9,771}{7,895} \\[5pt] &\approx& 1,238 \\[10pt] \dfrac{N(40)}{N(30)}&=& \dfrac{13,096}{9,771} \\[5pt] &\approx& 1,340 \\[10pt] \dfrac{N(50)}{N(40)}&=& \dfrac{17,858}{13,096} \\[5pt] &\approx& 1,364 \\[10pt] \end{array}$

Im Abstand von $10$ Jahren wächst die Bevölkerungszahl immer um einen ähnlichen Faktor. Es kann also näherungsweise von einem exponentiellen Wachstum ausgegangen werden.

2.1

Durch Einsetzen der Wertepaare für die Jahre 1966 und 1996 folgt:

Rechenweg anzeigen

$a = 5,602$

Rechenweg anzeigen

$k\approx 0,019$

Eine Näherungsfunktion für die Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahlen ist somit durch $f(t)= 5,602\cdot \mathrm e^{0,019\cdot t}$ gegeben.

2.2

Rechenweg anzeigen

$...\approx 0,161$

Der Term gibt die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den tatsächlichen Bevölkerungszahlen und denen von der Modellfunktion $f$ berechneten Zahlen im Zeitraum von 1966 bis 1996 an.

3.1

TI-nspire CAS

Eintragen der Wertepaare im Listen & Spreadsheet-Menü des CAS und anschließendes Durchführen der kubischen Regression liefert die Ergebnisse wie folgt:

menu $\to$ 4: Statistik $\to$ 1: Statistische Berechnungen $\to$ 7: kubische Regression

Es ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} a&\approx& 7,3\cdot 10^{-5} \\[5pt] b&\approx& -6,5\cdot 10^{-4} \\[5pt] c&\approx& 0,1 \\[5pt] d&\approx& 5,6 \\[5pt] \end{array}$

Kubische Regression liefert somit $i(t)= 7,3\cdot 10^{-5}\cdot t^3$ $- 6,5 \cdot 10^{-4}\cdot t^2$ $+ 0,1\cdot t +5,6.$

Casio Classpad II

Eintragen der Wertepaare im Tabellenkalkulationsmenü und anschließendes Markieren beider Spalten macht die kubische Regression wie folgt möglich:

CALC $\to$ Regressionen $\to$ kubische Reg.

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a&\approx& 7,3\cdot 10^{-5} \\[5pt] b&\approx& -6,5\cdot 10^{-4} \\[5pt] c&\approx& 0,1 \\[5pt] d&\approx& 5,6 \\[5pt] \end{array}$

Kubische Regression liefert somit $i(t)= 7,3\cdot 10^{-5}\cdot t^3$ $- 6,5 \cdot 10^{-4}\cdot t^2$ $+ 0,1\cdot t +5,6.$

3.2

Wert des Terms ermitteln

TI nspire CAS:

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

Casio Classpad II:

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Es ergibt sich:

$\dfrac{1}{50}\displaystyle\int_{0}^{50}\left|g(t)-h(t)\right|\;\mathrm dt$ $\approx \dfrac{1}{50}\cdot 17,49$ $= 0,3498$

Term im Sachzusammenhang deuten

Die Funktion $k$ mit $k(t)= \left|g(t)-h(t) \right|$ entspricht dem Betrag der Differenzenfunktion von $g$ und $h.$
Diese positiven Differenzen werden durch das Integral für $0\leq t \leq 50$ summiert und anschließend durch die Länge des Intervalls geteilt.
Insgesamt gibt der Wert also an, um wieviel die beiden Modelle im Schnitt voneinander abweichen, nämlich um ca. $0,3498$ Millionen Menschen zwischen 1966 und 2016.

4.1

$h(50)= 30,5-A\cdot \mathrm e^{-m\cdot 50}$
Der Funktionswert $j(50)$ wird mit $h(50)$ gleichgesetzt. Die Bevölkerungszahl der Modellierung mit Hilfe von $j$ soll also im Jahr 2016 der von $h$ entsprechen.
$\(h$
Hier wird $\(h$ mit $\(j$ gleichgesetzt. Die Änderungsrate der Bevölkerungszahl im Jahr 2016 soll bei beiden Modellierungen also gleich sein.

4.2

Rechenweg anzeigen

$...=30,5$

Auf lange Sicht strebt die Bevölkerungszahl in Mali bei Modellierung durch die Funktion $j$ somit gegen $30,5$ Millionen.

4.3

Bevölkerungszahlen ermitteln

Das Jahr 2066 entspricht in der Modellierung $t=100.$ Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} h(100)&\approx& 151,89 \\[10pt] j(100)&=& 29,19 \\[5pt] \end{array}$

Bevölkerungszahlen im Sachzusammenhang beurteilen

Bei der Modellierung mit der Funktion $h$ würde die Bevölkerungszahl innerhalb von einhundert Jahren von $5,602$ Millionen auf über $150$ Millionen, das dreißigfache des Ursprungswertes, anwachsen. Es könnte zu Platzproblemen kommen, Ausbrüche von Krankheiten und Nahrungsknappheit sind realistisch.
Bei der Modellierung mit der Funktion $j$ verfünffacht sich die Bevölkerungszahl innerhalb von einhundert Jahren. Dies entspricht immer noch einem rapiden Wachstum, ist aber schon deutlich realitätsnäher.