C2 - Stochastik
Zahl der Woche Nr. 042 vom 21.10.2008
137.000 Migrantenkinder ohne [allgemeinen] Schulabschluss
WIESBADEN 
Kinder von Migranten tun sich schwer im deutschen Schulsystem. Das Statistische Bundesamt hat anhand von Zahlen aus dem Jahr 2007 den Schulerfolg von „Menschen mit Migrationshintergrund“ untersucht, die ihre schulische Ausbildung ausschließlich in Deutschland erhalten haben. Dazu mussten diese entweder in Deutschland geboren oder beim Zuzug höchstens fünf Jahre alt gewesen sein.
Von den 2,0 Millionen Menschen mit Migrationshintergrund, die [...] das deutsche Schulsystem [...] durchlaufen haben, haben 137.000 keinen allgemeinen Schulabschluss erreicht [...].
Zu den „Menschen mit Migrationshintergrund“ zählen alle seit 1950 Zugewanderten und ihre Nachkommen.
[Unter den Personen ohne Migrationshintergrund] gab es im Übrigen 847.000 Menschen ohne [allgemeinen] Schulabschluss, das sind 
[aller Personen dieser Personengruppe].
Quelle: Statistisches Bundesamt www.destatis.de/jetspeed/portal/cms/Sites/destatis/ Internet/DE/Presse/pm/zdw/2008/PD08__042__p002.psml (abgerufen am 16.08.2011)
1.1
Gib mit Hilfe der Daten aus dem Text des Statistischen Bundesamtes die fehlenden Werte in folgender Tabelle an; runde die Zahlen dabei sinnvoll.
(6 BE)
1.2
Berechne die relative Häufigkeit, dass es sich bei einer Person mit allgemeinem Schulabschluss um jemanden mit Migrationshintergrund handelt.
(3 BE)
2
Wegen verstärkter Integrationsbemühungen geht man davon aus, dass unter den Personen mit Migrationshintergrund der Anteil derer, die keinen allgemeinen Schulabschluss erreichen, im Jahr 2014 auf 
gesunken sein wird.
Bestimme unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
Begründe deinen mathematischen Ansatz zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten.
| Im Jahr 2014 erreichen von 50 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund genau 2 keinen allgemeinen Schulabschluss. | |
| Im Jahr 2014 erreichen von 100 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund mindestens 90 einen allgemeinen Schulabschluss. |
(9 BE)
3
Laut Statistischem Bundesamt soll die Quote der Schulabgänger aus allgemeinbildenden Schulen mit allgemeiner Hochschulreife von derzeit 
auf rund 
bis ins Jahr 2015 gesteigert werden. Im Wahlkampf verspricht die Partei A, die Quote für das Jahr 2015 auf über 
zu steigern.
3.1
Im Jahr 2015 werden 100 Schulabgänger zufällig ausgewählt und nach Ihrem Schulabschluss gefragt. Entwickle einen geeigneten Hypothesentest und gib eine Entscheidungsregel auf der Basis von 
an, mit der die Partei A überprüfen kann, ob sie ihr Wahlversprechen gehalten hat.
(8 BE)
3.2
Stelle dar, welche Fehler auftreten können, und diskutiere jeweils deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
(4 BE)
1.
Aus der Aufgabenstellung können bereits folgende Informationen entnommen werden:
Da die 847.000 Menschen ohne Migrationshintergrund und ohne allgemeinen Schulabschluss 
aller Menschen ohne Migrationshintergrund darstellen, folgt für die Summe der Menschen ohne Migrationshintergrund mit Hilfe von Dreisatz:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1,5\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 847.000& \\[5pt]
100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& ?
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/48e1401bc85a4733cd6fb4f388ab65901a0d97b3a123f23b1120e2b26e7b338e?color=5a5a5a)
Die restlichen fehlenden Werte in der Tabelle können nun durch Addieren und Subtrahieren der gegebenen Daten in einer Zeile bzw. Spalte ermittelt werden.
Es ergibt sich:
1.2
2
Mathematischen Ansatz begründen
Bei den Versuchen handelt es sich jeweils um eine unabhängige Serie von Ereignissen mit einer gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit von 
bzw 
bei denen jeweils nur ein „Treffer“, also eine Person mit Migrationshintergrund ohne allgemeinen Schulabschluss, oder eine „Niete“, also eine Person mit Migrationshintergrund mit allgemeinen Schulabschluss, beobachtet wird.
Der hierfür benötigte mathematische Rechenansatz ist somit eine Bernoulli-Verteilung mit den Parametern 
bzw. 
und 
bzw. 
Ereignis 1
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der Personen mit Migrationshintergrund, die im Jahr 2014 keinen allgemeinen Hochschulabschluss erreichen, und kann als binomialverteilt mit und angenommen werden.
Mit dem CAS ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(E_1)&=& P(X=2) & \\[5pt]
&\approx& 0,261 & \\[5pt]
&=& 26,1\,\%
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a60f298d42e7d4daa11665be0963dae6cecee0d44a104f826bbf8742669186a6?color=5a5a5a)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 aus 50 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund im Jahr 2014 keinen Schulabschluss erreichen, beträgt somit 
Ereignis 2
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der Personen mit Migrationshintergrund, die im Jahr 2014 einen allgemeinen Hochschulabschluss erreichen, und kann als binomialverteilt mit und 
angenommen werden.
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(E_2)&=& P(X\geq 90) &\\[5pt]
&=& 1-P(X\leq 89) &\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt]
&\approx& 1-0,011 & \\[5pt]
&=& 0,989 & \\[5pt]
&=& 98,9 \,\%
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/590a91bbda64e7e2665eb2351a9a6418b39b025c75a3a82ea0cafb6236706da6?color=5a5a5a)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 90 von 100 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund einen allgemeinen Schulabschluss besitzen, beträgt somit 
3.1
Da mit dem Hypothesentest untersucht werden soll, ob der Anteil der Schulabgänger mit allgemeiner Hochschulreife über 
im Jahr 2015 beträgt, gilt:
Es handelt sich hierbei somit um einen rechtsseitigen Hypothesentest, bei dem die Partei A die Nullhypothese verwerfen möchte.
Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese folgt mit:
Um entscheiden zu können, ab welcher Anzahl von Schulabgängern mit allgemeiner Hochschulreife die Partei annehmen kann, dass der Anteil der Schulabgänger mit Hochschulreife auf über gestiegen ist, muss der Wert von 
mit einem Signifikanzniveau von 
bestimmt werden.
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl an Schulabgängern mit allgemeiner Hochschulreife im Jahr 2015 und kann als binomialverteilt mit und 
angenommen werden.
Es soll gelten;
![\(\begin{array}{lrll}
P(Z \geq k)&\geq& 0,95\\[5pt]
1 - P(Z \lt k)&\geq& 0,95\\[5pt]
1 - P(Z \leq k - 1)&\geq& 0,95&\scriptsize{\mid \; - 1}\\[5pt]
- P(Z \leq k - 1)&\leq& - 0,05&\scriptsize{\mid \;:( - 1)}\\[5pt]
P(Z \leq k - 1)&\leq& 0,05\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/852fd3c8f51c80d509a45b63c89dc8090aeaf3388b2394c57159d5c15db48c3d?color=5a5a5a)
Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:
Da hier 
gilt, gilt für :
Für den Ablehnungbereich folgt demnach:
.
Besitzen also mindestens 49 der 100 befragten Schüler die allgemeine Hochschulreife, so kann die Partei davon ausgehen, dass sie ihr Wahlversprechen eingehalten hat.
3.2
Fehler 1. Art
Die Nullhypothese ist korrekt, wird aber aufgrund des Testergebnisses verworfen. Sie wird also fälschlicherweise abgelehnt. Im Sahzusammenhang würde die Partei folglich glauben, dass sie ihr Wahlversprehen halten konnte, obwohl dies nicht der Fall war.
Fehler 2. Art
Die Nullhypothese ist falsch, wird aber aufgrund des Testergebnisses angenommen. Im Sachzusammenhang würde die Partei also glauben, dass sie ihr Wahlversprehen nicht halten konnte, obwohl sie dies eigentlich konnte.
1.
Aus der Aufgabenstellung können bereits folgende Informationen entnommen werden:
Da die 847.000 Menschen ohne Migrationshintergrund und ohne allgemeinen Schulabschluss aller Menschen ohne Migrationshintergrund darstellen, folgt für die Summe der Menschen ohne Migrationshintergrund mit Hilfe von Dreisatz:
Die restlichen fehlenden Werte in der Tabelle können nun durch Addieren und Subtrahieren der gegebenen Daten in einer Zeile bzw. Spalte ermittelt werden.
Es ergibt sich:
1.2
2
Mathematischen Ansatz begründen
Bei den Versuchen handelt es sich jeweils um eine unabhängige Serie von Ereignissen mit einer gleichbleibenden Wahrscheinlichkeit von bzw bei denen jeweils nur ein „Treffer“, also eine Person mit Migrationshintergrund ohne allgemeinen Schulabschluss, oder eine „Niete“, also eine Person mit Migrationshintergrund mit allgemeinen Schulabschluss, beobachtet wird.
Der hierfür benötigte mathematische Rechenansatz ist somit eine Bernoulli-Verteilung mit den Parametern bzw. und bzw.
Ereignis 1
Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Personen mit Migrationshintergrund, die im Jahr 2014 keinen allgemeinen Hochschulabschluss erreichen, und kann als binomialverteilt mit und angenommen werden.
Mit dem CAS ergibt sich:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 aus 50 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund im Jahr 2014 keinen Schulabschluss erreichen, beträgt somit
Ereignis 2
Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Personen mit Migrationshintergrund, die im Jahr 2014 einen allgemeinen Hochschulabschluss erreichen, und kann als binomialverteilt mit und angenommen werden.
Es gilt:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 90 von 100 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund einen allgemeinen Schulabschluss besitzen, beträgt somit
3.1
Da mit dem Hypothesentest untersucht werden soll, ob der Anteil der Schulabgänger mit allgemeiner Hochschulreife über im Jahr 2015 beträgt, gilt:
Es handelt sich hierbei somit um einen rechtsseitigen Hypothesentest, bei dem die Partei A die Nullhypothese verwerfen möchte.
Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese folgt mit:
Um entscheiden zu können, ab welcher Anzahl von Schulabgängern mit allgemeiner Hochschulreife die Partei annehmen kann, dass der Anteil der Schulabgänger mit Hochschulreife auf über gestiegen ist, muss der Wert von mit einem Signifikanzniveau von bestimmt werden.
Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl an Schulabgängern mit allgemeiner Hochschulreife im Jahr 2015 und kann als binomialverteilt mit und angenommen werden.
Es soll gelten;
Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:
Da hier gilt, gilt für :
Für den Ablehnungbereich folgt demnach:
.
Besitzen also mindestens 49 der 100 befragten Schüler die allgemeine Hochschulreife, so kann die Partei davon ausgehen, dass sie ihr Wahlversprechen eingehalten hat.
3.2
Fehler 1. Art
Die Nullhypothese ist korrekt, wird aber aufgrund des Testergebnisses verworfen. Sie wird also fälschlicherweise abgelehnt. Im Sahzusammenhang würde die Partei folglich glauben, dass sie ihr Wahlversprehen halten konnte, obwohl dies nicht der Fall war.
Fehler 2. Art
Die Nullhypothese ist falsch, wird aber aufgrund des Testergebnisses angenommen. Im Sachzusammenhang würde die Partei also glauben, dass sie ihr Wahlversprehen nicht halten konnte, obwohl sie dies eigentlich konnte.