B1 - Analytische Geometrie
Anlässlich der documenta 6 wurde 1977 in Kassel ein Laserkunstwerk errichtet, das historisch markante Punkte der Stadt durch deutlich sichtbare geradlinig verlaufende Laserstrahlen verbindet.
In einer anderen Stadt soll ein ähnliches Kunstwerk installiert werden. Die drei geplanten Laserstrahlen verbinden wichtige Punkte der Stadt (Angaben in Metern):
1
Ermittle, ob die Punkte 
und 
in einer Ebene liegen.
(6 BE)
2
Zur Finanzierung des Kunstwerks soll wie damals in Kassel die Länge des längsten Laserstrahles in einzelnen Meterabschnitten für jeweils 
an Kunstfreunde „verkauft“ werden.
2.1
Berechne die Einnahmen unter der Annahme, dass für alle vollen Meterabschnitte des längsten Strahles Käufer gefunden werden.
(4 BE)
2.2
Zeichne die Laserstrahlen in einen Grundriss der Stadt im Maßstab 
ein.
Hierbei liegt die Grundfläche der Stadt in der 
-Ebene und die 
-Achse zeigt senkrecht zur -Ebene in Richtung des Betrachters.
Begründe, warum nicht allein anhand des Grundrisses der längste Strahl ermittelt werden kann.
(5 BE)
3
Die blaue Laserlichtquelle im Funkturm kann stufenlos so gedreht werden, dass sie nicht mehr zum Bahnhof, sondern zum Schloss leuchtet. Schwenkt man die Lichtquelle sehr schnell, nimmt der Beobachter diese Strahlen als Teil einer Ebene wahr.
3.1
Bestimme die Gleichung dieser Ebene in Parameter- und Koordinatenform.
(7 BE)
3.2
Berechne den Winkel, um den die blauen Laserstrahlen im Funkturm schwenken.
(3 BE)
3.3
Im Punkt 
steht ein 50 Meter hoher Kirchturm. Ein künstlerischer Berater des Projekts befürchtet, dass der Kirchturm beim Schwenken die blauen Laserstrahlen unterbricht und die Wirkung des Kunstwerks stört.
Untersuche, ob der Kirchturm im Schwenkbereich der Laserstrahlen steht.
(5 BE)
1
1. Schritt: Parametergleichung aufstellen
Eine Parametergleichung einer Ebene, in der drei der vier gegebenen Punkte liegen, ist beispielsweise:
2. Schritt: Punktprobe durchführen
Der Punkt liegt genau dann in der gleichen Ebene wie 
und 
wenn gilt:
Aus der Gleichung lässt sich folgendes lineare Gleichungssystem aufstellen:
Dieses lineare Gleichungssystem kann mit Hilfe des CAS gelöst werden. Hierzu wird unter 3: Algebra 
7 1 ein lineares Gleichungssystem gewählt und angegeben, dass 3 Gleichungen mit den Variablen 
und 
erstellt werden sollen.
Eingeben der Gleichungen des oben stehenden Gleichungssystems und bestätigen mit Enter liefert, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
Der Punkt liegt folglich nicht in einer Ebene mit den Punkten 
und 
2.1
1. Schritt: Längen der Laserstrahlen berechnen
Die Laserstrahlen entsprechen den Verbindungsvektoren der jeweiligen Punkte in der Tabelle aus der Aufgabenstellung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\mid \overrightarrow{r} \mid &=& \mid \overrightarrow{MB} \mid & \\[5pt]
&=& \left| \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} \right| & \\[5pt]
&=& \sqrt{200^2 + 500^2 + 30^2}& \\[5pt]
&\approx& 539,35
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d786acdb2a4cef0f7608d51923e68789dee71c27dc7d186329b65948c4f643a1?color=5a5a5a)
Die Beträge der Vektoren können alternativ auch mit dem CAS unter dem norm() Befehl bestimmt werden:
2. Schritt: Einnahmen berechnen
Der längste Laserstrahl ist der blaue mit 1403 vollen Metern.
Damit ergibt sich:
![\(E = 1403\cdot 10 = 14030 \;[\,€]\)](https://mathjax.schullv.de/f0461df95a7ca4d80a80d2b6c16f01067e827fdbe9f3da0ae9eb55b2801a66d7?color=5a5a5a)
Die Einnahmen betragen somit 
2.2
Der Maßstab des Grundrisses ist vorgegeben mit 
Es gilt also:
Im folgenden Koordinatensystem entspricht eine Kästchenlänge 
Begründung
Im vorherigen Aufgabenteil wurde bereits die Länge der Vektoren berechnet. Diese wird anhand der 
und 
Koordinaten berechnet und bezieht sich somit auf alle drei Dimensionen.
Der Grundriss der Stadt hingegen stellt nur die -Ebene dar und vernachlässigt die Höhendifferenz der Laserstrahlen. Ein Strahl, der senkrecht vom Boden nach oben zeigt, hätte demnach beispielsweise die Länge Null, obwohl er in Wahrheit viel länger ist.
Für die genaue Länge muss somit auch die -Koordinate der Vektoren betrachtet werden.
3.1
Parameterform aufstellen
Koordinatenform bestimmen
Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren.
Das Kreuzprodukt kann mit dem CAS unter dem crossP()-Befehl, welcher mit 7 C 2 eingefügt werden kann, bestimmt werden:
Hier kannst du das CAS verwenden. Verwende den , welchen du unter findest. Gib beide Vektoren an.
Einsetzen des gekürzten Normalenvektors in die allgemeine Koordinatengleichung liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
E: n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z&=& d&\\[5pt]
-x+6z&=& d
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c80a503cffdab68f2f5dd8f77935d036b7245afbdc2222ba1e1f8209915d5278?color=5a5a5a)
Punktprobe mit 
ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1400+6\cdot 230&=& d & \\[5pt]
-20&=& d
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0d1161e211575d30bbf39b7a1945da4297cc1a8590099877b82fd685e06cbddb?color=5a5a5a)
Damit lautet die Gleichung der Ebene:
3.2
Der Winkel, um den die blauen Laserstrahlen im Funkturm schwenken, entspricht dem Schnittwinkel der beiden Verbindungsvektoren 
und 
Mit der allgemeinen Formel für den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren foglt:
Die blauen Lichtstrahlen schwenken folglich in einem Winkel von ca. 
um den Funkturm.
3.3
Um herauszufinden, ob der Kirchturm in der Ebene liegt, die durch die blauen Laserstrahlen aufgespannt wird, wird eine Gleichung der Geraden aufgestellt, in der der Kirchturm liegt, und der Schnittpunkt mit der Ebene berechnet.
Mit dem Punkt 
ergibt sich für den senkrecht stehenden Kirchturm:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OK}+t\cdot \pmatrix{0\\0\\1} & \\[5pt]
&=& \pmatrix{900\\700\\90} +t\cdot \pmatrix{0\\0\\1} & \\[5pt]
&=& \pmatrix{900\\700\\90+t}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/497471c40a35f30a49c946a0f768c6f1b6894e588798c19d8645e980f9a22468?color=5a5a5a)
Einsetzen des allgemeinen Koordinatenpunkts von 
in die Ebenengleichung 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-x+6z&=& -20 & \\[5pt]
-900+6\cdot (90+t)&=& -20 & \\[5pt]
-900+540+6t&=& -20 & \\[5pt]
-360+6t&=& -20 &\quad \scriptsize \mid\; +360 \\[5pt]
6t&=& 340 &\quad \scriptsize \mid\;:(-6) \\[5pt]
t&\approx& 56,67
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b3b70f1d27223591f2b76cb6cc4e3f1cbad25394c83d54306c7215e87c8194f6?color=5a5a5a)
Durch Einsetzen von in folgt nun:
Der Punkt, in dem sich die Gerade, in der der Kirchturm liegt, und die Ebene, in der die Laserstrahlen geschwenkt werden, schneiden, ist somit gegeben durch 
Da der Kirchturm insgesamt nur 
hoch ist und somit unterhalb der Ebene endet und diese nicht schneidet, steht der Kirchturm folglich nicht im Schwenkbereich der Laserstrahlen.
1
1. Schritt: Parametergleichung aufstellen
Eine Parametergleichung einer Ebene, in der drei der vier gegebenen Punkte liegen, ist beispielsweise:
2. Schritt: Punktprobe durchführen
Der Punkt liegt genau dann in der gleichen Ebene wie und wenn gilt:
Aus der Gleichung lässt sich folgendes lineare Gleichungssystem aufstellen:
Dieses lineare Gleichungssystem kann mit Hilfe des CAS gelöst werden. Hierzu wird unter 3: Algebra 7 1 ein lineares Gleichungssystem gewählt und angegeben, dass 3 Gleichungen mit den Variablen 
und 
erstellt werden sollen.
(Hier wird eine 3. Variable benötigt, da die Dimension des linearen Gleichungssystems sonst nicht mit der Anzahl der Variablen übereinstimmt. Die Variable verändert allerdings nichts, da sie in keiner der 3 Gleichungen vorkommt.)
Eingeben der Gleichungen des oben stehenden Gleichungssystems und bestätigen mit Enter liefert, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
Der Punkt liegt folglich nicht in einer Ebene mit den Punkten und
2.1
1. Schritt: Längen der Laserstrahlen berechnen
Die Laserstrahlen entsprechen den Verbindungsvektoren der jeweiligen Punkte in der Tabelle aus der Aufgabenstellung:
Die Beträge der Vektoren können alternativ auch mit dem CAS unter dem norm() Befehl bestimmt werden:
2. Schritt: Einnahmen berechnen
Der längste Laserstrahl ist der blaue mit 1403 vollen Metern.
Damit ergibt sich:
Die Einnahmen betragen somit
2.2
Der Maßstab des Grundrisses ist vorgegeben mit Es gilt also:
Im folgenden Koordinatensystem entspricht eine Kästchenlänge
Begründung
Im vorherigen Aufgabenteil wurde bereits die Länge der Vektoren berechnet. Diese wird anhand der und Koordinaten berechnet und bezieht sich somit auf alle drei Dimensionen.
Der Grundriss der Stadt hingegen stellt nur die -Ebene dar und vernachlässigt die Höhendifferenz der Laserstrahlen. Ein Strahl, der senkrecht vom Boden nach oben zeigt, hätte demnach beispielsweise die Länge Null, obwohl er in Wahrheit viel länger ist.
Für die genaue Länge muss somit auch die -Koordinate der Vektoren betrachtet werden.
3.1
Parameterform aufstellen
Koordinatenform bestimmen
Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren.
Das Kreuzprodukt kann mit dem CAS unter dem crossP()-Befehl, welcher mit 7 C 2 eingefügt werden kann, bestimmt werden:
Hier kannst du das CAS verwenden. Verwende den , welchen du unter findest. Gib beide Vektoren an.
Einsetzen des gekürzten Normalenvektors in die allgemeine Koordinatengleichung liefert:
Punktprobe mit ergibt:
Damit lautet die Gleichung der Ebene:
3.2
Der Winkel, um den die blauen Laserstrahlen im Funkturm schwenken, entspricht dem Schnittwinkel der beiden Verbindungsvektoren und
Mit der allgemeinen Formel für den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren foglt:
Die blauen Lichtstrahlen schwenken folglich in einem Winkel von ca. um den Funkturm.
3.3
Um herauszufinden, ob der Kirchturm in der Ebene liegt, die durch die blauen Laserstrahlen aufgespannt wird, wird eine Gleichung der Geraden aufgestellt, in der der Kirchturm liegt, und der Schnittpunkt mit der Ebene berechnet.
Mit dem Punkt ergibt sich für den senkrecht stehenden Kirchturm:
Einsetzen des allgemeinen Koordinatenpunkts von in die Ebenengleichung liefert:
Durch Einsetzen von in folgt nun:
Der Punkt, in dem sich die Gerade, in der der Kirchturm liegt, und die Ebene, in der die Laserstrahlen geschwenkt werden, schneiden, ist somit gegeben durch
Da der Kirchturm insgesamt nur hoch ist und somit unterhalb der Ebene endet und diese nicht schneidet, steht der Kirchturm folglich nicht im Schwenkbereich der Laserstrahlen.