B1 - Analysis

An einem geradlinigen Küstenabschnitt Niedersachsens soll ein Deich älteren Baujahrs an die zukünftigen Anforderungen des Küstenschutzes angepasst werden.

Bei allen Modellierungen wird die Profillinie des Querschnitts des Deichs und - falls vorhanden - eines Grabens betrachtet. Dabei ist bei der Betrachtung des Querschnitts links des Deichs die Seeseite und rechts des Deichs die Landseite. Der Graben schließt sich auf der Seeseite an den Deich an. Das horizontale ebene Gelände links des Grabens und rechts des Deichs liegt in der Modellierung auf Höhe der $x$ -Achse.

Die Funktionswerte der folgenden Funktionen geben die Höhen bzw. Tiefen des Deichs bzw. des Grabens in Bezug auf dieses ebene Gelände an.

Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter.

Für die Planung lässt sich die bestehende Profillinie des alten Deichs mit einem seeseitig vorgesetzten Graben durch den Graphen der Funktion $d$ mit $d(x) = -\dfrac{1}{30}\cdot x\cdot (x-2)\cdot (x-10)$ für $0\leq x\leq 10$ modellieren.

1.1

Beschreibe die Bedeutung der vier Faktoren von $d(x)$ für den Graphen der Funktion $d.$

(3 BE)

1.2

Bestimme die Breite und die Höhe des Deichs sowie die Breite und die Tiefe des Grabens.

(6 BE)

1.3

Skizziere die Profillinie des alten Deichs und des Grabens in das Koordinatensystem in Abbildung 1.

(2 BE)

Eine Bürgerinitiative entwickelt eine Alternative zu dem bestehenden Deich. Die Profillinie des alternativen Deichs wird dabei durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades in einem bestimmten Intervall modelliert.

Es sollen folgende Bedingungen gelten:

Die Profillinie beginnt auf der Landseite an der Stelle $x = 8.$ Der höchste Punkt $H$ der Profillinie liegt bei $H(4 \mid 3,6).$ An der Stelle $x=-3$ besitzt die Profillinie eine Steigung von $30\,\%.$

Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion $g.$

(6 BE)

Im Folgenden wird die Profillinie eines neuen Deichs ohne vorgesetzten Graben durch den Graphen der Funktion $f$ mit

$f(x) = -\dfrac{1}{400}\cdot x^3 - \dfrac{3}{100}\cdot x^2 +\dfrac{1}{4} \cdot x +3$

in einem bestimmten Intervall modelliert.

3.1

Skizziere die neue Profillinie, die durch den Graphen der Funktion $f$ modelliert wird, ebenfalls in das Koordinatensystem in Abbildung 1.

Bestimme einen im Sachzusammenhang sinnvollen Definitionsbereich für $f.$

(4 BE)

3.2

Um die Wellenwirkung einer Sturmflut zu minimieren, werden moderne Deichkonstruktionen mit einem sehr flachen Gefälle auf der Seeseite konstruiert.

Berechne den maximalen Steigungswinkel auf der Seeseite des neuen Deichs.

(7 BE)

3.3

Beim Bau des neuen Deichs wird das Erdreich des alten Deichs aus Aufgabe 1 vollständig verwendet und der Graben des alten Deichs wird zugeschüttet.

Ermittle das Volumen des Erdreichs in Kubikmeter, das auf dem $125\,\text{m}$ langen Küstenstreifen zusätzlich benötigt wird.

(6 BE)

3.4

Ein Siel ist ein verschließbarer Gewässerdurchlass in einem Deich.

Der neue Deich wird von einem Siel mit rechteckigem Querschnitt mit einer Breite von $2,50\,\text{m}$ und einer Höhe von $1,50\,\text{m}$ durchtunnelt. Der Boden des Siels befindet sich auf Höhe des horizontalen Geländes.

Graph einer Funktion mit grüner Kurve, Achsen beschriftet mit x und y.

Das Volumen des Erdreichs, welches nach dem Ausgraben eines Siels abtransportiert werden muss, kann durch den Term

$V=...$

Vollständigen Term anzeigen

berechnet werden.

Erläutere diesen Term im Sachzusammenhang und bestimme das Volumen in Kubikmetern.

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Kurven und Gitterlinien.

Skizze eines großen, überdachten Gebäudes mit Eingängen und strukturierten Linien.

(6 BE)

1.1

Der Faktor $-\dfrac{1}{30}$ staucht den Graphen von $d$ in $y$ -Richtung. Durch das negative Vorzeichen wird die Kurve außerdem an der $x$ -Achse gespiegelt.

Die drei weiteren Faktoren $x, (x-2)$ und $(x-10)$ zeigen die Nullstellen der Funktion $d$ an, die entsprechend an den Stellen $x=0, x=2$ und $x=10$ vorliegen.

1.2

Breite des Deichs bestimmen

Die Breite des Deichs entspricht dem Abstand der zweiten und dritten Nullstelle von $d:$

$10-2 = 8$

Der Deich ist somit $8\,\text{m}$ breit.

Höhe des Deichs bestimmen

Die Höhe des Deichs entspricht dem maximalen Funktionswert von $d$ im Bereich $0\leq x \leq 10.$

Dieser lässt sich mit dem CAS berechnen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

Mit dem fMax-Befehl kann die Stelle $x\in[0;10],$ an der der Funktionswert von $d$ am größten ist, bestimmt werden.

$\text{fMax(d(x),x,0,10)}$

Es folgt: $x_{\text{max}} \approx 7,06$

Der zugehörige Funktionswert lässt sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:

$d(7,06) \approx 3,5 \, [\text{m}]$

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Mit dem fMax-Befehl kann der größte Funktionswert von $d$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $x_{\text{max}}$ bestimmt werden.

$\text{fMin(d(x),x,010)}$

$\begin{array}[t]{rll} d(x_{\text{max}})&=& 3,5\\[5pt] \end{array}$

Der Deich ist somit $3,5\,\text{m}$ hoch.

Breite des Grabens bestimmen

Die Breite des Grabens entspricht dem Abstand der ersten und zweiten Nullstelle von $d:$

$2-0 =2$

Der Graben ist somit $2\,\text{m}$ breit.

Tiefe des Grabens bestimmen

Die Tiefe des Grabens entspricht dem minimalen Funktionswert von $d$ im Bereich $0\leq x \leq 10.$

Dieser lässt sich mit dem CAS analog zur Höhe des Deichs mit dem fMin-Befehl bestimmen:

$d(x_{\text{min}})=-0,3$

Der Graben ist folglich $0,3\,\text{m}$ tief.

1.3

Aus dem Aufgabentext folgt für $g:$

$g(8) = 0$

$g(4)=3,6$

$\(g$

$\(g$

Für eine ganzrationale Funktion dritten Grades gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& a\cdot x^3 +b\cdot x^2 +c\cdot x +d \\[5pt] g‘(x) &=& 3a\cdot x^2 + 2b\cdot x + c \end{array}$

Im CAS lassen sich nun die Funktionen $g$ und $\(g$ in Abhängigkeit von $a,$ $b,$ $c$ und $d$ definieren.

Anschließend lässt sich das Gleichungssystem aus den vier Bedingungen mit dem solve-Befehl lösen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -\dfrac{57}{4060}x^3 -\dfrac{3}{8120}x^2 + \dfrac{687}{1015}x +\dfrac{1824}{1015} & \\[5pt] &\approx& -0,0140\cdot x^3 - 0,0004\cdot x^2 + 0,6768\cdot x+ 1,7970 \end{array}$

3.1

Profillinie skizzieren

Definitionsbereich bestimmen

Ein sinnvoller Definitionsbereich ist genau der Bereich, der die gesamte Breite des Deichs abdeckt und somit der Bereich zwischen den beiden Nullstellen:

$D_f = [-10; 10]$

3.2

Auf der Seeseite ist die Steigung des Graphen von $f$ positiv. Gesucht ist also die maximale Steigung des Graphen von $f$ für $x\leq 0.$

Die Steigung wird durch $\(f$ beschrieben.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -\dfrac{1}{400}\cdot x^3 - \dfrac{3}{100}\cdot x^2 +\dfrac{1}{4} \cdot x +3 \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f$

An der Stelle $x=-4$ besitzt der Graph von $\(f$ also ein lokales Maximum.

4. Schritt: Steigungswinkel bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Der zugehörige Winkel folgt mit:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& 0,37 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 20,3^{\circ} \end{array}$

Auf der Seeseite des neuen Deichs beträgt der maximale Steigungswinkel folglich ca. $20,3^{\circ}.$

3.3

1. Schritt: Verfügbares Volumen bestimmen

Da der Küstenstreifen $125 \, \text{m}$ lang ist, ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} V_v&=& 125\cdot \displaystyle\int_{2}^{10}d(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 125\cdot \displaystyle\int_{2}^{10}-\frac{1}{30}\cdot x \cdot (x-2)\cdot (x-10)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize\mid \; CAS \\[5pt] &=& \dfrac{6400}{3}\,[\text{m}^3] \end{array}$

2. Schritt: Benötigtes Volumen zum Aufschütten des Grabens bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} V_G&=& 125\cdot \left| \displaystyle\int_{0}^{2}d(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& 125\cdot \left|\displaystyle\int_{0}^{2}-\frac{1}{30}\cdot x \cdot (x-2)\cdot (x-10)\;\mathrm dx \right| &\quad \scriptsize\mid \; CAS \\[5pt] &=& 50\,[\text{m}^3] \end{array}$

3. Schritt: Volumen des neuen Deichs bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} V_n&=& 125\cdot \displaystyle\int_{-10}^{10}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 125\cdot \displaystyle\int_{-10}^{10}\left(-\frac{1}{400}\cdot x^3 - \frac{3}{100}\cdot x^2 +\frac{1}{4} \cdot x +3\right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize\mid \; CAS \\[5pt] &=& 5000 \,[\text{m}^3] \end{array}$

4. Schritt: Benötigtes Volumen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} V_b &=& V_n + V_G - V_v \\[5pt] &=& 5000 \,\text{m}^3 + 50\,\text{m}^3 - \frac{6400}{3}\,\text{m}^3\\[5pt] &=& \frac{8750}{3}\,\text{m}^3 \\[5pt] &\approx& 2917\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Es werden somit zusätzlich ca. $2917\,\text{m}^3$ Erde benötigt.

3.4

Term erläutern

Der Graph von $f$ beschreibt den Verlauf des Deiches im Querschnitt und die obere Begrenzung des Siels wird durch die Gerade $g: y=1,5$ beschrieben.

$x_1$ und $x_2$ sind die Schnittstellen von $f$ und der Geraden $g.$

Die Querschnittsfläche des Siels lässt sich damit in drei Teilfächen aufteilen:

Die in der Skizze blaue Fläche, deren Flächeninhalt mit Hilfe des Integrals $\displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx$ berechnet werden kann.

Das in der Skizze grüne Rechteck, dessen Flächeninhalt über $(x_2-x_1)\cdot 1,5$ berechnet werden kann.

Die in der Skizze graue Fläche, deren Flächeninhalt durch $\displaystyle\int_{x_2}^{10}f(x)\;\mathrm dx$ berechnet werden kann.

Insgesamt lässt sich der Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Siels daher durch folgenden Term berechnen:

$\displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx + (x_2-x_1)\cdot 1,5 + \displaystyle\int_{x_2}^{10}f(x)\;\mathrm dx$

Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche wird anschließend mit der Breite des Siels von $2,5 \, \text{m}$ multipliziert.

Hilfsskizze

Volumen bestimmen

Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich die Grenzen $x_1$ und $x_2:$

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 1,5 \\[5pt] x_1 &\approx& -4,49 \\[5pt] x_2 &\approx& 8,40 \end{array}$

Mit dem CAS folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} V &=& 2,5\cdot \left( \displaystyle\int_{-10}^{x_1}f(x)\;\mathrm dx + (x_2-x_1)\cdot 1,5 + \displaystyle\int_{x_2}^{10}f(x)\;\mathrm dx\right) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 60,14 \,[\text{m}^3] \end{array}$

Das Volumen des abzutransportierenden Erdreichs beträgt somit ca. $60,14 \,\text{m}^3.$