C – Lineare Algebra / Analytische Geometrie

Es werden die Flugbahnen von modellhaft als punktförmig angenommenen Insekten betrachtet, die sich in einem bestimmten Zeitraum in guter Näherung geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.

Im folgenden Modell befindet sich der Erdboden in der $xy$ -Ebene. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.

Die Flugbahn eines Insekts lässt sich durch eine Gerade mit der Gleichung $g: \; \overrightarrow{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 85} + t_1 \cdot \pmatrix{70 \\ 10 \\ -25}$ beschreiben, wobei $t_1$ die Zeit in Sekunden nach einem bestimmten Startzeitpunkt darstellt.

1.1

Deute das Ergebnis der Rechnung $\left|\pmatrix{70 \\ 10 \\ -25}\right|=\ldots=75$ im Sachzusammenhang und gib den fehlenden Rechenschritt an.

(3 BE)

1.2

Der Punkt $R(98\mid 14 \mid 50)$ gehört zu einer Blüte.

Prüfe, ob das Insekt auf der gegebenen Flugbahn im Punkt $R$ auf die Blüte trifft.

(2 BE)

1.3

Die Flugbahn eines weiteren Insekts lässt sich durch eine Gerade mit der Gleichung $h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{35 \\ 30 \\ 60} + t_2 \cdot \pmatrix{70 \\ -40 \\ 0}$ beschreiben, wobei $t_2$ ebenfalls die Zeit in Sekunden nach dem in Aufgabe 1 betrachteten Startzeitpunkt darstellt.

1.3.1

Begründe, dass sich die Flughöhe dieses Insekts nicht verändert.

(1 BE)

1.3.2

Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden, und begründe, dass die beiden Insekten nicht kollidieren.

(5 BE)

Amerikanische Wissenschaftler haben entdeckt, dass sich die Fäden von Spinnennetzen der Beute entgegen heben, noch bevor diese das Spinnennetz überhaupt berührt.

Die Videos einer Hochgeschwindigkeitskamera zeigen, dass Insekten dem Netz nicht näher als $2 \, \text{mm}$ kommen dürfen, da sie sonst aufgrund der elektrischen Ladung das Netz anziehen und darin hängen bleiben können.

Im Modell befindet sich das Netz einer Spinne in einer Ebene $N,$ wobei die Punkte $S_1(1\mid 1\mid 1),$ $S_2(2\mid1\mid3)$ und $S_3(3\mid0\mid0)$ zum Spinnennetz gehören.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet sich ein Insekt im Punkt $I(2,4\mid 0,25\mid 1,55).$

2.1

Gib eine Parametergleichung der Ebene $N$ an und ermittle eine zugehörige Koordinatengleichung.

$[$ Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene $N$ ist $2x + 5y - z = 6.]$

(5 BE)

2.2

Die Ebene $N$ enthält den Punkt $L(2,5 \mid 0,5 \mid 1,5).$

Zeige, dass $L$ derjenige Punkt der Ebene $N$ ist, der den kleinsten Abstand zum Punkt $I$ hat.

Beurteile, ob zum betrachteten Zeitpunkt die Gefahr besteht, dass das Insekt im Spinnennetz hängen bleibt.

(4 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1

Ergebnis deuten

Der Betrag des Richtungsvektors gibt die Strecke an, welche das Insekt pro Sekunde zurücklegt. Das Insekt bewegt sich folglich mit einer Geschwindigkeit von $75 \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$ fort.

Rechenschritt angeben

$\begin{array}[t]{rll} \left|\pmatrix{70 \\ 10 \\ -25}\right|&=& \sqrt{70^2 + 10^2 + (-25)^2} & \\[5pt] &=& 75 \end{array}$

1.2

Einsetzen der Koordinaten von $R$ in die Gleichung der Flugbahn liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{98 \\ 14 \\ 50 }&=& \pmatrix{0 \\ 0 \\ 85} + t_1 \cdot \pmatrix{70 \\ 10 \\ -25}& \\[5pt] \pmatrix{98 \\ 14 \\ 50 }&=& \pmatrix{70 \cdot t_1 \\ 10 \cdot t_1 \\ 85-25 \cdot t_1} \end{array}$

Für die erste Zeile gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 98&=& 70\cdot t_1&\quad \scriptsize \mid\; :70 \\[5pt] 1,4 &=& t_1 \end{array}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 14&=& 10 \cdot t_1 &\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] 1,4 &=& t_1 \end{array}$

Überprüfen durch Einsetzen von $t_1=1,4$ in die dritte Zeile ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 50&=& 85-25 \cdot 1,4 &\\[5pt] 50&=& 50 \end{array}$

Somit ist $t_1=1,4$ eine Lösung des Gleichungssystems. Das Insekt trifft folglich nach 1,4 Sekunden im Punkt $R$ auf die Blüte.

1.3.1

Die Höhe des Insekts während des Flugs wird durch die $z$ -Koordinate bestimmt.

Für diese gilt in Abhängigkeit von $t_2:$

$z_t=60+ t_2 \cdot 0= 60$

Die Höhe verändert sich somit nicht und beträgt stets $60\,\text{cm}.$

1.3.2

Gleichsetzen der Gleichungen von $g$ und $h$ liefert:

Gleichung anzeigen

Aus der ersten Zeile ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 70t_1&=& 35+70t_2 &\quad \scriptsize \mid\; :70 \\[5pt] t_1 &=& 0,5+t_2 \end{array}$

Durch Einsetzen in die zweite Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 10t_1 &=& 30-40t_2&\quad \scriptsize \mid\; t_1=0,5+t_2 \\[5pt] 10 \cdot (0,5+t_2) &=& 30-40t_2& \\[5pt] 5+10t_2 &=& 30-40t_2& \quad \scriptsize \mid\; +40t_2 \mid -5 \\[5pt] 50t_2 &=& 25& \quad \scriptsize \mid\; :50 \\[5pt] t_2 &=& 0,5 \end{array}$

Für $t_1$ gilt somit $t_1=0,5+0,5=1.$

Überprüfen durch Einsetzen in die dritte Zeile liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 85+1 \cdot (-25) &=& 60+0,5 \cdot 0 & \\[5pt] 60 &=& 60 \end{array}$

Somit schneiden sich die beiden Flugbahnen für $t_1=1$ und $t_2=0,5.$

Da die beiden Insekten den Schnittpunkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten erreichen (nach einer bzw. einer halben Sekunde), kollidieren die Insekten nicht.

2.1

Parametergleichung angeben

Parametergleichung anzeigen

$N: \quad \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OS_1}+u \cdot \overrightarrow{S_1S_2} + v \cdot \overrightarrow{S_1S_3}$

Koordinatengleichung ermitteln

Ein möglicher Normalenvektor der Ebene $N$ ist:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \pmatrix{1\\0\\2} \times \pmatrix{2\\-1\\-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{0 \cdot (-1) -2 \cdot (-1)\\2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)\\ 1 \cdot (-1)-0 \cdot 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\5\\-1} \end{array}$

Einsetzen von $\overrightarrow{n}$ sowie der Koordinaten eines Punktes der Ebene in die allgemeine Koordinatengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} N: \quad2 \cdot x + 5 \cdot y -1 \cdot z &=& d \quad \scriptsize \mid\; S_1(1 \mid 1 \mid 1) \\[5pt] 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 -1 \cdot 1&=& d \\[5pt] 6 &=& d \end{array}$

Eine Koordinatengleichung von $N$ ist somit gegeben durch:

$N: \quad 2x+5y-z=6$

2.2

Abstand nachweisen

Der kürzeste Abstand von einem Punkt zu einer Ebene ist der senkrechte Abstand entlang der Normalen der Ebene.

$L$ ist somit genau dann der Punkt mit dem kürzesten Abstand zu $I,$ wenn $L$ der Lotfußpunkt von $I$ auf die Ebene $N$ ist.

Eine Geradengleichung der Normalen $i,$ die durch den Punkt $I$ verläuft, ist gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} i: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OI}+ s \cdot \overrightarrow{n} & \\[5pt] &=& \pmatrix{2,4 \\ 0,25 \\ 1,55 } + s \cdot \pmatrix{2\\5\\-1} \end{array}$

Der Lotfußpunkt von $I$ auf die Ebene $N$ entspricht dem Schnittpunkt von $i$ und $N.$

Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts von $i$ in die Koordinatengleichung von $N$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$s=0,05$

Durch Einsetzen in $i$ folgt der Lotfußpunkt $P$ mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{2,4 \\ 0,25 \\ 1,55 } + 0,05 \cdot \pmatrix{2\\5\\-1} &\\[5pt] &=& \pmatrix{2,5 \\ 0,5 \\ 1,5 } \end{array}$

Da die Koordinaten des Lotfußpunktes somit mit den Koordinaten von $L$ übereinstimmen, ist $L$ der Punkt in der Ebene $N,$ welcher den kleinsten Abstand zu $I$ hat.

Gefahr beurteilen

Für den Abstand des Insekts zum Netz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{IL} \mid &=& \left| \pmatrix{2,5-2,4\\0,5-0,25\\1,5-1,55} \right| & \\[5pt] &=& \sqrt{0,1^2+0,25^2+(-0,05)^2} & \\[5pt] &\approx& 0,27 \; [\text{cm}] \end{array}$

Aus dem Aufgabentext folgt, dass Insekten ab einer Nähe von $2\; \text{mm}$ zum Netz in diesem hängen bleiben.

Da sich das Insekt zum betrachteten Zeitpunkt etwa $2,7\; \text{mm}$ vom Spinnennetz entfernt befindet, besteht somit keine Gefahr.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?