C2.2 - Stochastik

In einem Land besuchen $45 \;\%$ der Siebtklässler ein Gymnasium.

1.1

Es werden 60 Siebtklässler zufällig ausgewählt und befragt, welche Schulform sie besuchen. Die Zufallsgröße $X$ bezeichnet die Anzahl der befragten Siebtklässler, die angeben, ein Gymnasium zu besuchen. Es ist davon auszugehen, dass alle Siebtklässler wahrheitsgemäß antworten.

Begründe, dass $X$ näherungsweise binomialverteilt mit dem Parameter $p=0,45$ ist, und bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$A:$ Genau 29 der befragten Siebtklässler geben an, ein Gymnasium zu besuchen.

$B:$ Die Anzahl der befragten Siebtklässler, die angeben, ein Gymnasium zu besuchen, weicht um höchstens 2 vom Erwartungswert von $X$ ab.

(8 BE)

1.2

Berechne, wie viele zufällig ausgewählte Siebtklässler man mindestens befragen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 \;\%$ mindestens ein Siebtklässler darunter ist, der angibt, ein Gymnasium zu besuchen.

(4 BE)

1.3

Die Klasse 7b der Gauß-Schule besteht aus 12 Jungen und 15 Mädchen.

Für die Vorbereitung eines Themas werden 3 Kinder aus der Klasse zufällig ausgewählt.

1.3.1

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 Mädchen ausgewählt werden.

(3 BE)

1.3.2

Beschreibe ein Ereignis $E,$ für dessen Wahrscheinlichkeit $P(E)=1-\dfrac{15}{27} \cdot \dfrac{14}{26} \cdot \dfrac{13}{25}$ gilt.

(2 BE)

1.4

Für einen Staffellauf wurden 4 Mädchen und 3 Jungen zufällig ausgewählt. Diese stellen sich hintereinander in einer Reihe auf.

Berechne, wie viele mögliche Anordnungen es gibt, wenn, beginnend mit einem Mädchen, Jungen und Mädchen einander immer abwechseln.

Erläutere deine Rechnung.

(3 BE)

Von den Lehrkräften eines Landes arbeiten $25 \;\%$ an einem Gymnasium. $15 \;\%$ der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind $72 \;\%$ der Lehrkräfte weiblich.

2.1

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

2.2

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Lehrkraft weiblich ist oder an einem Gymnasium arbeitet.

(2 BE)

2.3

Eine zufällig ausgewählte Lehrkraft ist weiblich.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie an einem Gymnasium arbeitet.

(2 BE)

2.4

100 Lehrkräfte werden zufällig ausgewählt.

2.4.1

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 100 Lehrkräften die Anzahl derer, die nicht an einem Gymnasium arbeiten, mindestens viermal so groß ist, wie die Anzahl derer, die an einem Gymnasium arbeiten.

(3 BE)

2.4.2

Gib die Bedeutung des Terms $\displaystyle\sum\limits_{k=75}^{100} \left(\begin{array}{c}100 \\ \mathrm{k}\end{array}\right) \cdot 0,75^{\mathrm{k}} \cdot 0,25^{100-\mathrm{k}}$ im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Dazu wird ein Spiel angeboten.

Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von 2 Euro; dieser Betrag wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen.

Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält der Spieler den dann ausliegenden Betrag.

3.1

Der Term $8 \cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+2 \cdot 2 \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{9}+\dfrac{1}{2} \cdot\left(\dfrac{5}{9}\right)^2$ gibt den Erwartungswert für den Betrag in Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält.

Gib die Bedeutung des zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang an und erläutere deine Angabe.

(3 BE)

3.2

Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine weiße Kugel zu ziehen, wird mit $p$ bezeichnet.

Berechne, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln im Behälter gewählt werden müsste, damit Spieler und Spielleiter die gleiche Gewinnerwartung haben.

(5 BE)

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1.1

Binomialverteilung begründen

Es kann angenommen werden, dass die Auswahl von 60 Siebtklässlern zufällig und unabhängig voneinander erfolgt.

Die Befragung umfässt also eine feste Anzahl von Versuchen und hat nur zwei mögliche Ergebnisse:

Jeder Schüler kann entweder angeben, ein Gymnasium zu besuchen oder nicht.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit, dass ein Siebtklässler angibt, ein Gymnasium zu besuchen, beträgt $45\,\%$ und ist konstant für alle ausgewählten Schüler.

Unter diesen Annahmen kann die Zufallsgröße $X$ näherungsweise als binomialverteilt mit den Parametern $n = 60$ und $p = 0,45$ betrachtet werden.

Ereignis $\boldsymbol{A}$

Mit dem binompdf-Befehl des CAS ergibt sich:

$P(X=29)\approx 0,09$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 29 der befragten Siebtklässler angeben, ein Gymnasium zu besuchen, beträgt somit etwa $9\,\%.$

Ereignis 2

Der Erwartungswert $\mu$ von $X$ ergibt sich durch:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p& \\[5pt] &=& 60\cdot 0,45& \\[5pt] &=& 27 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der befragten Siebtklässler, die angeben, ein Gymnasium zu besuchen, um höchstens 2 vom Erwartungswert 27 abweichen, folgt nun mit:

Rechenweg anzeigen

$P(25 \leq X \leq 29)=48,3 \,\%$

1.2

Es soll gelten:

$P(X\geq 1)\geq 0,99$

Umformungen anzeigen

Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:

$n=7: P(X=0)\approx 0,0152$

$n=8: P(X=0)\approx 0,0084$

Es müssen somit mindestens 8 Siebtklässler befragt werden.

1.3.1

Es gibt genau 3 mögliche Reihenfolgen, in denen 2 Mädchen und 1 Junge gewählt werden können, diese besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit:

$\left(\dfrac{15}{27}\cdot \dfrac{14}{26}\cdot \dfrac{12}{25}\right)\cdot 3 \approx 0,431$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa $43,1\,\%$ werden somit genau 2 Mädchen ausgewählt.

1.3.2

Es wird mindestens ein Junge ausgewählt.

1.4

Anzahl der Möglichkeiten, wie die 4 Mädchen aufgestellt werden können:

$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1= 24$

Anzahl der Möglichkeiten, wie die 3 Jungen aufgestellt werden können:

$3\cdot 2\cdot 1=6$

Da die Anordnungen der Mädchen und Jungen unabhängig voneinander sind, müssen diese nun multipliziert werden, um die Gesamtanzahl der möglichen Anordnungen zu erhalten:

Es gibt also insgesamt $24\cdot 6=144$ mögliche Anordnungen, bei denen die 4 Mädchen und 3 Jungen sich abwechselnd in einer Reihe aufstellen, wobei ein Mädchen die Reihe beginnt.

2.1

$G:$ Lehrkraft arbeitet an einem Gymnasium

$W:$ Lehrkraft ist weiblich

	$\color{#fff}{W}$	$\color{#fff}{\overline{W}}$	Gesamt
$\color{#fff}{G}$	$15\,\%$	$10\,\%$	$25\,\%$
$\color{#fff}{\overline{G}}$	$57\,\%$	$18\,\%$	$75\,\%$
Gesamt	$72\,\%$	$28\,\%$	$100\,\%$

2.2

$P(W \cup G)=82\,\%$

Rechenweg anzeigen

Alternativer Lösungsweg:

Rechenweg anzeigen

2.3

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P_W(G)&=& \dfrac{P(G \cap W)}{P(W)}& \\[5pt] &=& \dfrac{0,15}{0,72} & \\[5pt] &\approx& 0,208 & \\[5pt] &=& 20,8\,\% \end{array}$

2.4.1

$X$ beschreibt die Anzahl der Lehrkräfte, die an einem Gymnasium arbeiten, und kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=0,25$ angenommen werden.

Da die Anzahl der Lehrer, die nicht an einem Gymnasium arbeiten, mindestens viermal so groß sein soll wie die Anzahl derer, die an einem Gymnasium arbeiten, folgt mit dem CAS:

$P(X \leq 20) \approx 0,149$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit etwa $14,9\,\%.$

2.4.2

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mindestens 75 der 100 befragten Lehrkräfte angeben, nicht an einem Gymnasium zu arbeiten.

3.1

Der zweite Summand beschreibt das Ereignis, dass eine weiße und eine schwarze Kugel gezogen wird.

Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die beiden Kugeln gezogen werden.

Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt somit $2\cdot \left(\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{5}{9}\right).$

Da sich der Einsatz von 2 Euro in diesem Fall einmal verdoppelt und einmal halbiert, erhält der Spieler hier nach dem Spiel wieder 2 Euro.

Somit ergibt sich der Term $2\cdot 2\cdot \dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{5}{9}$ .

3.2

Für ein faires Spiel muss gelten:

Rechnung anzeigen

$3p+1= \pm2$

Es ergeben sich somit die Lösungen $p_1=-1$ und $p_2=\dfrac{1}{3}.$

Da es sich bei $p$ um eine Wahrscheinlichkeit handelt, gilt also $p=\dfrac{1}{3}$ und somit folgt ein Verhältnis der weißen und schwarzen Kugeln von $1:2.$

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