B1 - Analytische Geometrie

Gegeben ist das im Material dargestellte quaderförmige Holzgerüst mit quadratischer Grundfläche mit einer Länge und einer Breite von jeweils $3\;\text{m}$ und einer Höhe von $2,50\;\text{m}$ . Als Sonnen- und Sichtschutz wird ein dreieckiges Sonnensegel in den Punkten $S(3\mid 2\mid 2,5),$ $T(3\mid 3\mid 0,5)$ und $U(0\mid 3\mid 2)$ befestigt. Der Flächeninhalt des Sonnensegels beträgt $A\approx 3,44 \;\text{m}^2.$

Gib die Koordinaten der Eckpunkte des Holzgerüstes an. Die Pfostendicke bleibt dabei unberücksichtigt.

(4 BE)

1.2

Zeichne das Sonnensegel in die Abbildung im Material und berechne eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E.$
$[\text{zur Kontrolle}: E: x + 4y +2z=16]$

(7 BE)

1.3

Durch das Sonnensegel wird die Höhe eingeschränkt. Damit man den Raum noch großzügig nutzen kann, soll die Stehhöhe über dem Punkt $P(2,5\mid2,5\mid0)$ noch $h = 2,0\;\text{m}$ betragen. Prüfe, ob durch die Befestigung des Sonnensegels die Stehhöhe über dem Punkt $P$ beeinträchtigt wird.

(4 BE)

1.4

Bestimme den Winkel zwischen der Sonnensegelebene und der Dachebene $DCGH.$

(3 BE)

Bei starkem Wind beginnt das Sonnensegel zu flattern. Um die Bewegung des Sonnensegels einzuschränken, wird eine zur Dreiecksfläche orthogonale Verbindung zum Eckpunkt $C$ konzipiert.

2.1

Bestimme die Länge dieses Verbindungsstücks unter der modellhaften Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt.
$\left[ \text{zur Kontrolle: } d \approx 0,87\;\text{m}\right]$

(4 BE)

2.2

Zu künstlerischen Zwecken sollen innerhalb des Holzgerüsts drei weitere dreieckige Tücher gespannt werden, die jeweils eine Seitenkante des vorhandenen Sonnensegels mit dem Eckpunkt $C$ verbinden. Berechne, wie viel Prozent des Raumes innerhalb des Holzgerüstes der entstehende Körper einnimmt.

(4 BE)

Es beginnt zu regnen. Die Regentropfen fallen dabei modellhaft geradlinig in Richtung $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}0,5\\ -0,25\\ -1,25\end{pmatrix}.$ Durch das Sonnensegel bleibt ein Teil des Bodens trocken. Dieser trockene Teil wird durch die Punkte $\(S$ $\(T$ und $\(U$ begrenzt. Berechne die Koordinaten von $\(U$ und stelle diese Fläche in deiner Zeichnung dar.

(4 BE)

Material

1.1

Aus der Augabenstellung folgt, dass die Länge und Breite des Holzgerüstes $3\;\text{m}$ beträgt und die Höhe $2,5\;\text{m}.$ Mit Hilfe des Koordinatensystems folgt, dass ein Meter einer Längeneinheit entspricht, sowie dass $E$ im Ursprung liegt. Damit ergeben sich folgende Koordinaten für die Eckpunkte:

$\begin{array}[t]{l} A( 3 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] B(3 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] C( 3 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] D( 3 \mid 0 \mid 2,5) \\[5pt] E( 0 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] F( 0 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] G( 0 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] H( 0 \mid 0 \mid 2,5) \end{array}$

1.2

Sonnensegel einzeichnen

Einzeichnen der drei gegebenen Punkte $S$ , $T$ und $U$ und Verbinden dieser liefert:

Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$ berechnen

Zwei Spannvektoren der Ebene ergeben sich wie folgt:

$\overrightarrow{ST}$ $=\overrightarrow{OT}$ $-\overrightarrow{OS}$ $= \begin{pmatrix}3\\3\\0,5\end{pmatrix}$ $-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix},$

$\overrightarrow{SU}$ $=\overrightarrow{OU}$ $-\overrightarrow{OS}$ $= \begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ $-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}.$

Mit Hilfe des crossP-Befehls des CAS ergibt sich der Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Stützvektoren:

$\overrightarrow{n}$ $= \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$ $\times \begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix}1 \cdot (-0,5)-(-2) \cdot 1\\(-2) \cdot (-3)-0 \cdot (-0,5)\\0 \cdot 1-(-3) \cdot 1 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1,5\\6\\3 \end{pmatrix}$

Darstellung eines Vektorprodukts mit Zahlen in einer mathematischen Software.

Einsetzen von $P(3 \mid 2 \mid 2,5)$ liefert weiter:

$E: n_1\cdot p_1$ $+ n_2\cdot p_2$ $+ n_3\cdot p_3$ $= 1,5\cdot 3$ $+ 6\cdot 2$ $+ 3\cdot 2,5$ $=24$

Somit folgt für die allgemeine Koordinatengleichung insgesamt:

$\begin{array}{rll} E: &1,5\cdot x + 6\cdot y + 3 \cdot z =24 & \;\scriptsize \mid \; :1,5 \\[5pt] E: &x + 4\cdot y + 2 \cdot z =16 \end{array}$

1.3

Einsetzen der $x$ - und $y$ -Koordinate von $P$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ und auflösen nach der $z$ -Koordinaten liefert die Höhe des Sonnensegels über dem Boden am Punkt $P:$

Rechenweg anzeigen

$z = 1,75$

Die geforderte Stehhöhe von $2 \text{ m}$ wird durch das Sonnensegel somit beeinträchtigt.

1.4

1. Schritt: Normalenvektoren bestimmen

Der Normalenvekor der Sonnensegelebene $\overrightarrow{n}_E$ folgt direkt aus der Koordinatengleichung:

$\overrightarrow{n}_E=\pmatrix{1\\4\\2}$

Da die Dachebene die $xy$ -Ebene ist, gilt $\overrightarrow{n}_{DCGH}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

2. Schritt: Schnittwinkel berechnen

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 64,1$

Der Winkel zwischen Sonnensegelebene und Dachebene beträgt damit ca. $64,1^{\circ}$ .

2.1

Da die Länge von $\overrightarrow{n}$ durch $\left|\overrightarrow{n}\right|$ $=\sqrt{1^2+4^2+2^2}$ $=\sqrt{21}$ gegeben ist, folgt für die Hessesche Normalform der Ebene $E:$

$\dfrac{x+4y+2z-16}{\sqrt{21}}$ $=0$

Einsetzen von $C$ liefert dann weiter:

$d$ $=\dfrac{1\cdot 3 +4\cdot 3 +2\cdot 2,5 -16}{\sqrt{21}}$ $=\dfrac{4}{\sqrt{21}}$ $\approx 0,87$

Das Verbindungsstück ist somit ca. $0,87 \text{ m}$ lang.

2.2

1. Schritt: Volumen des Holzgerüsts berechnen

Das Holzgerüst hat eine Länge von $3 \text{ m}$ , eine Breite von $3 \text{ m}$ und eine Höhe von $2,5 \text{ m}.$ Damit ergibt sich für das Volumen:

$V_{Holzgerüst}$ $= 3 \cdot 3 \cdot 2,5$ $= 22,5 \;[\text{ m}^3]$

2. Schritt: Volumen des Körpers berechnen

Der gebildete Körper ist eine Pyramide mit dem vorhandenen Sonnensegel als Grundfläche und dem Punkt $C$ als Spitze. Für das Volumen der Pyramide folgt:

$V_{Pyramide}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\cdot A_{Sonnensegel}$ $\cdot h_{Pyramide}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\cdot 3,44$ $\cdot 0,87$ $\approx 1 \; [\text{m}^3]$

3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

$\dfrac{V_{Pyramide}}{V_{Holzgerüst}}$ $= \dfrac{1 \text{ m}^3}{22,5 \text{ m}^3}$ $= \dfrac{2}{45}$ $\approx 0,044$

Damit nimmt der entstehende Körper etwa $4,4 \%$ des Raumes innerhalb des Holzgerüstes ein.

1. Schritt: Koordinaten von $\(U$ berechnen

$\(U$ ist der Punkt auf dem Boden, auf dem die Regentropfen landen würden, die vom Eckpunkt $U$ des Sonnensegels abgefangen werden. Mit Hilfe des Richtungsvektors $\overrightarrow{v}$ aus der Aufgabenstellung und dem Ortsvektor von $U$ als Stützvektor folgt:

$g: \pmatrix{0\\3\\2}$ $+ u\cdot\pmatrix{0,5\\-0,25\\-1.25}$

2. Schritt: $\(U$ berechnen

Da die $z$ -Koordinate von $\(U$ Null ist, folgt aus der Geradengleichung von $g:$

Rechenweg anzeigen

$u = 1,6$

Für die $x$ -Koordinate des gesuchten Punktes $\(U$ folgt damit:

$0$ $+ u \cdot 0,5$ $= 0$ $+ (1,6 \cdot 0,5)$ $= 0,8$

Die $y$ -Koordinate ergibt sich zu:

$3$ $+ u \cdot (-0,25)$ $= 3$ $+ (1,6 \cdot (-0,25))$ $= 2,6$

Die Koordinaten des Punktes $\(U$ sind damit gegeben durch $\(U$

3. Schritt: Fläche einzeichnen

1.1

1.2

Sonnensegel einzeichnen

Einzeichnen der drei gegebenen Punkte $S$ , $T$ und $U$ und Verbinden dieser liefert:

Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$ berechnen

Zwei Spannvektoren der Ebene ergeben sich wie folgt:

$\overrightarrow{ST}$ $=\overrightarrow{OT}$ $-\overrightarrow{OS}$ $= \begin{pmatrix}3\\3\\0,5\end{pmatrix}$ $-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix},$

$\overrightarrow{SU}$ $=\overrightarrow{OU}$ $-\overrightarrow{OS}$ $= \begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ $-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}.$

Mit Hilfe des crossP-Befehls des CAS ergibt sich der Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Stützvektoren:

Mathematische Berechnung mit Vektoren und Kreuzprodukt in einem Software-Interface.

Einsetzen von $P(3 \mid 2 \mid 2,5)$ liefert weiter:

$E: n_1\cdot p_1$ $+ n_2\cdot p_2$ $+ n_3\cdot p_3$ $= 1,5\cdot 3$ $+ 6\cdot 2$ $+ 3\cdot 2,5$ $=24$

Somit folgt für die allgemeine Koordinatengleichung insgesamt:

$\begin{array}{rll} E: &1,5\cdot x + 6\cdot y + 3 \cdot z =24 & \;\scriptsize \mid \; :1,5 \\[5pt] E: &x + 4\cdot y + 2 \cdot z =16 \end{array}$

1.3

Einsetzen der $x$ - und $y$ -Koordinate von $P$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ und auflösen nach der $z$ -Koordinaten liefert die Höhe des Sonnensegels über dem Boden am Punkt $P:$

Rechenweg anzeigen

$z = 1,75$

Die geforderte Stehhöhe von $2 \text{ m}$ wird durch das Sonnensegel somit beeinträchtigt.

1.4

1. Schritt: Normalenvektoren bestimmen

Der Normalenvekor der Sonnensegelebene $\overrightarrow{n}_E$ folgt direkt aus der Koordinatengleichung:

$\overrightarrow{n}_E=\pmatrix{1\\4\\2}$

Da die Dachebene die $xy$ -Ebene ist, gilt $\overrightarrow{n}_{DCGH}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

2. Schritt: Schnittwinkel berechnen

Unter Interactive $\to$ Vector $\to$ angle im CAS folgt mit Hilfe der Normalenvektoren für den Schnittwinkel $\alpha$ der Ebenen:

$\alpha \approx 64,12^{\circ}$

Mathematische Berechnung eines Winkels zwischen Vektoren in einer Software-Oberfläche.

Der Winkel zwischen Sonnensegelebene und Dachebene beträgt damit ca. $64,12^{\circ}$ .

2.1

Da die Länge von $\overrightarrow{n}$ durch $\left|\overrightarrow{n}\right|$ $=\sqrt{1^2+4^2+2^2}$ $=\sqrt{21}$ gegeben ist, folgt für die Hessesche Normalform der Ebene $E:$

$\dfrac{x+4y+2z-16}{\sqrt{21}}$ $=0$

Einsetzen von $C$ liefert dann weiter:

$d$ $=\dfrac{1\cdot 3 +4\cdot 3 +2\cdot 2,5 -16}{\sqrt{21}}$ $=\dfrac{4}{\sqrt{21}}$ $\approx 0,87$

Das Verbindungsstück ist somit ca. $0,87 \text{ m}$ lang.

2.2

1. Schritt: Volumen des Holzgerüsts berechnen

Das Holzgerüst hat eine Länge von $3 \text{ m}$ , eine Breite von $3 \text{ m}$ und eine Höhe von $2,5 \text{ m}.$ Damit ergibt sich für das Volumen:

$V_{Holzgerüst}$ $= 3 \cdot 3 \cdot 2,5$ $= 22,5 \;[\text{ m}^3]$

2. Schritt: Volumen des Körpers berechnen

Der gebildete Körper ist eine Pyramide mit dem vorhandenen Sonnensegel als Grundfläche und dem Punkt $C$ als Spitze. Für das Volumen der Pyramide folgt:

$V_{Pyramide}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\cdot A_{Sonnensegel}$ $\cdot h_{Pyramide}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\cdot 3,44$ $\cdot 0,87$ $\approx 1 \; [\text{m}^3]$

3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

$\dfrac{V_{Pyramide}}{V_{Holzgerüst}}$ $= \dfrac{1 \text{ m}^3}{22,5 \text{ m}^3}$ $= \dfrac{2}{45}$ $\approx 0,044$

Damit nimmt der entstehende Körper etwa $4,4 \%$ des Raumes innerhalb des Holzgerüstes ein.

1. Schritt: Koordinaten von $\(U$ berechnen

$g: \pmatrix{0\\3\\2}$ $+ u\cdot\pmatrix{0,5\\-0,25\\-1.25}$

2. Schritt: $\(U$ berechnen

Da die $z$ -Koordinate von $\(U$ Null ist, folgt aus der Geradengleichung von $g:$

Rechenweg anzeigen

$u = 1,6$

Für die $x$ -Koordinate des gesuchten Punktes $\(U$ folgt damit:

$0$ $+ u \cdot 0,5$ $= 0$ $+ (1,6 \cdot 0,5)$ $= 0,8$

Die $y$ -Koordinate ergibt sich zu:

$3$ $+ u \cdot (-0,25)$ $= 3$ $+ (1,6 \cdot (-0,25))$ $= 2,6$

Die Koordinaten des Punktes $\(U$ sind damit gegeben durch $\(U$

3. Schritt: Fläche einzeichnen