Stochastik

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Unter den Abonnenten sind $70\,\%$ höchstens 40 Jahre alt. Von diesen haben $80\,\%$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter sind als 40 Jahre, haben sich $50\,\%$ für das Komplettpaket entschieden.

(1)

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(2)

Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens $40$ Jahre alt ist.

(3)

Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als 20 Personen älter als $40$ Jahre sind.

(3 + 3 + 4 Punkte)

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60\,\%$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb.

Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens $60\,\%.$ “ mithilfe einer Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.

(1)

Gib an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte.

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens $132$ Abonnenten mit dem Angebot zufrieden sind.

(2)

Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:

$X:$ Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
$P_{200;0,6}(X \geq 132) \approx 0,047$

Begründe, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänze diese geeignet.

(3)

Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90\,\%$ betragen könnte.

(2 + 4 + 4 Punkte)

Ein Internetnutzer hat verschiedene Möglichkeiten, Videos zu streamen. Im Folgenden wird die Zufallsgröße $Y:$ „Wöchentliche Streamingdauer (in h)“ einer zufällig ausgewählten Person im Alter von mindestens $14$ Jahren betrachtet. Die Zufallsgröße $Y$ wird durch eine Normalverteilung mit den Kenngrößen $\mu_Y=8,87$ und $\sigma_Y=2,20$ modelliert.

(1)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person im Alter von mindestens $14$ Jahren in einer zufällig ausgewählten Woche mehr als $10$ Stunden streamt.

Die Zufallsgröße $Z:$ „Wöchentliche Streamingdauer (in h)“ einer zufällig ausgewählten Person im Alter von $14$ bis $29$ Jahren wird ebenfalls durch eine Normalverteilung modelliert.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion $\varphi_Z$ der Zufallsgröße $Z.$

(2)

Ermittle mithilfe der Abbildung näherungsweise die Kenngrößen $\mu_Z$ und $\sigma_Z$ der Normalverteilung für die Zufallsgröße $Z.$

(2 + 3 Punkte)

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(1)

$A:$

„Ein Abonnent ist höchstens 40 Jahre alt.“

$B:$

„Ein Abonnent hat das Komplettpaket.“

(2)

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=&\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,5} \\[5pt] &=&\dfrac{0,56}{0,71} \\[5pt] &\approx&0,79 \\[5pt] &=&79\,\% \end{array}$

(3)

Die Zufallsvariable $Z$ gibt die Anzahl der Abonnenten an, die älter als 40 Jahre sind und ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,3.$ Es ist nun der minimale Wert von $n$ gesucht, sodass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P_{n;0,3}(Z\gt20) \geq 99\,\%$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P_{103;0,3}(Z\gt20)&=&1-P_{103;0,3}(Z\leq20) \\[5pt] &\approx&0,9896 \\[5pt] &=&98,96\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_{104;0,3}(Z\gt20)&=&1-P_{104;0,3}(Z\leq20) \\[5pt] &\approx&0,991 \\[5pt] &=&99,1\,\% \end{array}$

Es müssen somit mindestens $104$ Abonnenten zufällig ausgewählt werden, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mehr als 20 Personen älter als 40 Jahre sind.

(1)

Das Management möchte vermeiden, dass der Algorithmus dauerhaft eingesetzt wird, obwohl der Einsatz des Algorithmus die Zufriedenheit unter den Abonnenten in Wirklichkeit nicht erhöht.

(2)

Die beiden angegebenen Lösungsschritte sind nicht ausreichend, da zusätzlich überprüft werden muss, ob es keinen Wert $k$ gibt, der kleiner als $132$ ist und für den $P_{200;0,6}(X \geq k) \leq 0,05$ gilt. Mit dem Taschenrechner folgt für $k=131:$

$\begin{array}[t]{rll} P_{200;0,6}(X \geq 131)&=&1-P_{200;0,6}(X \leq 130) \\[5pt] &\approx&0,064 \end{array}$

Als eine geeignete Ergänzung der angegebenen Lösungsschritte ergibt sich somit:

$X:\quad$ Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
$P_{200;0,6}(X \geq 132) \approx 0,047$
$P_{200;0,6}(X \geq 131) \approx 0,064$

(3)

Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Bei einem Anteil von beispielsweise $61\,\%$ zufriedenen Abonnenten folgt für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers zweiter Art:

$\begin{array}[t]{rll} P_{200;0,61}(X \leq 131)&\approx&0,917 \\[5pt] &=&91,7\,\% \end{array}$

(1)

$\begin{array}[t]{rll} P(Y\gt10)&=&1-P(0\leq Y\leq10) \\[5pt] &\approx&0,3039 \\[5pt] &=&30,39\,\% \end{array}$

(2)

Anhand der Lage der Extremstelle und der beiden Wendestellen der Dichtefunktion $\varphi_Z(x)$ lassen sich für den Erwartungswert und die Standardabweichung von $Z$ ungefähr $\mu_Z\approx18,1$ und $\sigma_Z\approx3,6$ ablesen.

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