C - Stochastik

Bei einem $12$ -seitigen Spielwürfel fallen alle Seiten bei einem Wurf jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Jede Seite des Spielwürfels ist gemäß dem abgebildeten Netz mit einer der Zahlen 1 und 2 beschriftet.

1.1

Bestimme unter Angabe einer geeigneten Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$A:$

Bei $100$ Würfen fällt genau $77$ -mal die Zahl $1.$

$B:$

Bei $100$ Würfen fällt mindestens $73$ -mal aber höchstens $81$ -mal die Zahl $1.$

(5 BE)

1.2

Für ein Gewinnspiel wird der Spielwürfel bei jedem Spiel viermal geworfen. Man betrachtet die Augensumme der vier Würfe.

1.2.1

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der geworfenen Zahlen $4$ ist, größer ist als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der geworfenen Zahlen $8$ ist.

(2 BE)

1.2.2

Einen Hauptpreis erhält eine Spielerin bzw. ein Spieler, wenn die Summe der geworfenen Zahlen mindestens $7$ ist. Zeige, dass auf lange Sicht im Mittel etwa bei einem von zwanzig Spielen ein Hauptpreis vergeben wird.

(3 BE)

1.2.3

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Spiel ein Trostpreis vergeben wird, beträgt $\dfrac{81}{256}.$
Gib den Spielausgang an, bei dem die Spielerin bzw. der Spieler einen Trostpreis erhält, und begründe deine Angabe.

(2 BE)

1.2.4

Beurteile jede der beiden folgenden Aussagen:

$A_1:$

Wird bei einmaligem Werfen des Spielwürfels die geworfene Zahl betrachtet, so handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment.

$A_2:$

Wird bei mehrfacher Durchführung des beschriebenen Spiels jeweils festgehalten, ob ein Trostpreis oder ob ein Hauptpreis vergeben wird, so handelt es sich um eine Bernoulli- Kette.

(4 BE)

Ein Supermarkt bietet Nass- und Trockenfutter für Hunde jeweils in einer normalen Variante und in einer energiereduzierten Light-Variante an. Im Folgenden werden ausschließlich Kundinnen und Kunden betrachtet, die sich bei einem Kauf von Hundefutter für genau eine dieser vier Varianten entscheiden. Zwei Drittel dieser Personen kaufen Trockenfutter, $40\,\%$ davon entscheiden sich für die Light-Variante. Von den Personen, die Nassfutter kaufen, entscheiden sich nur $25\,\%$ für die Light-Variante.

Von den betrachteten Kundinnen und Kunden wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:

$T:$

„Die Person kauft Trockenfutter.“

$L:$

„Die Person entscheidet sich für eine der beiden Light-Varianten.“

2.1

Stelle den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(4 BE)

2.2

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $L$ eintritt, $35\,\%$ beträgt.

(2 BE)

2.3

Die zufällig ausgewählte Person entscheidet sich für eine der beiden Light-Varianten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um Nassfutter handelt.

(4 BE)

2.4

Der Leiter des Supermarktes vermutet, dass der Anteil der Personen, die Trockenfutter kaufen, gestiegen ist, und möchte die Bestellmengen von Trockenfutter erhöhen. Vorher soll die Vermutung des Leiters mit Hilfe eines geeigneten Hypothesentests überprüft werden. Dazu werden $100$ zufällig ausgewählte Käuferinnen und Käufer von Hundefutter betrachtet, die sich entweder für Trockenfutter oder für Nassfutter entscheiden.

Getestet wird die Nullhypothese $H_0:\, p \leq \dfrac{2}{3}.$

Entwickle im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%.$

(4 BE)

1.1

Betrachtet wird die mit $n=100$ und $p = \dfrac{9}{12} = 0,75$ binomialverteilte Zufallsgröße $X,$ die von $100$ Würfen die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen die Zahl $1$ fällt.
Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$P(A)\approx 8,47\,\%$

Rechenweg anzeigen

$P(B)\approx 65,94\,\%$

1.2.1

Die Augensummen $8$ bzw. $4$ lassen sich in genau vier Würfen nur erreichen, wenn man nur Zweien bzw. nur Einsen würfelt. Die Wahrscheinlichkeit für eine $1$ ist mit $75\,\%$ in jedem Wurf größer als die Wahrscheinlichkeit von $25\,\%,$ für eine $2.$
Die Augensumme $4$ hat somit aufgrund der Unabhängigkeit der Würfe voneinander eine höhere Wahrscheinlichkeit als die Augensumme $8.$

1.2.2

Damit die Summe der geworfenen Zahlen in vier Würfen mindestens $7$ beträgt, darf höchstens einmal die Zahl $1$ geworfen werden. Es folgt:

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$P(X_4 \leq 1 ) \approx 5,08\,\%$

Bei jedem Spiel beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptpreis somit $5\,\%.$ Dies entspricht im Mittel jedem zwanzigsten Spiel, bei dem ein Hauptpreis vergeben wird.

1.2.3

Aufgrund der Pfadregeln müssen sich alle Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Spielausgänge nach vier Würfen als Bruch mit dem Nenner $12^4$ darstellen lassen. Da $12^4 : 256 = 81$ gilt, muss wie folgt erweitert werden:

$\dfrac{81}{256}$ $= \dfrac{81\cdot 81}{256\cdot 81}$ $= \dfrac{81^2}{12^4}$ $= \dfrac{9^4}{12^4}$ $= \left(\dfrac{9}{12}\right)^4$

$\dfrac{9}{12}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Wurf die Zahl $1$ fällt. Aufgrund der Pfadmultiplikationsregel ist $\dfrac{81}{256} = \left(\dfrac{9}{12}\right)^4$ somit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in allen vier Würfen die Zahl $1$ fällt.
Der Trostpreis wird vergeben wenn in allen vier Würfen die Zahl $1$ fällt.

1.2.4

$A_1$

Bei einem Bernoulli-Experiment gibt es lediglich zwei mögliche Ausgänge des Experimentes. Hier fällt beim einmaligen Würfeln entweder die Zahl $1$ oder die Zahl $2,$ damit handelt es sich beim einmaligen Werfen des Spielwürfels um ein Bernoulli-Experiment.
Aussage $A_1$ ist also richtig.

$A_2$

Da es hier noch einen dritten möglichen Ausgang gibt, nämlich, dass kein Preis vergeben wird, handelt es sich bei den einzelnen Durchgängen nicht um Bernoulli-Versuche und somit insgesamt auch nicht um eine Bernoulli-Kette.
Die Aussage $A_2$ ist damit nicht richtig.

2.1

2.2

Mit den Pfadregeln folgt:

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$P(L)=35\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $L$ beträgt $35\,\%.$

2.3

Mit dem Satz von Bayes folgt:

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$P_L(\overline{T})\approx 23,81\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $23,81\,\%$ handelt es sich bei einer gekauften Light-Variante um Nassfutter.

2.4

Entscheidungsregel entwickeln

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die unter $100$ zufällig ausgewählten Käufern die Anzahl derer beschreibt, die sich für Trockenfutter entscheiden.
Gilt die Nullhypothese, so kann $Y$ im Extremfall als binomialvereteilt mit $n=100$ und $p = \frac{2}{3}$ angenommen werden.

Durch Umformen folgt:

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$P(Y\leq k) \geq 0,95$

Mit Hilfe einer geeigneten Tabelle oder dem Taschenrechner folgt:

$P(Y\leq 74)\approx 0,9542$ und $P(Y\leq 73)\approx 0,9285$

Das kleinste $k$ für das die angegebene Gleichung entsprechend des Signifikanzniveaus von $95\,\%$ erfüllt ist, beträgt also $k= 74.$

Wird in der Stichprobe festgestellt, dass mehr als $74$ Käufer Trockenfutter kaufen, kann davon ausgegangen werden, dass sich der Anteil des verkauften Trockenfutters erhöht hat und die Bestellmengen für Trockenfutter erhöhen sich ebenfalls. Andernfalls kann nicht von einer erhöhten Verkaufszahl ausgegangen werden und die Bestellmengen erhöhen sich nicht.