B2 – Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{3}{1000} \cdot x^4-\dfrac{8}{100} \cdot x^3+\dfrac{6}{10} \cdot x^2.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left\lvert\,-\dfrac{5}{8}\right.\right).$

Abbildung 1

1.1

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $f$ an.

Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt.

(6 BE)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 \mid f(5))$ wird mit $t$ bezeichnet.

1.2

Ermittle eine Gleichung von $t.$

(4 BE)

1.3

Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f,$ die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.

(3 BE)

1.4

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden.

Der Punkt $(12\mid12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10\mid10)$ des Graphen von $f$ erzeugt und für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x)=a \cdot f(b \cdot x)$ mit $a, b \in \mathbb{R}^{+}.$

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechne die Werte von $a$ und $b.$

(4 BE)

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer $A$ beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer $B$ beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $A$ in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $B$ wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch eine Funktion $h$ beschrieben.

Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

Abbildung 2

2.1

Berechne die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ drei Sekunden nach dem Start.

(2 BE)

Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_s$ bezeichnet.

2.2

Ermittle $x_s$ mit Hilfe von Abbildung 2 und gib den Zeitraum an, in dem die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ größer ist als die Geschwindigkeit von Radfahrer $B.$

(3 BE)

2.3

Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt.

Gib die Bedeutung von $d(x)$ für $0\lt x\lt x_s$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $0,37.$

$\;$

$d(x)=f(x)-h(x)$

$\;$

$\(d$ hat für $0\lt x\lt x_s$ nur die Lösung $x_1 \approx 3,64.$

$\;$

$\(d$

$\;$

$d\left(x_1\right) \approx 0,37$

(4 BE)

2.4

Berechne die Länge der Strecke, die Radfahrer $A$ in den ersten 15 Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(6 BE)

2.5

Es gibt ein $z$ mit $0\lt z\lt 10,$ für das gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{z}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx=0$

Gib die Bedeutung von $z$ im Sachzusammenhang an und begründe im Sachzusammenhang, dass $z\gt x_s$ gilt.

(3 BE)

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1.1

Der Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die Koordinaten $T(0\mid0).$ Für die erste Ableitung von $f$ gilt weiter:

$\(f$ $-\dfrac{24}{100} \cdot x^2+\dfrac{12}{10} \cdot x$

Anwenden der notwendingen Bedingung für Extremstellen liefert:

Rechenweg anzeigen

$x\cdot(x-10)^2 = 0$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgen somit $x_1=0$ und $x_2=10.$

Einsetzen von Werten um $x_2=10$ herum in $\(f$ liefert, dass sich das Vorzeichen an dieser Stelle nicht ändert. Somit besitzt der Graph von $f$ dort keinen Extrempunkt, das heißt nach der notwendingen Bedingung für Extremstellen ist $x_1=0$ die einzige Extremstelle.

1.2

Die gesuchte Tangente $t$ besitzt die allgemeine Gleichung $y=m\cdot x+c,$ wobei für die Steigung $m$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=&f$

Weiter gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=&\dfrac{3}{1000} \cdot 5^4-\dfrac{8}{100} \cdot 5^3+\dfrac{6}{10} \cdot 5^2 \\[5pt] &=&\dfrac{55}{8} \end{array}$

Einsetzen von $m$ und den Koordinaten $\left(5 \; \bigg \vert\, \dfrac{55}{8}\right)$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert für den $y$ -Achsenabschnitt $c:$

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m \cdot x+c & \\[5pt] \dfrac{55}{8}&=&\dfrac{3}{2} \cdot 5+c &\quad \scriptsize \; \bigg \vert\, \;-\dfrac{15}{2} \\[5pt] -\dfrac{5}{8}&=&c \end{array}$

Eine Gleichung von $t$ ist somit durch $y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{8}$ gegeben.

1.3

1.4

Der Graph von $g$ entsteht aus dem Graphen von $f,$ indem mit dem Faktor $a$ in $y$ -Richtung gestreckt wird und mit dem Faktor $\dfrac{1}{b}$ in $x$ -Richtung gestreckt wird.

Für $a$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} g(12)&=&a\cdot f(10) \\[5pt] 12&=&a\cdot 10 &\quad \scriptsize \mid\;:10\\[5pt] \dfrac{6}{5}&=&a \end{array}$

Für den Wert von $b$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 12&=&\dfrac{1}{b}\cdot10 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] 12b&=&10 &\quad \scriptsize \mid\;:12\\[5pt] b&=&\dfrac{5}{6} \end{array}$

2.1

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=&\dfrac{3}{1000} \cdot 3^4-\dfrac{8}{100} \cdot 3^3+\dfrac{6}{10} \cdot 3^2 \\[5pt] &\approx&3,48 \end{array}$

Drei Sekunden nach dem Start beträgt die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ somit ca. $3,48\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}.$

2.2

Aus der Abbildung kann $x_s\approx6$ abgelesen werden. Der Zeitraum, in dem die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ größer ist als die Geschwindigkeit von Radfahrer $B$ ist, ist somit durch das Intervall von dem Zeitpunkt des Starts bis zum Zeitpunkt $x_s$ gegeben.

2.3

Bedeutung von $\boldsymbol{d(x)}$ angeben

Der Funktionswert $d(x)$ gibt an, um wie viele Meter pro Sekunde Radfahrer $A$ zum Zeitpunkt von $x$ Sekunden nach dem Start schneller ist als Radfahrer $B.$

Interpretation des Ergebnisses

Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer innerhalb der ersten $x_s$ Sekunden nach dem Start beträgt ca. $0,37\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}}.$

2.4

Für die zurückgelegte Strecke in den ersten zehn Sekunden gilt:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{10}f(x)\;\mathrm dx = 60\;\text{m}$

Ab $x=10$ bleibt die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ konstant bei $f(10)=10\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}},$ wodurch er in letzten fünf Sekunden des betrachteten Zeitraums $10\cdot5=50\;[\text{m}]$ zurücklegt.

Die Länge der zurückgelegten Strecke beträgt somit insgesamt $60+50=110\;[\text{m}].$

2.5

Der Zeitpunkt $z$ ist der Zeitpunkt, an dem beide Radfahrer die gleiche Strecke zurückgelegt haben.

Da sich der Radfahrer $A$ bis zum Zeitpunkt $x_s$ stets vor Radfahrer $B$ befindet, muss zudem $z\gt x_s$ gelten.

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