A1 - Analysis

Zunächst soll der Verlauf des zweiten Teils der Wasserrutsche durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden.

Begründe anhand des Graphen, dass die gesuchte ganzrationale Funktion mindestens vierten Grades sein muss.

Der Graph der Funktion verläuft durch die Punkte und Die Steigung im Übergangspunkt beträgt und im Punkt geht die Rutsche waagerecht ins Auffangbecken über. Der Steigungswinkel des Graphen an der Stelle beträgt Gib einen Ansatz zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades mit den genannten Eigenschaften an und bestimme die Funktionsgleichung.

Auf einer Werbetafel für den Freizeitpark soll die maximale Höhe des zweiten Teils der Wasserrutsche angegeben werden. Ermittle ohne Verwendung des Graphen die maximale Höhe innerhalb des Intervalls Im weiteren Verlauf der Rutsche interessiert das maximale Gefälle. Bestimme das maximale Gefälle innerhalb des Intervalls

Der Verlauf der Wasserrutsche von nach soll aufgrund der hohen Geschwindigkeit, mit der ein Schlauchboot herunterfährt, im Übergangspunkt sowohl knickfrei als auch krümmungsruckfrei sein und dort auch keinen Sprung aufweisen.

Um die Bedingung „knickfrei“ einzuhalten, darf die erste Ableitung der Funktion keine Sprungstelle haben. Erläutere diese Bedingung im Sachzusammenhang und gehe dabei auf mögliche Folgen für den Bewegungsablauf des Schlauchboots an der Übergangsstelle ein.

Beschreibe die Eigenschaft „krümmungsruckfrei“ im Übergangspunkt mathematisch.

Zur Modellierung des Verlaufs des ersten Teils der Wasserrutsche von nach werden die Graphen der Funktionen und mit und betrachtet. Beurteile auf rechnerischer Grundlage, welcher der beiden Graphen zur Modellierung des Verlaufs des ersten Teils der Wasserrutsche für den Übergang im Punkt besser geeignet ist.

Um die Rutsche für die Besucher bereits von Weitem gut sichtbar zu machen, soll der Bereich unterhalb der gesamten Rutsche zwischen und mit einer senkrecht zum Boden verlaufenden Werbefläche versehen werden. Diese Werbefläche soll bis auf eine Höhe von über dem ebenen Boden herunterreichen. Bestimme den Flächeninhalt der entstehenden Werbefläche.

Der Graph in Abbildung 2 besitzt zwischen dem Punkt und dem Punkt drei Stellen, an denen seine Steigung Null ist:

• Einen Tiefpunkt an der Stelle
• Einen Hochpunkt an der Stelle
• Einen weiteren Punkt mit waagerechter Tangente an der Stelle , der entweder ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt ist.

Somit besitzt die erste Ableitungsfunktion mindestens drei Nullstellen und muss demnach mindestens dritten Grades sein, womit die Ausgangsfunktion mindestens vierten Grades ist. Alternative Begründung Der Graph in Abbildung 2 besitzt zwischen dem Punkt und dem Punkt zwei Wendestellen. Aus der notwendigen Bedingung für Wendestellen folgt, dass die zweite Ableitungsfunktion also zwei Nullstellen besitzt. Die zweite Ableitungsfunktion ist somit mindestens eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Für die Ausgangsfunktion folgt also, dass sie mindestens eine ganzrationale Funktion vierten Grades sein muss, da mit jedem Ableiten ein Grad verloren geht.

Ansatz angeben Allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades: Aus der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Bedingungen:

• Der Graph verläuft durch den Punkt es gilt also:
• Der Graph verläuft durch den Punkt es gilt also:
• Die Steigung des Graphen im Übergangspunkt beträgt es muss also gelten:
• Im Punkt geht die Rutsche waagerecht ins Auffangbecken über:
• An der Stelle beträgt der Steigungswinkel

Aus diesen Bedingungen folgt ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten und Funktionsgleichung bestimmen Nach dem Definieren der Funktion und dem Eingeben des GLeichungssystems in den CAS kann das lineare Gleichungssystem unter Keyboard Math1 gelöst werden. Der CAS liefert folgende Werte:

Die maximale Höhe der Wasserrutsche im Intervall entspricht dem maximalen Funktionswert von in diesem Intervall. Im CAS können die ersten beiden Ableitungen von definiert werden. Der Graph von besitzt somit an der Stelle einen Hochpunkt. 3. Schritt: Funktionswerte vergleichen Vergleichen mit den Funktionswerten an den Rändern des Intervalls liefert:

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Innerhalb des Intervalls beträgt die maximale Höhe somit ca. Maximales Gefälle bestimmen Gesucht ist das maximale Gefälle, also der Funktionswert der Wendestelle von im Intervall Die dritte Ableitung von kann hierfür im CAS definiert werden. 3. Schritt: Funktionswerte vergleichen Vergleichen mit den Randwerten des Intervalls liefert:

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• 
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Die größte negative Steigung im betrachteten Intervall besitzt der Graph von somit an der Stelle mit Das größte Gefälle im Intervall beträgt damit ca.

Die Bedingung „Knickfrei“ bedeutet, dass sich die Steigung der Rutschbahn nicht plötzlich verändert. Ist dies an der Übergangsstelle nicht der Fall, so kann eine Sprungstelle der ersten Ableitung in zwei Varianten erfolgen:

• Das Gefälle vor dem Übergang kann größer als danach sein. Aufgrund von der schlagartigen Abnahme des Gefälles könnte das Schlauchboot mit der Vorderseite auf der Rutschbahn aufstoßen und abrupt abgebremst werden oder sogar stecken bleiben.
• Das Gefälle vor dem Übergang kann kleiner als danach sein und im Knick dann schlagartig in ein steileres Gefälle übergehen. Hier kann es passieren, dass das Schlauchboot für kurze Zeit den Kontakt zur Rutschbahn verliert und in freien Fall gerät. Beim erneuten Auftreffen könnte es sich dann beispielsweise überschlagen oder seitlich kippen, wobei die Personen in dem Schlauchboot verletzt werden könnten.

Damit der Übergangspunkt krümmungsruckfrei ist, muss der Graph der Funktion dieselbe Krümmung wie der Graph der Funktion besitzen, welche durch die zweite Abbildung der Funktionen beschrieben wird. Es muss also gelten.

Die beiden Funktionen müssen im Punkt auf Sprungfreiheit, Knickfreiheit und Krümmungsruckfreiheit zum Graphen von geprüft werden. Mit dem CAS ergibt sich: Bei beiden Funktionen stimmen sowohl Funktionswert als auch der Wert der ersten Ableitungsfunktion näherungsweise mit den Werten von überein. Die Graphen beider Funktionen verlaufen somit sprung- und knickfrei. Der Wert der zweiten Ableitung weicht bei im Gegensatz zu deutlich von ab. Die Krümmungsruckfreiheit ist für folglich nicht gegeben, was im Punkt zu einer abrupten Krümmungsänderung und somit zu einer schlagartigen Beschleunigung bzw. zu schlagartigem Abbremsen führen würde. Die Funktion ist somit besser zur Modellierung geeignet als die Funktion

Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen der Geraden und dem Graphen von (grau) bzw. dem Graphen von (grün). Aus der Skizze geht hervor, dass sich die gesamte Fläche aus drei Teilflächen zusammensetzt. 1. Schritt: Schnittstellen bestimmen Mit dem solve-Befehls des CAS folgt: Da lediglich die Schnittstellen der Geraden und des Graphen von im Intervall betrachtet werden, kann die Schnittstelle vernachlässigt werden. 2. Schritt: Flächeninhalt berechnen