Aufgabe 5

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit der Gleichung $f_a(x)=x\cdot\mathbb{e}^{-\frac{1}{2}\cdot a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$ mit $a\in\mathbb{R}.$

Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.
Der Graph von $f_1$ hat den Hochpunkt $H_1 (1\mid 1).$

(1)

Weise nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle hat, und gib den Grenzwert von $f_1$ für $x\rightarrow\infty$ an.

(2)

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f_1$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Zeichne die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein.

Abbildung 1

(3)

Interpretiere den folgenden Sachverhalt geometrisch:
Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reelle Zahl $u \gt 2022$ gilt:

$F_1(u)-F_1(0)\approx \displaystyle\int_{0}^{2022}f_1(x)\;\mathrm dx.$

(2 + 2 + 3 Punkte)

Der Graph von $f_0$ ist eine Gerade.

Gib die Steigung dieser Geraden und die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$ -Achse an.

(2 Punkte)

Für einen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(1\mid \mathbb{e} )$ auf dem Graphen von $f_a.$

Bestimme diesen Wert von $a$ und die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $P.$

(3 Punkte)

Begründe unter Verwendung der Abbildung 2, dass $\displaystyle\int_{-0,5}^{1}f_{-1}(x)\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{0,5}^{1}f_{-1}(x)\;\mathrm dx$ gilt.

(2 Punkte)

Abbildung 2

Nun werden alle Funktionen der gegebenen Schar betrachtet.

(1)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a ,$ $a_1$ und $a_2:$

Aussagen anzeigen

Gib an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

(2)

Für alle $a \neq 0$ stimmen die Wendestellen von $f_a$ mit den Lösungen der Gleichung $(a\cdot x^2-3)\cdot x=0$ überein.

Gib für alle Werte von $a\in\mathbb{R}$ die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ an und begründe deine Angabe.

(3)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.
Begründe, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y=x$ handelt.

(3 + 5 + 3 Punkte)

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(1)

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=& 0 \\[5pt] x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}&=&0 \end{array}$

Nach dem Satz vom Nullprodukt und $\mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}\neq 0$ folgt, dass die einzige Nullstelle des Graphen von $f_1$ bei $x=0$ liegt.

Es gilt:

$\lim\limits_{x\to\infty} f_{1}(x)=0$

(2)

(3)

Der Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen von $f_{1}$ , der $x$ -Achse und der Geraden mit der Gleichung $x=u$ eingeschlossen wird, ist für alle $u>2022$ ungefähr genauso groß wie für $u=2022$ .

$f_0(x)=\mathrm e^\frac{1}{2}\cdot x$

Somit ist die Steigung der Geraden $\mathrm e^\frac{1}{2}$ und der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0\mid0).$

$\begin{array}[t]{rll} f_a(1)&=& \mathrm e \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot a +\frac{1}{2}}&=& \mathrm e &\quad \scriptsize \mid\; \ln()\\[5pt] -\dfrac{1}{2}\cdot a+\dfrac{1}{2}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2} \\[5pt] -\dfrac{1}{2}\cdot a&=&\dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] a&=&-1 \end{array}$

Für $a=-1$ liegt der Punkt auf $f_a.$

$\(f$

Somit ist die Steigung der Tangente an der Stelle $x=1$ :

$\(f$

Da der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft, ist das Flächenstück zwischen dem Graphen von $f_{-1}$ und der $x$ -Achse für das Intervall $[-0,5 ; 0]$ genauso groß wie das Flächenstück für das Intervall $[0 ; 0,5]$ . Da das erste Flächenstück unterhalb und das zweite Flächenstück oberhalb der $x$ -Achse liegt, muss $\displaystyle\int_{-0,5}^{0,5}f_{-1}(x)\;\mathrm dx=0$ gelten.

(1)

Alle Graphen der Schar schneiden sich im Koordinatenursprung.
Im Koordinatenursprung haben sie die gleiche Steigung.
Keiner der Graphen hat einen weiteren Punkt mit einem anderen Graphen der Schar gemeinsam.

(2)

Für $a=0$ gilt: Da der Graph von $f_{0}$ eine Gerade ist, hat $f_{0}$ keine Wendestellen.
Für $a \neq 0$ gilt: $\left(a \cdot x^{2}-3\right) \cdot x=0.$ Die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt: $x=0 \;\text{und}\; a \cdot x^{2}-3=0.$ Daraus folgt: $x^{2}=\dfrac{3}{a}$ .
Für $a\lt0$ hat die Gleichung nur die Lösung $x=0$ , daher hat $f_{a}$ in diesem Fall eine Wendestelle.
Für $a\gt0$ hat die Gleichung drei Lösungen, daher hat $f_{a}$ in diesem Fall drei Wendestellen.

(3)

Da der Graph von $f_{1}$ über den Hochpunkt $H_{1}(1 \mid 1)$ und - aufgrund der Symmetrie zum Ursprung - den Tiefpunkt $T_{1}(-1 \mid-1)$ verfügt, muss die Gerade durch diese beiden Punkte verlaufen. Dies ist nur für die Gerade mit der Gleichung $y=x$ der Fall.

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