A2 - Analysis

Ein Goldschmied möchte eine neue Schmuckform in seine Kollektion aufnehmen. Ein Entwurf zeigt die Designvorlage für eine Brosche.

Die Trennlinie, die den Kreis in zwei gleich große Teile teilt, kann durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden (Angaben in Zentimetern).

Bestimme die Funktion $f$ dritten Grades mit Hilfe von Abbildung 1. Erläutere deinen Ansatz.

$\bigg[$ zur Kontrolle: $f(x)=\dfrac{2}{9}x^{3}-\dfrac{8}{9}x \bigg]$

(9 BE)

Der grau markierte Bereich in der obigen Abbildung soll mit einer Schichtdicke von $0,001\;\text{cm}$ vergoldet werden. $1\;\text{cm}^3$ der verwendeten Legierung hat eine Masse von $12\;\text{g}.$

Berechne die für eine Brosche benötigte Masse der Legierung.

(10 BE)

Bei einer zweiten Variante der Brosche wird zusätzlich zu der durch $f$ gegebenen Linie eine zweite Linie angebracht, die durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot f(x),\;a\geq1$ beschrieben werden kann.

3.1

Beschreibe, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. Nimm dabei auch Bezug auf die Lage der Nullstellen und Extrempunkte.

Skizziere eine mögliche Variante in der Abbildung aus der Aufgabenstellung.

(5 BE)

3.2

Bestimme den Faktor $a$ so, dass der Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f$ und $g$ im Intervall $[-2;2]$ $1,6\;\text{cm}^2$ beträgt.

(9 BE)

Passend zum obigen Design soll eine stilisierte Blüte hergestellt werden.

Verschiebe die Funktion $f$ um eine Zahl $k$ in $y$ -Richtung, so dass ihr Tiefpunkt auf der $x$ -Achse liegt. Verschiebe $h$ mit $h(x)=\sqrt{4-x^2}$ um den gleichen Wert $k$ in $y$ -Richtung.

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen den verschobenen Graphen von $f$ und $h$ im Intervall $[-2;\;2]$ um die $x$ -Achse gedreht werden.

Skizziere den so entstandenen Körper.

(9 BE)

Allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades:

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$

Da die Funktion durch den Ursprung verlaufen soll, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0 & \\[5pt] a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d&=& 0& \\[5pt] d&=& 0 \end{array}$

Aus dem Graphen von $f$ können die Koordinaten von weiteren drei Punkten abgelesen werden. Aus diesen ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Aus Zeile $\text{I}$ folgt $b=0.$

Einsetzen in Zeile $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8a+4\cdot 0+2c&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-8a \\[5pt] 2c&=& -8a&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] c&=& -4a \end{array}$

Für Zeile $\text{III}$ folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} a+b+c&=& -\dfrac{2}{3}& \\[5pt] a+0-4a&=& -\dfrac{2}{3} &\\[5pt] -3a&=& -\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] a&=& \dfrac{2}{9} \end{array}$

Der Wert von $c$ ergibt sich nun zu $b=-4\cdot \dfrac{2}{9}=-\dfrac{8}{9}.$

Alternativ kann das lineare Gleichungssystem auch mit Hilfe des CAS durch den Befehl menu 3 3 1 gelöst werden.

Die Funktion $f$ ist somit gegeben durch:

$f(x)=\dfrac{2}{9}x^3-\dfrac{8}{9}x$

1. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Die grau markierte Fläche wird durch die $x$ -Achse in zwei Teilflächen unterteilt:

Die Teilfläche oberhalb der $x$ -Achse entspricht einem Viertel des Kreises. Aus der Abbildung in der Aufgabenstellung kann ein Radius von $2 \,\text{cm}$ entnommen werden.

Mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A_K$ eines Kreises folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \dfrac{1}{4}\cdot A_K & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 2^2 & \\[5pt] &\approx& 3,14 \; [\text{cm}^2] \end{array}$

Die Teilfläche unterhalb der $x$ -Achse entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;2].$

Dieses Integral kann mit dem Befehl menu 4 3 mit dem CAS gelöst werden und ergibt $-\dfrac{8}{9}\approx 0,89.$

Mathematische Gleichung und Integralberechnung auf einem CAS-Gerät.

Da die Fläche unterhalb der $x$ -Achse liegt und das Integral folglich negativ ist, muss der Betrag des Integrals bestimmt werden. Dieser ergibt sich demnach zu $0,89.$

Der gesamte Flächeninhalt folgt also mit:

$\begin{array}{rcl} A&=& A_1+A_2 \\ &=&3,14\,\text{cm}^2+0,89\,\text{cm}^2 \\ &=&4,03\,\text{cm}^2 \\ \end{array}$

2. Schritt: Volumen bestimmen

Da die Schichtdicke der Legierung $0,001\,\text{cm}$ beträgt, ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} V&=& A\cdot h \\ &=& 4,03\,\text{cm}^2\cdot 0,001\,\text{cm} \\ &=& 0,00403 \;\text{cm}^3 \\ \end{array}$

3. Schritt: Masse berechnen

Da $1\,\text{cm}^3$ eine Masse von $12\,\text{g}$ hat, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 0,00403 \;\text{cm}^3 \cdot 12\dfrac{\,\text{g}}{\,\text{cm}^3}& \\[5pt] &=& 0,04836 \,\text{g} \end{array}$

Für die Brosche wird somit eine Legierung von $0,04836 \,\text{g}$ benötigt.

3.1

Verschiebung beschreiben

Der Term der Funktion $g$ unterscheidet sich nur durch den zusätzlichen Faktor $a$ vom Term der Funktion $f.$ Mit $a \geq 1$ bewirkt dieser eine Streckung des Graphen von $f$ in $y$ -Richtung.

Da der Funktionsgraph nicht verschoben, sondern nur gestreckt wird, bleiben die Nullstellen gleich. Auch die $x$ -Koordinate der Extrempunkte verändert sich nicht. Lediglich die $y$ -Koordinate verschiebt sich in positive bzw. negative $y$ -Richtung.

Variante skizzieren

Um eine möglich Variante zu skizzieren, wird ein Wert $a\geq1$ gewählt und mit dem CAS eine entsprechende Wertetabelle sowie der dazugehörige Graph der Funktion $g$ erstellt.

Für $a=2$ gilt beispielsweise:

$\begin{array}[t]{rll} g_2(x)&=& 2 \cdot f(x)& \\[5pt] &=& 2 \cdot \left( \dfrac{2}{9} \cdot x^3 - \dfrac{8}{9} \cdot x \right)& \\[5pt] &=& \dfrac{4}{9} \cdot x^3 - \dfrac{16}{9} \cdot x \end{array}$

Mit dem Befehl menu 7: Tabelle ergibt sich mit dem CAS:

Graf einer Funktion mit Achsen und einer Tabelle, die Werte anzeigt.

Das ergänzte Schaubild könnte also beispielsweise wie folgt aussehen:

3.2

Da die beiden Funktionen $f$ und $g$ punktsymmetrisch sind, reicht es aus, die Fläche zwischen den beiden Graphen im Intervall $[-2;0]$ zu betrachten. Das doppelte dieser Fläche soll dann $1,6\,\text{cm}^2$ betragen.

Für den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $g$ und $f$ im Intervall $[-2;0]$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 1,6 &\\[5pt] 2\cdot \displaystyle\int_{-2}^{0}(g(x)-f(x))\;\mathrm dx &=& 1,6&\\[5pt] 2\cdot \left(\displaystyle\int_{-2}^{0}a\cdot f(x)\;\mathrm dx - \displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\;\mathrm dx\right) &=& 1,6&\\[5pt] \end{array}$

Diese Gleichung kann nun mit dem CAS mit Hilfe des solve-Befehls gelöst werden:

menu 3 1

Mit folgendem Befehl kann ein Integral eingefügt werden:

menu 4 3

Der CAS liefert $a=1,9.$

Der Faktor $a$ muss folglich den Wert 1,9 betragen, sodass der Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f$ und $g$ im Intervall $[2;2]$ $1,6 \,\text{cm}^2$ beträgt..

1. Schritt: Parameter $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Der Parameter $k$ soll so gewählt werden, dass der Tiefpunkt des Graphen der Funktion $f$ auf der $x$ -Achse liegt.

Um die Koordinaten des Tiefpunkts zu bestimmen, müssen die ersten beiden Ableitungen von $f$ ermittelt werden und mit dem solve-Befehl des CAS die möglichen Extremstellen berechnet werden.

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem Dokument. Berechnungen zu Ableitungen und Lösungen.

Es ergeben sich $x_1 = \dfrac{-2\cdot \sqrt{3}}{3}$ und $x_2 = \dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{3}.$

Anwenden der hinreichenden Bedingung für Extremstellen liefert:

Mathematische Berechnungen mit Bruch- und Wurzeloperationen in einem Dokument.

Für den Tiefpunkt muss gelten: $\(f$ Dieser befindet sich also an der Stelle $x_2.$

Berechnen der $y$ -Koordinate liefert den Tiefpunkt mit $T(1,15\mid -0,68).$ Der Graph von $f$ muss also um $k = 0,68$ Einheiten in positive $y$ -Richtung verschoben werden.

2. Schritt: Funktionen verschieben

Verschieben der Graphen $f$ und $h$ um den Faktor $k=0,68$ in positive $y$ -Richtung ergibt:

$f(x)=\dfrac{2}{9}\cdot x^3-\dfrac{8}{9}\cdot x +0,68$

$h(x)=\sqrt{4-x^2} +0,68$

3. Schritt: Integrationsgrenzen bestimmen

Die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ bei der Berechnung eines Rotationskörpers aus der Fläche zwischen zwei Graphen entsprechen den Schnittstellen der beiden Graphen.

Im CAS können die beiden verschobenen Funktionen von $f$ und $h$ definiert werden und die Schnittstellen durch Gleichsetzen berechnet werden.

Mathematische Funktionen und Gleichungen in einem Dokument, mit Lösungen für f(x) und h(x).

Der CAS liefert die Schnittstellen und somit die Integrationsgrenzen für den Rotationskörper mit:

$x_1=a=-2$ und $x_2=b=2$

4. Schritt: Volumen des Rotationskörpers berechnen

Für das Volumen eines Rotationskörpers, der aus einer Fläche entsteht, die von den Graphen zweier Funktionen $f$ und $h$ eingeschlossen wird, gilt:

$V= \pi \cdot \left( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)^2 \mathrm{d}x - \displaystyle\int_{a}^{b} h(x)^2 \mathrm{d}x\right)$

Mit dem Befehl menu 4 3 kann im CAS ein Integral eingefügt werden. Einsetzen der Integrationsgrenzen $a=-2$ bzw $b=2$ ergibt dann:

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem Dokument, einschließlich einer Lösung und Integralen.

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt somit etwa $57,33 \;\text{VE}.$

5. Schritt: Körper skizzieren

Mit dem CAS können die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ graphisch dargestellt werden und eine Wertetabelle angezeigt werden:

Diagramm mit Funktionen und Werten in einem Analyse-Tool, zeigt Graphen und eine Tabelle.

Der entstandene Körper sieht somit wie folgt aus:

Allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades:

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$

Da die Funktion durch den Ursprung verlaufen soll, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0 & \\[5pt] a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d&=& 0& \\[5pt] d&=& 0 \end{array}$

Aus dem Graphen von $f$ können die Koordinaten von weiteren drei Punkten abgelesen werden. Aus diesen ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Aus Zeile $\text{I}$ folgt $b=0.$

Einsetzen in Zeile $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8a+4\cdot 0+2c&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-8a \\[5pt] 2c&=& -8a&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] c&=& -4a \end{array}$

Für Zeile $\text{III}$ folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} a+b+c&=& -\dfrac{2}{3}& \\[5pt] a+0-4a&=& -\dfrac{2}{3} &\\[5pt] -3a&=& -\dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] a&=& \dfrac{2}{9} \end{array}$

Der Wert von $c$ ergibt sich nun zu $b=-4\cdot \dfrac{2}{9}=-\dfrac{8}{9}.$

Alternativ kann das lineare Gleichungssystem auch mit Hilfe des CAS durch den Befehl Keyboard 2D gelöst werden.

Die Funktion $f$ ist somit gegeben durch:

$f(x)=\dfrac{2}{9}x^3-\dfrac{8}{9}x$

1. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Die grau markierte Fläche wird durch die $x$ -Achse in zwei Teilflächen unterteilt:

Die Teilfläche oberhalb der $x$ -Achse entspricht einem Viertel des Kreises. Aus der Abbildung in der Aufgabenstellung kann ein Radius von $2 \,\text{cm}$ entnommen werden.

Mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A_K$ eines Kreises folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \dfrac{1}{4}\cdot A_K & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 2^2 & \\[5pt] &\approx& 3,14 \; [\text{cm}^2] \end{array}$

Die Teilfläche unterhalb der $x$ -Achse entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;2].$

Dieses Integral kann mit dem Befehl menu 4 3 mit dem CAS gelöst werden und ergibt $-\dfrac{8}{9}\approx 0,89.$

Screenshot einer mathematischen Software mit einer definierten Funktion und einer Integralberechnung.

Da die Fläche unterhalb der $x$ -Achse liegt und das Integral folglich negativ ist, muss der Betrag des Integrals bestimmt werden. Dieser ergibt sich demnach zu $0,89.$

Der gesamte Flächeninhalt folgt also mit:

$\begin{array}{rcl} A&=& A_1+A_2 \\ &=&3,14\,\text{cm}^2+0,89\,\text{cm}^2 \\ &=&4,03\,\text{cm}^2 \\ \end{array}$

2. Schritt: Volumen bestimmen

Da die Schichtdicke der Legierung $0,001\,\text{cm}$ beträgt, ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} V&=& A\cdot h \\ &=& 4,03\,\text{cm}^2\cdot 0,001\,\text{cm} \\ &=& 0,00403 \;\text{cm}^3 \\ \end{array}$

3. Schritt: Masse berechnen

Da $1\,\text{cm}^3$ eine Masse von $12\,\text{g}$ hat, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& 0,00403 \;\text{cm}^3 \cdot 12\dfrac{\,\text{g}}{\,\text{cm}^3}& \\[5pt] &=& 0,04836 \,\text{g} \end{array}$

Für die Brosche wird somit eine Legierung von $0,04836 \,\text{g}$ benötigt.

3.1

Verschiebung beschreiben

Der Term der Funktion $g$ unterscheidet sich nur durch den zusätzlichen Faktor $a$ vom Term der Funktion $f.$ Mit $a \geq 1$ bewirkt dieser eine Streckung des Graphen von $f$ in $y$ -Richtung.

Variante skizzieren

Um eine möglich Variante zu skizzieren, wird ein Wert $a\geq1$ gewählt und mit dem CAS eine entsprechende Wertetabelle sowie der dazugehörige Graph der Funktion $g$ erstellt.

Für $a=2$ gilt beispielsweise:

Das ergänzte Schaubild könnte also beispielsweise wie folgt aussehen:

3.2

Für den Flächeninhalt zwischen den Graphen von $g$ und $f$ im Intervall $[-2;0]$ gilt:

Diese Gleichung kann nun mit dem CAS mit Hilfe des solve-Befehls gelöst werden:

Interactive Calc Solve

Mit folgendem Befehl kann ein Integral eingefügt werden:

Interactive adv

Bildschirmansicht einer mathematischen Software mit Gleichungen und Integralen.

Der CAS liefert $a=1,9.$

Der Faktor $a$ muss folglich den Wert 1,9 betragen, sodass der Flächeninhalt zwischen den Graphen von $f$ und $g$ im Intervall $[2;2]$ $1,6 \,\text{cm}^2$ beträgt..

1. Schritt: Parameter $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Der Parameter $k$ soll so gewählt werden, dass der Tiefpunkt des Graphen der Funktion $f$ auf der $x$ -Achse liegt.

Um die Koordinaten des Tiefpunkts zu bestimmen, müssen die ersten beiden Ableitungen von $f$ ermittelt werden und mit dem solve-Befehl des CAS die möglichen Extremstellen berechnet werden.

Mathematische Funktionen und Ableitungen werden in einer Software dargestellt.

Es ergeben sich $x_1 = \dfrac{-2\cdot \sqrt{3}}{3}$ und $x_2 = \dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{3}.$

Anwenden der hinreichenden Bedingung für Extremstellen liefert:

Mathematische Berechnungen und Ableitungen auf einem Grafikrechner dargestellt.

Für den Tiefpunkt muss gelten: $\(f$ Dieser befindet sich also an der Stelle $x_2.$

Berechnen der $y$ -Koordinate liefert den Tiefpunkt mit $T(1,15\mid -0,68).$ Der Graph von $f$ muss also um $k = 0,68$ Einheiten in positive $y$ -Richtung verschoben werden.

2. Schritt: Funktionen verschieben

Verschieben der Graphen $f$ und $h$ um den Faktor $k=0,68$ in positive $y$ -Richtung ergibt:

$f(x)=\dfrac{2}{9}\cdot x^3-\dfrac{8}{9}\cdot x +0,68$

$h(x)=\sqrt{4-x^2} +0,68$

3. Schritt: Integrationsgrenzen bestimmen

Die Integrationsgrenzen $a$ und $b$ bei der Berechnung eines Rotationskörpers aus der Fläche zwischen zwei Graphen entsprechen den Schnittstellen der beiden Graphen.

Im CAS können die beiden verschobenen Funktionen von $f$ und $h$ definiert werden und die Schnittstellen durch Gleichsetzen berechnet werden.

Mathematische Funktionserstellung und -lösung auf einem Taschenrechner-Display.

Der CAS liefert die Schnittstellen und somit die Integrationsgrenzen für den Rotationskörper mit:

$x_1=a=-2$ und $x_2=b=2$

4. Schritt: Volumen des Rotationskörpers berechnen

Für das Volumen eines Rotationskörpers, der aus einer Fläche entsteht, die von den Graphen zweier Funktionen $f$ und $h$ eingeschlossen wird, gilt:

$V= \pi \cdot \left( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)^2 \mathrm{d}x - \displaystyle\int_{a}^{b} h(x)^2 \mathrm{d}x\right)$

Mit dem Befehl menu 4 3 kann im CAS ein Integral eingefügt werden. Einsetzen der Integrationsgrenzen $a=-2$ bzw $b=2$ ergibt dann:

Mathematische Berechnungen auf einem Taschenrechner mit Integralen und Ergebnissen.

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt somit etwa $57,33 \;\text{VE}.$

5. Schritt: Körper skizzieren

Mit dem CAS können die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ graphisch dargestellt werden und eine Wertetabelle angezeigt werden:

Grafische Darstellung und Datenanalyse in einem mathematischen Software-Interface.

Der entstandene Körper sieht somit wie folgt aus: