A2 - Analysis

Der Kühlturm des Kernkraftwerkes Mülheim-Kärlich soll vom Betreiber abgerissen werden. Deshalb ist eine Abschätzung des anfallenden Bauschutts erforderlich. Der Kühlturm hat eine Höhe von $162\,\text{m}$ und ist aus Stahlbeton gebaut. $1\,\text{m}^3$ des verwendeten Stahlbetons hat eine Masse von $2400\,\text{kg}$ .

Für die folgende Untersuchung soll die waagrecht gemessene Wandstärke des Kühlturms mit $0,5\,\text{m}$ als konstant angenommen werden.

Zur Modellierung betrachten wir den um $90$ ° nach rechts gedrehten Kühlturm. Die äußere Randfunktion kann bei dieser Modellierung näherungsweise durch verschiedene ganzrationale Funktionen dargestellt werden. Durch Rotation des Graphen der äußeren Randfunktion um die $x$ -Achse erhält man die Form des Kühlturms.

Abb. 1

Die folgende Tabelle gibt die Stützpunkte unterschiedlicher Varianten an:

Tabelle anzeigen

Variante A	$P1$		$P3$		$P5$
Variante B	$P1$	$P2$			$P5$
Variante C	$P1$	$P2$	$P3$	$P4$	$P5$
Stützpunkte der äußeren Randfunktion (Höhe $\color{#fff}{\mid}$ Radius)	$(0\,\text{m} \mid 56\,\text{m})$	$(54\,\text{m} \mid 43\,\text{m})$	$(81\,\text{m} \mid 36\,\text{m})$	$(108\,\text{m} \mid 32\,\text{m})$	$(162\,\text{m} \mid 28\,\text{m})$

Zeichne die Stützpunkte der Randfunktion der Variante C in das folgende Koordinatensystem:

(2 BE)

Radius Kuehlturm Kernkraftwerk Hessen Abi 2016

Bestimme geeignete ganzrationale Funktionen $f_A$ und $f_B$ für die in der Tabelle dargestellten Varianten A und B und begründe deinen Ansatz.

Skizziere die Graphen von $f_A$ und $f_B$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1 und vergleiche die Qualität der Annäherung beider Funktionen unter Berücksichtigung aller fünf Stützpunkte.

(12 BE)

3.1

Bestimme unter Verwendung aller angegebenen Stützpunkte näherungsweise eine ganzrationale Randfunktion 3. Grades $f_C$ für die in der Tabelle dargestellte Variante C.

(6 BE)

3.2

Bestimme unter Verwendung der Funktion $f_C$ aus Aufgabenteil 3.1 den minimalen Umfang des Kühlturmes.

Hinweis: Falls $f_c$ nicht bestimmt werden konnte, kann stattdessen die folgende Funktion $h_C$ verwendet werden:

$h_C(x)=...$

Funktion anzeigen

(6 BE)

Um die ermittelte Randfunktion $f_C$ aus Aufgabenteil 3.1 genauer zu untersuchen, wird der folgende Term berechnet:

Term anzeigen

Erläutere diese Rechnung.

Ermittle, welches Ergebnis man erhält, wenn man in der obigen Rechnung die Randfunktion $f_C$ durch die Randfunktion $f_A$ aus Aufgabe 2 ersetzt, und deute die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang.

Hinweis: Falls $f_A$ nicht bestimmt werden konnte, kann stattdessen die Funktion $g_A$ mit $g_A(x)=0,0009145x^2-0,321x+56$ verwendet werden.

(7 BE)

Bestimme zu $f_C$ eine innere Randfunktion $f_i$ , wenn die Wandstärke des Kühlturms wie oben beschrieben $0,5\,\text{m}$ beträgt. Ermittle damit Volumen und Masse des Bauschutts, der bei Abriss der Kühlturmwand entsteht.

Hinweis: Falls $f_C$ nicht bestimmt werden konnte, kann stattdessen die Funktion $h_C$ aus Aufgabenteil 3.2 verwendet werden.

(7 BE)

Bildnachweise

Abb.1: https://de.wikipedia.org/wiki/Kernkraftwerk_Mülheim-Kärlich

Stuetzpunkte Kuehlturm Kernkraftwerk Hessen Mathe Abi 2016

Funktion $f_A$ bestimmen

Da drei Stützpunkte gegeben sind, handelt es sich hierbei um eine quadratische Funktionsgleichung. Eine Funktion höheren Grades würde mehr als drei Stützpunkte benötigen.

Allgemeine quadratische Funktion: $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Anhand der in der Aufgabenstellung gegebenen Stützpunkte kann nun ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} f_A(0)&=& 56 \\[5pt] f_A(81)&=& 36 \\[5pt] f_A(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$

Gleichungssystem aufstellen:

$\begin{array}{} \text{I:}\quad& 0^2 \cdot a- 0 \cdot b + c &=& 56\quad\\ \text{II:}\quad& 81^2 \cdot a + 81 \cdot b + c &=& 36\quad\\ \text{III:}\quad& 162^2 \cdot a + 162 \cdot b + c&=& 28\quad\\ \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

Mathematische Gleichungen und Parameterlösung in einem Computer-Algebra-System.

Es folgen somit $a=\dfrac{2}{2187},$ $b=\dfrac{-26}{81}$ und $c=56.$

Die Funktionsgleichung von $f_A$ folgt also mit:

$f_A(x)=\dfrac{2}{2.187}x^2-\dfrac{26}{81}x+56$

Funktion $f_B$ bestimmen

Analog zur Funktion $f_A$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_B(0)&=& 56 \\[5pt] f_B(54)&=& 43 \\[5pt] f_B(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$

Gleichungssystem aufstellen:

$\begin{array}{} \text{I}\quad& 0^2 \cdot a- 0 \cdot b + c&=& 56\quad\\ \text{II}\quad& 54^2 \cdot a + 54 \cdot b + c&=& 43\quad\\ \text{III}\quad& 162^2 \cdot a + 162 \cdot b + c &=& 28\quad\\ \end{array}$

Mit dem CAS ergibt sich:

Mathematische Gleichungen und Parameterlösung auf einem Bildschirm.

Es folgen somit $a=\dfrac{11}{17496},$ $b=\dfrac{-89}{324}$ und $c=56.$

Die Funktionsgleichung von $f_B$ folgt also mit:

$f_B(x)=\dfrac{11}{17496}x^2-\dfrac{89}{324} x+56$

Graphen skizzieren

Die Funktionen können mit dem CAS angezeigt werden. Durch Erstellen von Wertetabellen mit dem CAS lassen sich außerdem Punkte bestimmen, anhand derer der Graph skizziert werden kann.

Randfunktionen Kohlekraftwerk Hessen Abi 2016

Qualität vergleichen

Es ist zu erkennen, dass der Graph von $f_A$ die qualitativ bessere Annäherung an die fünf Stützpunkte ist, da dieser vier der fünf Stützpunkte besitzt, wohingegen der Graph von $f_B$ einen vergleichsweise hohen Abstand zu den Stützpunkten $P_3$ und $P_4$ hat.

3.1

Die Funktionsgleichung von $f_C(x)$ kann mit Hilfe von kubischer Regression bestimmt werden.

Die Koordinaten der Stützpunkte müssen hierfür im STAT-Menü unter $A$ und $B$ in den Taschenrechner eingespeichert werden.

Mit folgendem Befehl können nun die eingetragen Punkte angezeigt werden:

menu $\to$ 3: Daten $\to$ 6: Schnell Graph

Diagramm mit einer Datenreihe und Punkten in einem Koordinatensystem sowie einer Tabelle.

Mit dem Befehl zur kubischen Regression ergibt sich nun die gesuchte Funktionsgleichung:

Menu $\to$ 4: Analysieren $\to$ 6: Regression $\to$ 5: kubische Regression

Somit ergibt sich für $f_C(x)$ :

$f_C(X)=...$

Funktion anzeigen

Grafik einer kubischen Funktion mit Datenpunkten und einer Kurve im Koordinatensystem.

3.2

Der Umfang ist an der Stelle minimal, an der der Abstand des Graphen der Funktion $f_C$ zur $x$ -Achse minimal ist.

Gesucht ist somit der Tiefpunkt der Funktion $f_C$ .

1.Schritt: Minimum bestimmen

Das Minimum der Funktion $f_C$ kann mit dem CAS bestimmt werden:

Im Menu Funktionsminimum kann durch den Befehl fMin() die vollständige Funktion sowie die Variable $x$ definiert werden und so das Minimum bestimmt werden.

Da der Befehl fMin() eine Annäherung ist, kann außerdem noch ein Startwert angegeben werden, falls ein unerwarteter Wert für ein Minimum ausgegeben wird.

$f\text{Min}(f(x),\;x,\text{Startwert})$

Das Minimum folgt mit $f_C(x_{min})\approx 26,79.$

Mathematische Berechnung mit Funktionen und Werten auf einem Bildschirm.

2.Schritt: Umfang berechnen

Der Wert der $y$ -Koordinate des Tiefpunkts entspricht dem Radius des gesuchten Umfangs.

Mit Hilfe der Umfangsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{min}} &=& 2 \cdot \pi \cdot r_{\text{min}} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 26,79 \\[5pt] &=& 168,33 \, [\,\text{m}] \end{array}$

Der minimale Umfang beträgt somit etwa $168,33$ Meter.

Rechnung erläutern

Die Rechnung quadriert die Differenzen der Funktionswerte von $f_C$ und der jeweiligen $y$ -Werte der Stützpunkte.

Da $f_C$ mit Hilfe der kubischen Regression erstellt wurde, liegen die hierfür verwendeten Stützwerte nicht genau auf dessen Graph.

Die Rechnung in der Aufgabenstellung gibt somit einen Wert für die Genauigkeit von $f_C$ an.

Genauigkeit von $f_A$ ermitteln

Mit dem CAS kann eine Wertetabelle der Funktion $f_A$ erstellt werden. Es folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$G(A)\approx 2,779$

Ergebnisse deuten

Der Wert der Rechnung mit $f_A$ statt $f_C$ liefert mit $2,779$ ein weitaus höheres Ergebnis als der in der Aufgabenstellung gegebene Wert von $0,536$ .

Der Graph von $f_A$ hat somit durchschnittlich einen größeren Abstand zu den Stützpunkten und ist folglich eine ungenauere Annäherung.

Volumen bestimmen

Da die Wandstärke konstant $0,5\,\text{m}$ beträgt, hat die innere Randfunktion $f_i$ den gleichen Verlauf wie $f_C$ und ist lediglich um den Faktor $-0,5$ entlang der $y$ -Achse verschoben:

$f_i(x)= f_C(x)-0,5$

Rechnung anzeigen

Das Volumen der Wand des Kühlturms entspricht dem Volumen des Rotationskörpers zwischen den Graphen von $f_C$ und $f_i.$

Dies kann mit folgender Formel berechnet werden:

$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}((f_C(x))^2 \; dx-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))^2\mathrm \; dx$ Eingeben der Formel und der entsprechenden Funktionsterme von $f_C$ und $f_i$ in den CAS ergibt:

Mathematische Berechnung einer Integralformel auf einem Taschenrechner.

Der Bauschutt hat somit ein Volumen von $19255,23 \text{m}^3.$

Masse berechnen

Aus der Aufgabenstellung kann entnommen werden, dass $1 \text{m}^3$ Bauschutt eine Masse von $2400\text{ kg}$ hat.

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 19255,23\text{ m}^3 \cdot 2400\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}& \\[5pt] &=& 46\, 212\,5 51\text{ kg}& \\[5pt] \end{array}$

Der Bauschutt des Kühlturms wiegt somit $46\,212\,551 \text{ kg }\approx 46213 \text{ t}$ .

Funktion $f_A$ bestimmen

Da drei Stützpunkte gegeben sind, handelt es sich hierbei um eine quadratische Funktionsgleichung. Eine Funktion höheren Grades würde mehr als drei Stützpunkte benötigen.

Allgemeine quadratische Funktion: $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Anhand der in der Aufgabenstellung gegebenen Stützpunkte kann nun ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} f_A(0)&=& 56 \\[5pt] f_A(81)&=& 36 \\[5pt] f_A(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$

Gleichungssystem aufstellen:

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

Mathematische Gleichungen und Variablen a, b, c in einem Textfeld dargestellt.

Für die Parameter ergibt sich folglich:

$a=0,000914495 \approx 0,0009145$

$b=-0,320987654 \approx -0,321$

$c=56$

Die Funktionsgleichung von $f_A$ folgt also mit:

$f_A(x)=0,0009145x^2-0,321x+56$

Funktion $f_B$ bestimmen

Analog zur Funktion $f_A$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_B(0)&=& 56 \\[5pt] f_B(54)&=& 43 \\[5pt] f_B(162)&=& 28 \\[5pt] \end{array}$

Gleichungssystem aufstellen:

Mit dem CAS ergibt sich:

Mathematische Gleichungen und Berechnungen für die Variablen a, b und c.

Für die Parameter ergibt sich folglich:

$a=0,000628715 \approx 0,000629$

$b=-0,274691358 \approx -0,275$

$c=56$

Die Funktionsgleichung von $f_B$ folgt also mit:

$f_B(x)=0,000629x^2-0,275x+56$

Graphen skizzieren

Die Funktionen können mit dem CAS angezeigt werden. Durch Erstellen von Wertetabellen mit dem CAS lassen sich außerdem Punkte bestimmen, anhand derer der Graph skizziert werden kann.

Qualität vergleichen

3.1

Die Funktionsgleichung von $f_C(x)$ kann mit Hilfe von kubischer Regression bestimmt werden.

Die Koordinaten der Stützpunkte müssen hierfür im Spreadsheet unter $A$ und $B$ in den Taschenrechner eingespeichert werden.

Durch Markieren aller Koordinaten und anschließendem Klicken auf das Punkte-Symbol oberhalb des Bildschirms können nun die eingetragenen Punkte angezeigt werden.

Tabelle mit Daten und zugehörigem Diagramm in einer Softwareanwendung.

Aus dem oberen Bildschirmmenu kann die Regression mit $x^3$ ausgewählt werden, sodass die Parameter $a,b,c$ und $d$ angezeigt werden.

Einfügen in die allgemeine Funktion dritten Grades ergibt:

$f_C(X)=...$

Funktion anzeigen

Mathematische Gleichung mit einem Mindestwert und einer x-Variable.

3.2

Der Umfang ist an der Stelle minimal, an der der Abstand des Graphen der Funktion $f_C$ zur $x$ -Achse minimal ist.

Gesucht ist somit der Tiefpunkt der Funktion $f_C$ .

1.Schritt: Minimum bestimmen

Das Minimum der Funktion $f_C$ kann mit dem CAS bestimmt werden:

Im Menu Funktionsminimum kann durch den Befehl fMin die vollständige Funktion sowie die Variable $x$ definiert werden und so das Minimum bestimmt werden.

Da der Befehl fMin() eine Annäherung ist, kann außerdem noch ein Startwert angegeben werden, falls ein unerwarteter Wert für ein Minimum ausgegeben wird.

$f\text{Min}(f(x),\;x,\text{Startwert})$

Mathematische Funktion mit Minima und Variablen. Graphische Darstellung eines mathematischen Problems.

Das Minimum folgt mit $f_C(x_{min})\approx 26,79.$

2.Schritt: Umfang berechnen

Der Wert der $y$ -Koordinate des Tiefpunkts entspricht dem Radius des gesuchten Umfangs.

Mit Hilfe der Umfangsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{min}} &=& 2 \cdot \pi \cdot r_{\text{min}} \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 26,79 \\[5pt] &=& 168,33 \, [\,\text{m}] \end{array}$

Der minimale Umfang beträgt somit etwa $168,33$ Meter.

Rechnung erläutern

Die Rechnung quadriert die Differenzen der Funktionswerte von $f_C$ und der jeweiligen $y$ -Werte der Stützpunkte.

Da $f_C$ mit Hilfe der kubischen Regression erstellt wurde, liegen die hierfür verwendeten Stützwerte nicht genau auf dessen Graph.

Die Rechnung in der Aufgabenstellung gibt somit einen Wert für die Genauigkeit von $f_C$ an.

Genauigkeit von $f_A$ ermitteln

Mit dem CAS kann eine Wertetabelle der Funktion $f_A$ erstellt werden. Es folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$G(A)\approx 2,779$

Ergebnisse deuten

Der Wert der Rechnung mit $f_A$ statt $f_C$ liefert mit $2,779$ ein weitaus höheres Ergebnis als der in der Aufgabenstellung gegebene Wert von $0,536$ .

Der Graph von $f_A$ hat somit durchschnittlich einen größeren Abstand zu den Stützpunkten und ist folglich eine ungenauere Annäherung.

Volumen bestimmen

Da die Wandstärke konstant $0,5\,\text{m}$ beträgt, hat die innere Randfunktion $f_i$ den gleichen Verlauf wie $f_C$ und ist lediglich um den Faktor $-0,5$ entlang der $y$ -Achse verschoben:

$f_i(x)= f_C(x)-0,5$

Rechnung anzeigen

Das Volumen der Wand des Kühlturms entspricht dem Volumen des Rotationskörpers zwischen den Graphen von $f_C$ und $f_i.$

Dies kann mit folgender Formel berechnet werden:

$V= \pi \displaystyle\int_{a}^{b}((f_C(x))^2 \; dx-\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f_i(x))^2\mathrm \; dx$

Eingeben der Formel und der entsprechenden Funktionsterme von $f_C$ und $f_i$ in den CAS ergibt:

Mathematische Gleichung mit Integrationsberechnung und Ergebnis.

Der Bauschutt hat somit ein Volumen von $19255,23 \text{m}^3.$

Masse berechnen

Aus der Aufgabenstellung kann entnommen werden, dass $1 \text{m}^3$ Bauschutt eine Masse von $2400\text{ kg}$ hat.

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 19255,23\text{ m}^3 \cdot 2400\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}& \\[5pt] &=& 46\, 212\,5 51\text{ kg}& \\[5pt] \end{array}$

Der Bauschutt des Kühlturms wiegt somit $46\,212\,551 \text{ kg }\approx 46213 \text{ t}$ .