B2 – Analysis
1
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
Abbildung 1 zeigt den Graphen von sowie den Punkt 
Abbildung 1
1.1
Der Graph von besitzt den Tiefpunkt 
Zeige rechnerisch, dass der Graph von keine weiteren Extrempunkte besitzt.
Die Gerade durch die Punkte
(3 BE)
1.2
Ermittle eine Gleichung von 
und weise rechnerisch nach, dass die Tangente an den Graphen von im Punkt 
ist.
[zur Kontrolle: Gleichung von ![\( t: y=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{5}{8}]\)](https://mathjax.schullv.de/a81076479b18f4af4534c76d85943456d7aa615513161188e2f7684746669dde?color=5a5a5a)
(4 BE)
1.3
Der Graph von und die Tangente schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.
Bestimme den Inhalt dieser Fläche.
(5 BE)
1.4
Skizziere in Abbildung 1 zwei von verschiedene Tangenten an den Graphen von 
die die 
-Achse im Punkt 
schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.
(3 BE)
1.5
Der Graph der in definierten Funktion 
kann aus dem Graphen von erzeugt werden.
Der Punkt 
des Graphen von wird dabei aus dem Punkt 
des Graphen von erzeugt und für alle 
gilt 
mit 
Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von 
und 
an und berechne die Werte von und 
(4 BE)
2
Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer 
beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer 
beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar.
Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion aus Aufgabe 1 beschrieben.
Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch die in definierte Funktion 
mit 
beschrieben.
Dabei ist 
die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und 
bzw. 
die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.
Abbildung 2
2.1
Bestimme die Geschwindigkeit von Radfahrer A drei Sekunden nach dem Start sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von 8 Meter pro Sekunde erreicht.
(3 BE)
2.2
Ermittle die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer B ab dem Zeitpunkt 12 Sekunden nach dem Start bewegt.
Zeige rechnerisch, dass der zum Radfahrer B gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle 12 keinen Knick aufweist.
Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit
(3 BE)
2.3
Bestimme rechnerisch 
(3 BE)
2.4
Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt.
Gib die Bedeutung von 
für 
im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis 
hat für nur die Lösung 
(4 BE)
2.5
Es gibt genau einen Zeitpunkt in den ersten 10 Sekunden nach dem Start, zu dem einer der beiden Radfahrer den anderen überholt.
Bestimme, um wieviel Prozent die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens übersteigt.
(3 BE)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?
1.1
Für die erste Ableitung von gilt:
Anwenden der notwendingen Bedingung für Extremstellen liefert:
Mit dem Satz des Nullprodukts folgen somit 
und 
Einsetzen von Werten um 
herum in 
liefert, dass sich das Vorzeichen an dieser Stelle nicht ändert. Somit besitzt der Graph von dort keinen Extrempunkt, das heißt nach der notwendingen Bedingung für Extremstellen ist die einzige Extremstelle.
1.2
Gleichung ermitteln
Für die Steigung der Geraden gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m &=&\dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} & \\[5pt]
&=&\dfrac{-1--\left(\frac{5}{8}\right)} {-\frac{1}{4}-0} & \\[5pt]
&=&\dfrac{-\frac{3}{8}}{-\frac{2}{8}} & \\[5pt]
&=& \dfrac{3}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8f9437b85172aa3a2bb3c80b0094a552be8aa1c44025a138221f06c4e0cf1ccd?color=5a5a5a)
Da der Punkt auf der -Achse liegt, ergibt sich der -Achsenabschnitt direkt zu 
Eine Gleichung der Geraden ist somit gegeben durch:
Tangente nachweisen
Die Gerade ist genau dann die Tangente an den Graphen von im Punkt 
wenn durch diesen Punkt verläuft und an dieser Stelle die gleiche Steigung wie besitzt.
-Koordinate berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(5)&=& \dfrac{3}{1000} \cdot 5^4-\dfrac{8}{100} \cdot 5^3+\dfrac{6}{10} \cdot 5^2 & \\[5pt]
&=& 6,875
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2e3d6ad3ed3b832f8913ea6625831d454f56116483ccc6cf42f64aeb2f106679?color=5a5a5a)
Einsetzen in die Gleichung von liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\quad 6,875 &=& \dfrac{3}{2}\cdot 5 -\dfrac{5}{8} & \\[5pt]
6,875 &=& 6,875
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9a843484e8f5e5b81950da3e81e282cfd5e468cadd350b7885f534a3ec294ca3?color=5a5a5a)
Somit verläuft die Gerade durch den Punkt 
Für die Steigung von in diesem Punkt gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/1c311a19c4d8fd66b0a931ae446ac22367c67cbfd96b04b4743ca945e2be834c?color=5a5a5a)
Somit haben und im betrachteten Punkt die gleiche Steigung.
Die Gerade ist somit die Tangente an den Graphen von im Punkt
1.3
Neben dem Punkt 
müssen zwei weitere Schnittpunkte existieren, sodass zwischen diesen von den beiden Graphen zwei Flächenstücke eingeschlossen werden.
Gleichsetzen von und liefert:
Das CAS liefert 
und 
Da die Tangente an im Punkt ist, lässt sich mit Hilfe der Abbildung schließen, dass im Intervall ![\([0,52; 16,15]\)](https://mathjax.schullv.de/7e43e4198b87239597bff0abf44c5e9c6dc2b305f2c51423da269332cb181079?color=5a5a5a)
oberhalb des Graphen von verläuft.
Der Inhalt der gesamten Fläche zwischen den beiden Graphen folgt also mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \displaystyle\int_{0,52}^{16,15} \left(t(x)-f(x)\right)\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
&\approx & 44,59 \; [\text{FE}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/42bf66a8ca724f0385cfcc14788cebc2893e2ad6d5be03676d6a7d7e497e6e67?color=5a5a5a)
1.4
1.5
Der Graph von entsteht aus dem Graphen von indem mit dem Faktor in -Richtung gestreckt wird und mit dem Faktor 
in -Richtung gestreckt wird.
Für folgt somit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g(12)&=&a\cdot f(10) \\[5pt]
12&=&a\cdot 10 &\quad \scriptsize \mid\;:10\\[5pt]
\dfrac{6}{5}&=&a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fb0e63842b8203e0965a8cc09a7d47dc63d3f9716e310d71204577be3675459f?color=5a5a5a)
Für den Wert von ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
12&=&\dfrac{1}{b}\cdot10 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt]
12b&=&10 &\quad \scriptsize \mid\;:12\\[5pt]
b&=&\dfrac{5}{6}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a6407b1ce3258c26bd3aee3b2825928c97313c2e4458c8205aa2996e69b0c5ca?color=5a5a5a)
2.1
Geschwindigkeit berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(3)&=&\dfrac{3}{1000} \cdot 3^4-\dfrac{8}{100} \cdot 3^3+\dfrac{6}{10} \cdot 3^2 \\[5pt]
&\approx&3,48
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a76ae2a9472aad2b6c5161da19e7b6f2e6ef6dac2ab68013fcd276c1d2b5a226?color=5a5a5a)
Drei Sekunden nach dem Start beträgt die Geschwindigkeit von Radfahrer somit ca. 
Zeitpunkt bestimmen
Zum gesuchten Zeitpunkt soll gelten:
2.2
Geschwindigkeit ermitteln
Ab dem Zeitpunkt 
gilt:
Ab dem Zeitpunkt 12 Sekunden nach dem Start bewegt sich der Radfahrer also mit einer Geschwindigkeit von 
fort.
Knick überprüfen
Da sich der Radfahrer ab dem Zeitpunkt 12 Sekunden nach dem Start mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt, gilt für 
An der Stelle 12 ist genau dann kein Knick, wenn die Funktion an dieser Stelle die gleiche Steigung wie der konstante Term nach diesem Zeitpunkt aufweist.
Es muss also gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h](https://mathjax.schullv.de/ce36013b2036919d1057bcffe4b187900a2ebc81a2b67688ffcdcc92db5d4724?color=5a5a5a)
Somit weist der zum Radfahrer B gehörende Graph an der Stelle 12 keinen Knick auf.
2.3
Zum gesuchten Zeitpunkt 
muss gelten:
2.4
Bedeutung von 
angeben
Der Funktionswert gibt an, um wie viele Meter pro Sekunde Radfahrer zum Zeitpunkt von Sekunden nach dem Start schneller ist als Radfahrer 
Interpretation des Ergebnisses
Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer innerhalb der ersten Sekunden nach dem Start beträgt ca. 
2.5
Auflösen der Gleichung 
nach 
mit dem solve-Befehl des CAS ergibt für 
Zu diesem Zeitpunkt ist Radfahrer schneller. Für den Wert in Prozent, um den die Geschwindigkeit von Radfahrer die Geschwindigkeit von Radfahrer zu diesem Zeitpunkt übersteigt, folgt somit mit dem CAS:
