C2.1 - Stochastik

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. $10 \,\%$ der Pakete haben das Ziel $A,$ $7 \,\%$ das Ziel $B.$ Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

1.1

Bestimme unter Angabe einer geeigneten Zufallsvariablen $X$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Paketen

genau neun das Ziel $B$ haben,

weniger als neun das Ziel $B$ haben.

(3 BE)

1.2

Unter 100 zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel $B$ .
Berechne die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die Anzahl von Paketen mit dem Ziel $B$ unter 100 zufällig ausgewählten Paketen.

(3 BE)

1.3

Im Paketzentrum werden 20 Pakete zufällig ausgewählt.

1.3.1

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 20 ausgewählten Paketen keines das Ziel $C$ hat, beträgt etwa $54 \,\%$ . Berechne den Anteil der Pakete mit dem Ziel $C$ unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden.

(3 BE)

1.3.2

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang kann mit dem Term $0,9^{14} \cdot \sum_{ i =0}^3\left(\begin{array}{l}6 \\ i \end{array}\right) \cdot 0,1^{i} \cdot 0,9^{6- i}$ berechnet werden. Gib ein passendes Ereignis an.

(2 BE)

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen. $5 \,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10 \,\text{kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel $A$ sind $8 \,\%$ schwer. Weiterhin haben $10 \,\%$ der Pakete das Ziel $A$ und $7 \,\%$ das Ziel $B$ .
Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S:$

„Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z:$

„Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

2.1

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

2.2

Untersuche, ob der Anteil der Pakete mit dem Ziel $A$ unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den Paketen, die nicht schwer sind.

(3 BE)

2.3

Von den Paketen, die das Ziel $B$ haben, sind $2 \,\%$ schwer. Entscheide, ob der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel $A$ noch das Ziel $B$ haben, kleiner als $5 \,\%$ , gleich $5 \,\%$ oder größer als $5 \,\%$ ist. Begründe deine Entscheidung, ohne diesen Anteil zu berechnen.

(3 BE)

2.4

Im Paketzentrum wird ein schweres Paket zufällig ausgewählt und in einen Lkw verladen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um ein Paket handelt, das nicht das Ziel $A$ hat.

(3 BE)

2.5

Im Rahmen der Sortierung werden die Pakete in zufälliger Reihenfolge ausgewählt und gewogen.
Berechne die Anzahl der Pakete, die mindestens gewogen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90 \,\%$ mindestens ein schweres Paket darunter ist.

(4 BE)

2.6

Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der schweren Pakete unter insgesamt $n$ zufällig ausgewählten Paketen an. Im Material ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ für einen bestimmten Wert von $n$ dargestellt. Hierbei ist der Erwartungswert $\mu$ eine natürliche Zahl. Bestätige mithilfe des Materials, dass $P (10 \leq Y \leq 12) \lt 0,4$ gilt.
Bestimme die Gesamtzahl $n$ der Pakete.

Material

(5 BE)

Auf einem Rollcontainer befinden sich 100 Pakete, darunter 30 Pakete für den Eulerplatz, 45 Pakete für die Gaußstraße und 25 Pakete für den Leibnizweg. Die Pakete sind im Container zufällig angeordnet.
Ein Paketzusteller lädt 5 Pakete vom Container; darunter befinden sich 3 Pakete für den Eulerplatz und 2 Pakete für den Leibnizweg. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis werden 4 Ansätze aufgestellt.

$(1)$

$\dfrac{25}{100} \cdot \dfrac{24}{99} \cdot \dfrac{30}{98} \cdot \dfrac{29}{97} \cdot \dfrac{28}{96}$

$(2)$

$\dfrac{\left(\begin{array}{c}30 \\ 3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}25 \\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}100 \\ 5\end{array}\right)}$

$(3)$

$10 \cdot \dfrac{30}{100} \cdot \dfrac{29}{99} \cdot \dfrac{28}{98} \cdot \dfrac{25}{97} \cdot \dfrac{24}{96}$

$(4)$

$\left(\begin{array}{l}5 \\ 3\end{array}\right) \cdot 0,3^3 \cdot 0,25^2$

Entscheide für jeden der Ansätze, ob er richtig oder falsch ist, und begründe jeweils deine Entscheidung.

(8 BE)

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1.1

Sei $X$ die Anzahl der Pakete, welche das Ziel $B$ haben.

$X$ ist binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,07.$

Wahrscheinlichkeit, dass genau neun Pakete das Ziel $B$ haben:

$P(X=9)\approx 0,104 = 10,4\,\%$

Wahrscheinlichkeit, dass weniger als neun Pakete das Ziel $B$ haben:

$P(X\lt 9)=P(X\leq8) \approx 0,734=73,4\,\%$

1.2

1. Schritt: Erwartungswert berechnen

$E(X)=n\cdot p=100\cdot 0,07=7$

2. Schritt: Prozentuale Abweichung $p$ bestimmen

$p=\dfrac{100\,\% \cdot 9}{7}-100\,\% \approx 28,57\,\%$

1.3.1

Sei $X$ die Anzahl der Pakete, welche das Ziel $C$ haben.

$X$ ist binomialverteilt mit $n=20$ und $p.$

$P(X=0)\approx 54\,\%$

Mit dem CAS folgt:

Für $p=0,03$ ergibt sich $P(X=0)\approx 0,544= 54,4\,\%$

Somit haben $3\,\%$ der angelieferten Pakete das Ziel $C.$

1.3.2

Von 20 Paketen haben die ersten 14 Pakete nicht das Ziel $A.$

Von den restlichen 6 Paketen haben höchstens 3 Pakete das Ziel $A.$

	$S$	$\overline{S}$	Gesamt
$Z$	$0,8\,\%$	$9,2\,\%$	$10\,\%$
$\overline{Z}$	$4,2\,\%$	$85,8\,\%$	$90\,\%$
Gesamt	$5\,\%$	$95\,\%$	$100\,\%$

2.2

Anteil der Pakete $A$ unter den schweren Paketen:

$p=\dfrac{100\,\%\cdot 0,008}{0,05}=16\,\%$

Anteil der Pakete $A$ unter den Paketen, die nicht schwer sind:

$p=\dfrac{100\,\%\cdot 0,092}{0,95}\approx 9,7\,\%$

Der Anteil der Pakete $A$ unter den schweren Paketen ist folglich nicht genauso groß wie der Anteil unter den Paketen, die nicht schwer sind, sondern größer als dieser.

2.3

Unter allen Paketen ist der Anteil derer mit dem Ziel A größer als der Anteil derer mit dem Ziel B. Damit ist der Anteil der schweren Pakete unter denen mit den Zielen A und B insgesamt größer als $5 \%$ . Der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, ist also kleiner als $5 \%.$

$0,1 \cdot 0,08 +0,07 \cdot 0,02 +0,83 \cdot h= 0,05$

Aufgelöst nach $h$ ergibt sich: $h=\dfrac{0,05-0,008-0,0014}{0,83}$ $\approx 0,049 \approx 4,9 \%$

2.4

$\begin{array}[t]{rll} P&=& \dfrac{100\,\%\cdot P(S,\overline{Z})}{P(S)}&\\[5pt] &=& \dfrac{100\,\%\cdot0,042}{0,05}&\\[5pt] &=& 0,84&\\[5pt] &=& 84\,\% \end{array}$

2.5

$X$ beschreibt die Anzahl der schweren Pakete.

$X$ ist binomialverteilt mit $n$ und $p=0,05.$

Es soll gelten: $P(X\geq1)\geq 0,9$

Dies entspricht: $P(X=0)\lt 0,1$

Durch Ausprobieren verschiedener Werte von $n$ folgt:

Für $n=44$ ergibt sich $P(X=0)\approx 0,104$

Für $n=45$ ergibt sich $P(X=0)\approx 0,099$

Es müssen also mindestens 45 Pakete gewogen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ ein schweres Paket darunter ist.

2.6

Wenn $P(10\leq Y \leq 12)\geq 0,4$ gelten würde, müssten die Säulen des Diagramms für die Werte 10 bis 12 durchschnittlich etwa $0,133$ betragen.

Aus dem Material kann jedoch entnommen werden, dass dies nicht der Fall ist.

Folglich muss gelten: $P(10\leq Y \leq 12)\lt 0,4$

Gesamtzahl $n$ bestimmen

Dem Material kann der Erwartungswert $\mu=10$ entnommen werden.

Mit $\mu=n\cdot p$ und $p=0,05$ folgt:

$n=\dfrac{\mu}{p}=\dfrac{10}{0,05}=200$

Die Gesamtzahl $n$ der Pakete beträgt somit 200.

Ansatz $(1)$

Dieser Ansatz ist falsch.

Es wird zwar berücksichtigt , dass die Gesamtanzahl nach dem Herausnehmen eines Pakets geringer wird, jedoch wird so nur der Fall betrachtet, in welchem zuerst die beiden Pakete des Leibnizwegs und anschließend die 3 Pakete für den Eulerplatz herausgenommen werden.

Ansatz $(2)$

Dieser Ansatz ist richtig.

Es wird die Anzahl möglicher passender Ereignisse berechnet und durch die Gesamtanzahl der Ereignisse geteilt. Dies stellt die gesuchte Wahrscheinlichkeit dar.

Ansatz $(3)$

Dieser Ansatz ist richtig.

Er bezieht sich sowohl auf die abnehmende Gesamtzahl der Pakete im Container als auch auf die Anzahl der Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die Pakete entnommen werden.

Ansatz $(4)$

Dieser Ansatz ist falsch.

Er berücksichtigt nicht, dass sich nach dem Herausnehmen eines Pakets die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Zustellungsorte verändern.

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