A1 - Analysis

In einem Labor wird die Wirksamkeit eines neuen Mittels gegen die Ausbreitung von Stechmücken untersucht.

Bei einem ersten Laborversuch beschreibt die Funktion $N$ mit $N(t) = 150\cdot \mathrm e^{0,25t}$ ( $t$ in Tagen) modellhaft die Entwicklung einer Population von Stechmücken innerhalb der ersten acht Tage nach Beobachtungsbeginn. $N(t)$ ist die Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt zum Zeitpunkt $t=0.$

1.1

Berechne die Populationsgröße zum Zeitpunkt 6 Tage nach Beobachtungsbeginn sowie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit der Population während der ersten sechs Tage.

(4 BE)

1.2

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Population die Anzahl von $1.500$ Stechmücken erreicht.

(3 BE)

1.3

Bestätige durch Rechnung, dass für die Funktion $N$ auch die Funktionsvorschrift $N(t) = 150\cdot 1,284^t$ verwendet werden kann, und erläutere den Wert $1,284$ aus dem Funktionsterm im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Bei einer zweiten Population von Stechmücken wird im Labor unter sonst gleichen Bedingungen von Beginn an ein neues Mittel eingesetzt, mit dem die Ausbreitung der Stechmücken bekämpft werden soll. Die Entwicklung der Population kann nun für geeignete Werte von $t\in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Funktion $S$ mit $S(t)=160\cdot \mathrm e^{0,25t}-10\cdot \mathrm e^{0,5t}$ ( $t$ in Tagen) beschrieben werden. $S(t)$ ist die Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt auch hier wieder zum Zeitpunkt $t=0.$

2.1

In der Abbildung sind die Graphen der Funktion $S$ und der Funktion $N$ aus Aufgabe 1 dargestellt.

Beschrifte die Skalierung der Koordinatenachsen mit ganzzahligen Werten und beschreibe kurz deine Vorgehensweise.

Abb. 1: Graphen der Funktionen $N$ und $S$

(4 BE)

2.2

Vergleiche den Verlauf und das Steigungsverhalten beider Kurven im Sachzusammenhang und deute dein Ergebnis.

(6 BE)

2.3

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Population am größten ist, und bestimme die maximale Populationsgröße.
Hinweis: Die zweite Ableitung $\(S$ kann ohne Nachweis verwendet werden.

(6 BE)

2.4

Unter den Laborbedingungen sticht jede der Stechmücken im Durchschnitt dreimal pro Tag.
Berechne den Ausdruck $3\cdot \displaystyle\int_{0}^{7}S(t)\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(6 BE)

Die Wirkung des Mittels kann durch Veränderung der Dosierung beeinflusst werden. Im mathematischen Modell wird diese Dosierung durch den zusätzlichen Parameter $k \geq 0$ in der Funktionsgleichung ausgedrückt. Die Gleichung der zugehörigen Funktionenschar $S_k$ lautet:

$S_k(t) =10\cdot \mathrm e^{0,25t} \cdot \left(16 - \mathrm e^{0,25kt}\right)$ ( $t$ in Tagen)

$S_k(t)$ ist die Anzahl der Stechmücken zum Zeitpunkt $t,$ die Beobachtung beginnt auch hier wieder zum Zeitpunkt $t = 0.$

3.1

Die Funktionen $N$ aus Aufgabe 1 und $S$ aus Aufgabe 2 gehören zur Funktionenschar $S_k.$
Gib für beide Funktionen jeweils den entsprechenden Wert für $k$ an.

(2 BE)

3.2

Der Dosierungsparameter $k$ soll einerseits aus Umweltschutzgründen niedrig gehalten werden, wobei Parameterwerte $k \lt 1,5$ noch als unbedenklich gelten. Andererseits soll $k$ aber so groß gewählt werden, dass die Mückenpopulation in der obigen Laborsituation bei sonst gleichbleibenden Bedingungen nach spätestens 8 Tagen ausgestorben ist.
Prüfe, ob es einen Wert für $k$ gibt, der diesen Vorgaben entspricht.

(5 BE)

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1.1

Populationsgröße berechnen

$\begin{array}[t]{rll} N(6)&=& 150\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 6} \\[5pt] &\approx& 672 \end{array}$

$6$ Tage nach Beobachtungsbeginn besteht die Population aus ca. $672$ Stechmücken.

Durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

Zum Zeitpunkt des Beobachtungsbeginns gilt:

$N(0)= 150\cdot \mathrm e^{0,25\cdot 0} = 150$

In sechs Tagen ist die Population somit um $672 - 150 = 522$ Stechmücken gewachsen. Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit beträgt damit:

$\dfrac{672-150}{6}$ $=\dfrac{522}{6}$ $= 87\;\text{[Stechmücken pro Tag]}$

1.2

Zeitpunkt berechnen

Rechenweg anzeigen

$t\approx 9,21$

Nach ca. $9$ Tagen und $0,21\cdot 24 \approx 5$ Stunden erreicht die Population eine Anzahl von $1500$ Stechmücken.

1.3

Alternative Funktionsvorschrift bestätigen

$\begin{array}[t]{rll} N(t)&=& 150\cdot \mathrm e^{0,25\cdot t} \\[5pt] &=& 150\cdot \left(\mathrm e^{0,25}\right)^t \\[5pt] &\approx& 150\cdot 1,284^t \end{array}$

Wert im Sachzusammenhang erläutern

Der Funktionsterm von $N(t)$ ist nun der einer Potenzfunktion, mit dem Wachstumsfaktor $1,284,$ welcher das tägliche Wachstum angibt. Die Population wächst somit jeden Tag um $28,4\,\%.$

2.1

1. Schritt: $y$ -Achsenabschnitt bestimmen

Der $y$ -Achsenabschnitt des Graphen von $N$ beträgt nach Aufgabe 1 $150$ Stechmücken. Die Achsenbeschriftung der $y$ -Achse kann somit zum Beispiel in Schritten von 100 Stechmücken gewählt werden.

2. Schritt: $t$ -Achsenabschnitt bestimmen

Bestimmung der Nullstelle der Funktion $S$ für analoges Vorgehen für die $t$ -Achse:

Rechenweg anzeigen

$t\approx 11,09$

Die Beschriftung der $t$ -Achse kann also zum Beispiel in Schritten von Zwei erfolgen. Es ergibt sich insgesamt:

2.2

Der Graph von $N$ steigt von Beginn an schneller an als der Graph von $S.$ Ab ca. $t\approx 6$ verlangsamt sich dessen Wachstum, bis der Hochpunkt bei ca. $t\approx 9$ erreicht ist. Danach fällt der Graph von $S$ stark ab bis er die $t$ -Achse schneidet.
Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die Population, deren Größe durch den Graphen von $N$ dargestellt wird, unendlich anwächst. Die Population, deren Größe durch den Graphen von $S$ beschrieben wird, wächst dagegen zu Beginn bereits weniger stark an und nimmt nach ihrem Hochpunkt am neunten Tag bis zum Wert Null am elften Tag stetig ab.

2.3

1. Schritt: Ableitung bilden

Mit der Kettenregel folgt für $S(t) = 160\cdot \mathrm e^{0,25\cdot t}-10\cdot \mathrm e^{0,5\cdot t}:$

Rechenweg anzeigen

$\( S$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$t = 4\cdot \ln 8$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden

Mit der zweiten Ableitungsfunktion aus dem Hinweis der Aufgabenstellung folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( S$

Da $-80\lt0$ gilt, entspricht $t=4\cdot \ln(8)\approx 8,32$ dem gesuchten Zeitpunkt.

4. Schritt: Maximum bestimmen

Rechenweg anzeigen

$S(4\cdot \ln (8)) = 640$

Zum Zeitpunkt ca. $8$ Tage und $0,32\cdot 24\approx 8$ Stunden nach Beobachtungsbeginn hat die Population mit $640$ Stechmücken ihre maximale Größe erreicht.

2.4

Ausdruck berechnen

Rechenweg anzeigen

$3\cdot \displaystyle\int_{0}^{7}S(t)\;\mathrm dt \approx 7.202$

Ergebnis im Sachzusammenhang deuten

In den ersten sieben Tagen nach Beobachtungsbeginn gibt es in der Mückenpopulation, deren Größe durch die Funktion $S$ beschrieben wird, insgesamt ca. $7202$ Mückenstiche.

3.1

Umformen des Funktionswertes von $S_k$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$S_k(t)=...$

Für die Werte $k=1$ und $k=0$ folgt für $S_k(t):$

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} S_0(t)&=& N(t) \\[10pt] S_1(t)&=& S(t) \end{array}$

3.2

Da nach spätestens $8$ Tagen die Population ausgestorben sein soll, folgt:

Rechenweg anzeigen

$1,39\leq k$

Damit die Population nach spätestens $8$ Tagen ausgestorben ist, muss $k\geq 1,39$ gelten. Alle Werte $1,39 \leq k \lt 1,5$ erfüllen somit die Vorgaben.

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