A2 - Analysis

Eine Gärtnerei vertreibt ein tunnelförmiges Foliengewächshaus, dessen Bodenfläche $12\;\text{m}$ lang und $7\;\text{m}$ breit ist und dessen Höhe $3\;\text{m}$ beträgt (Material 1).

Ermittle die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $p,$ deren Graph die parabelförmige Berandung der vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschreibt.

Rechenweg anzeigen

$\left[\text{zur Kontrolle:} \; p(x) = \; ...\right]$

(6 BE)

2.1

Berechne das gesamte Volumen des Gewächshauses unter der Annahme, dass die vordere und hintere Abschlussfläche senkrecht auf der Bodenfläche stehen.

(8 BE)

2.2

Um eine geeignete Arbeitshöhe für die Gärtner zu bekommen, wird in einer Hälfte des Gewächshauses in 1 Meter Höhe über die gesamte Länge des Gewächshauses ein Zwischenboden eingefügt (Material 2).
Ermittle den Flächeninhalt des Zwischenbodens.
Berechne, um wie viel Prozent der Zwischenboden kleiner ist als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.

(6 BE)

Im Zusammenhang mit dem Gewächshaus wird der folgende Term aufgestellt.
$12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24\cdot x^2}\;\mathrm dx$
Erläutere mit Hilfe der Information im untenstehenden Kasten den Aufbau dieses Terms und seine Bedeutung im Sachzusammenhang.

Die Länge des Graphen einer differenzierbaren Funktion $f$ zwischen den Punkten $A(a\mid f(a))$ und $B(b\mid f(b))$ wird durch die folgende Formel berechnet:
$L$ $\( = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f$

(6 BE)

Mehrere Kunden reklamieren, dass das Gewächshaus im oberen Bereich zu eng gebaut sei. Die Firma möchte mit einer elliptischen Form Abhilfe schaffen (Material 3).

4.1

Die ursprüngliche Höhe und die Breite der Bodenfläche des Gewächshauses sollen zunächst beibehalten werden.
Bestimme eine entsprechende Funktion $g$ für das Profil des Gewächshauses und skizziere sie in Material 2.

(4 BE)

4.2

Allerdings wird der Verbrauch an Folie für die Bedachung jetzt größer. Die Firma möchte den Mehrverbrauch auf $5\;\%$ gegenüber der parabelförmigen Bedachung beschränken und dafür die Höhe des Gewächshauses bei gleichbleibender Länge und Breite der Bodenfläche reduzieren. (Die vordere und hintere Abschlussfläche werden nicht betrachtet.)
Ermittle die dafür notwendige Höhenreduzierung unter Verwendung der in Aufgabe 3 gegebenen Formel.

(10 BE)

Material 1

Material 2

Material 3

Information: Die Gleichung $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$ beschreibt eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt und deren große Halbachse mit $a,$ die kleine Halbachse mit $b$ bezeichnet wird

Löst man die Gleichung nach y auf, erhält man für die Funktion des oberen Ellipsenbogens die Funktionsgleichung:
$y(x) = \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

Mit Hilfe der $x$ -Achse als Boden und der $y$ -Achse in der Mitte des Durchschnittes des Gewächshaueses, wobei eine Längeneinheit einem Meter entspricht, ergeben sich aus der Aufgabenstellung folgende drei Gleichungen für die allgemeine Funktionsgleichung $p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c:$

$\begin{array}[t]{rll} p\left(-\dfrac{7}{2}\right)&=& 0 \\[5pt] p\left(\dfrac{7}{2}\right)&=& 0 \\[5pt] p(0)&=& 3 \end{array}$

Aufstellen eines linearen Gleichungssystems liefert:

$\begin{array}{} \text{I}\quad& \left(-\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a- \dfrac{7}{2} \cdot b + c &=& 0 \\ \text{II}\quad& \left(\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a + \dfrac{7}{2} \cdot b + c &=& 0 \\ \text{III}\quad& 0^2 \cdot a + 0 \cdot b + c &=& 3 \\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:

$a=-\dfrac{12}{49}$
$b=0$
$c=3$

Mathematische Gleichungen und Parameterlösungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Die Funktion $p$ ist also gegeben durch $p(x)$ $= a$ $\cdot x^2$ $+ b\cdot x$ $+ c$ $= -\dfrac{12}{49}$ $\cdot x^2$ $+3,$ wobei $x$ im Intervall $[-3,5 ; 3,5]$ liegt und eine Längeneinheit einem Meter entspricht.

2.1

Das gesamte Volumen des Gewächshauses ergibt sich durch Multiplikation des Flächeninhaltes der Vorderfläche mit der Länge des Gewächshauses. Für den Flächeninhalt der Vorderfläche ergibt sich mit Hilfe der Integralberechnung des CAS unter 4: Analysis $\to$ 3: Integral:

$A = \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x)\; \mathrm dx = 14 \;[\text{m}^2]$

Mathematische Darstellung eines Integrals mit einer Funktion p(x).

Damit folgt für das gesamte Volumen des Gewächshauses:

$V_{\text{gesamt}}$ $= 12$ $\cdot A$ $= 12$ $\cdot 14$ $= 168 \;[\text{m}^3]$

2.2

1. Schritt: Fläche des Zwischenbodens berechnen

Die Fläche des Zwischenbodens hat die Form eines Rechtecks. Die Breite ergibt sich durch den $x$ -Wert der in Material 2 dargestellten Schnittstelle der Geraden $y=1$ mit der Parabel. Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt für die Schnittstelle:

$x_{1,2} = \pm \dfrac{7}{\sqrt{6}}$

Mathematische Gleichung zur Lösung eines Problems mit p(x) und x-Werten.

Da der Zwischenboden in der Skizze rechts von der $y$ -Achse liegt, ist $x_1 = \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ die gesuchte $x$ -Koordinate. Für die Breite folgt:

$\dfrac{7}{\sqrt{6}}$ $- 0$ $= \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ $\approx 2,86 \;[\text{m}]$ .

Für den Flächeninhalt des Zwischenbodens folgt damit insgesamt:

$A_{\text{Zwischenboden}}$ $= \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ $\cdot 12$ $= \dfrac{7 \cdot 2 \cdot 6}{\sqrt{6}}$ $= 14$ $\cdot \sqrt{6}$ $\approx 34,3 \;[\text{m}^2].$

2. Schritt: Flächeninhalt der Bodenfläche der Gewächshaushälfte berechnen

Mit einer Länge von $12 \; \text{m}$ und einer Breite von $3,5 \text{ m}$ folgt für den Flächeninhalt der Bodenflächenhälfte:

$A_{\text{Bodenflächenhälfte}}$ $= 12 \text{ m}$ $\cdot 3,5 \text{ m}$ $= 42 \text{ m}^2.$

3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen

$\dfrac{A_{\text{Zwischenboden}}}{A_{\text{Bodenflächenhälfte}}}$ $= \dfrac{34,3 \text{ m}^2}{42 \text{ m}^2}$ $\approx 0,82.$

Der Zwischenbodenflächeninhalt misst damit ca. $82 \text{ %}$ der Bodenfläche der Gewächshaushälfte. Somit ist der Zwischenboden etwa $100\text{ %} - 82\text{ %} = 18 \text{ %}$ kleiner.

Einsetzen von $\(p$ in die Formel aus der Aufgabenstellung zur Berechnung von $L$ ergibt mit $b=3,5$ und $a=0:$

Rechenweg anzeigen

$L$ $= \displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx$

Das Integral ist somit also die Länge des Graphen zwischen dem Hochpunkt und der positiven Nullstelle von $p.$ Die $12$ in dem Term entspricht der Länge des Gewächshauses, das heißt durch Multiplikation ergibt sich die Fläche der rechten Hälfte Gewächshausdaches. Multiplikation mit $2$ liefert die Fläche des gesamten Daches. Der Term becshreibt also die Fläche des Gewächshausdaches.

4.1

Funktion $\boldsymbol{g}$ bestimmen

Bei der allgemeinen Gleichung $g(x)$ $= \dfrac{b}{a}$ $\cdot\sqrt{a^2-x^2}$ einer Funktion für den oberen Ellipsenbogen entspricht $b$ der Höhe des Gewächshauses und $a$ der Breite. Einsetzen von $b=3\;\text{m}$ und $a=3,5\;\text{m}$ liefert:

$g(x)$ $=\dfrac{b}{a}$ $\cdot\sqrt{a^2-x^2}$ $=\dfrac{3}{3,5}$ $\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}$ $= \dfrac{6}{7}$ $\cdot\sqrt{12,25-x^2}.$

Funktion $\boldsymbol{g}$ skizzieren

Mit Hilfe der Wertetabelle der Funktion $g,$ die sich im CAS anzeigen lässt, folgt:

4.2

Für die Gleichung von $g$ folgt bei gleichbleibender Breite:

$g(x)$ $= \dfrac{b}{a}$ $\cdot\sqrt{a^2-x^2}$ $= \dfrac{b}{3,5}$ $\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}$ $= \dfrac{b}{3,5}$ $\cdot\sqrt{12,25-x^2}.$

1. Schritt: Größe der neuen Fläche

Berechnung des Termes aus Aufgabe 3 für die alte Fläche und Multiplikation mit $1,05$ liefert für die Größe der neuen Fläche:

$A_{\text{neu}}$ $= 1,05$ $\cdot12$ $\cdot 2$ $\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx$ $\approx 1,05$ $\cdot 115,41 \approx 121,18 \;[\text{m}^2]$

Mathematische Berechnung mit Integral und Wurzelausdrücken in einem Software-Interface.

2. Schritt: Neue Höhe bestimmen

$b \approx 2,91 \;\text{m}$

Mathematische Funktionen und Berechnungen in einer Softwareanwendung.

Insgesamt beträgt damit die Höhendifferenz $3\;\text{m}-2,9\;\text{m}=0,1\;[\text{m}].$

$\begin{array}[t]{rll} p\left(-\dfrac{7}{2}\right)&=& 0 \\[5pt] p\left(\dfrac{7}{2}\right)&=& 0 \\[5pt] p(0)&=& 3 \end{array}$

Aufstellen eines linearen Gleichungssystems liefert:

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:

$a=-\dfrac{12}{49}$
$b=0$
$c=3$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einem interaktiven Format.

2.1

$A = \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x)\; \mathrm dx = 14 \;[\text{m}^2]$

Mathematische Berechnung mit einer Funktion und Integral von -3.5 bis 3.5, Ergebnis ist 14.

Damit folgt für das gesamte Volumen des Gewächshauses:

$V_{\text{gesamt}}$ $= 12$ $\cdot A$ $= 12$ $\cdot 14$ $= 168 \;[\text{m}^3]$

2.2

1. Schritt: Fläche des Zwischenbodens berechnen

$x_{1,2} = \pm \dfrac{7}{\sqrt{6}}$

Mathematische Berechnungen in einer Software, die eine Funktion definiert und Lösungen für eine Gleichung findet.

Da der Zwischenboden in der Skizze rechts von der $y$ -Achse liegt, ist $x_1 = \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ die gesuchte $x$ -Koordinate. Für die Breite folgt:

$\dfrac{7}{\sqrt{6}}$ $- 0$ $= \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ $\approx 2,86 \;[\text{m}]$ .

Für den Flächeninhalt des Zwischenbodens folgt damit insgesamt:

$A_{\text{Zwischenboden}}$ $= \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ $\cdot 12$ $= \dfrac{7 \cdot 2 \cdot 6}{\sqrt{6}}$ $= 14$ $\cdot \sqrt{6}$ $\approx 34,3 \;[\text{m}^2].$

2. Schritt: Flächeninhalt der Bodenfläche der Gewächshaushälfte berechnen

Mit einer Länge von $12 \; \text{m}$ und einer Breite von $3,5 \text{ m}$ folgt für den Flächeninhalt der Bodenflächenhälfte:

$A_{\text{Bodenflächenhälfte}}$ $= 12 \text{ m}$ $\cdot 3,5 \text{ m}$ $= 42 \text{ m}^2.$

3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen

$\dfrac{A_{\text{Zwischenboden}}}{A_{\text{Bodenflächenhälfte}}}$ $= \dfrac{34,3 \text{ m}^2}{42 \text{ m}^2}$ $\approx 0,82.$

Der Zwischenbodenflächeninhalt misst damit ca. $82 \text{ %}$ der Bodenfläche der Gewächshaushälfte. Somit ist der Zwischenboden etwa $100\text{ %} - 82\text{ %} = 18 \text{ %}$ kleiner.

Einsetzen von $\(p$ in die Formel aus der Aufgabenstellung zur Berechnung von $L$ ergibt mit $b=3,5$ und $a=0:$

Rechenweg anzeigen

$L$ $= \displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx$

4.1

Funktion $\boldsymbol{g}$ bestimmen

$g(x)$ $=\dfrac{b}{a}$ $\cdot\sqrt{a^2-x^2}$ $=\dfrac{3}{3,5}$ $\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}$ $= \dfrac{6}{7}$ $\cdot\sqrt{12,25-x^2}.$

Funktion $\boldsymbol{g}$ skizzieren

Mit Hilfe der Wertetabelle der Funktion $g,$ die sich im CAS anzeigen lässt, folgt:

4.2

Für die Gleichung von $g$ folgt bei gleichbleibender Breite:

$g(x)$ $= \dfrac{b}{a}$ $\cdot\sqrt{a^2-x^2}$ $= \dfrac{b}{3,5}$ $\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}$ $= \dfrac{b}{3,5}$ $\cdot\sqrt{12,25-x^2}.$

1. Schritt: Größe der neuen Fläche

Berechnung des Termes aus Aufgabe 3 für die alte Fläche und Multiplikation mit $1,05$ liefert für die Größe der neuen Fläche:

$A_{\text{neu}}$ $= 1,05$ $\cdot12$ $\cdot 2$ $\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx$ $\approx 1,05$ $\cdot 115,41 \approx 121,18 \;[\text{m}^2]$

Mathematische Berechnung mit Integral und Wurzel in einem Texteditor. Ergebnisse sind 115.4123579 und 121.1829757.

2. Schritt: Neue Höhe bestimmen

Definition der ersten Ableitung $\(g$ im CAS und Lösen der Gleichung $121,18 = 12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+(g‘(x))^2}\;\mathrm dx$ mit dem solve-Befehl des CAS liefert für die neue Höhe den Wert $b \approx 2,91 \;\text{m}.$
Insgesamt beträgt damit die Höhendifferenz $3\;\text{m}-2,9\;\text{m}=0,1\;[\text{m}].$