Aufgabe 4

Die Firma „Schraubenwind“ stellt Schrauben und Muttern für den Bau von Windkraftanlagen her. Wegen der extremen Belastung werden besondere Anforderungen an diese Verbindungselemente gestellt. Eine hochwertige Schraube zeichnet sich durch die Qualität des Schraubenkörpers und die Qualität der anschließenden Beschichtung aus.

Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97 \,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1,5 \,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5 \,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang im folgenden Baumdiagramm dar.

(2)

Die Beschichtung einer zufällig ausgewählten Schraube ist fehlerhaft.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schraube einen fehlerhaften Schraubenkörper aufweist.

(2 + 3 Punkte)

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4,5 \,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0,045$ ist.

(1)

In einer Untersuchung werden $500$ Schrauben zufällig der Produktion entnommen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben genau $15$ Schrauben fehlerhaft sind.

(2)

Ermittle, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 \,\%$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind.

(2 + 3 Punkte)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

(1)

Ermittle, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens $5000$ beträgt.

(2)

Es werden $5236$ Schrauben produziert.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht.

(2 + 2 Punkte)

„Wind 24“ beschwert sich bei „Schraubenwind“. Die Qualität der gelieferten Schrauben habe stark nachgelassen: Ca. $8 \,\%$ der gelieferten Schrauben seien fehlerhaft. „Schraubenwind“ entscheidet sich, dem Vorwurf nachzugehen. Es werden $200$ Schrauben zufällig der laufenden Produktion entnommen und auf ihre Qualität hin untersucht. „Wind 24“ ist der wichtigste Kunde von „Schraubenwind“. Die Firmenleitung will daher die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Beschwerde von „Wind 24“ zurückweist, obwohl die Schrauben tatsächlich eine Fehlerquote von $8 \,\%$ aufweisen, begrenzen. Sie führt dazu einen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 \,\%$ durch.

(1)

Bestimme eine Entscheidungsregel für den obigen Hypothesentest.

(2)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, falls der Produktionsprozess nach wie vor nur eine Fehlerquote von $4,5 \,\%$ aufweist.

(3 + 2 Punkte)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\text{m}$ ) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8,2$ und $\sigma = 0,4$ (beides in $\mu\text{m}$ ) beschreiben.

(1)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in $\mu\text{m}$ ) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen $7,5$ und $8,5$ liegt.

(2)

Zu einer Normalverteilung mit der Dichtefunktion $\varphi$ bezeichnet man die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\;\mathrm dt$ Verteilungsfunktion.

In Abbildung 1 auf der folgenden Seite ist die Dichtefunktion einer Normalverteilung dargestellt, in Abbildung 2 ist die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung dargestellt.

Entscheide für beide Abbildungen jeweils begründet, ob es sich um eine Normalverteilung mit den Parametern $\mu = 8,2$ und $\sigma = 0,4$ handeln kann.

Abbildung 1

Abbildung 2

(2 + 4 Punkte)

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(1)

K+: Schraubenkörper fehlerfrei
K-: Schraubenkörper fehlerhaft
B+: Beschichtung fehlerfrei
B-: Beschichtung fehlerhaft

(2)

Falls eine (zufällig gewählte) Schraube eine fehlerhafte Beschichtung aufweist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Schraubenkörper fehlerhaft ist $\dfrac{0,0015}{0,01455+0,0015}\approx0,09346.$

(1)

$P_{500;0,045}(X=15)\approx0,0238=2,38\;\text{%}$

(2)

$p^*=1-0,045=0,955.$

Somit gilt:

$P_{n;0,955}(X\geq200)\geq 0,95$

Durch systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner folgt $P_{214;0,955}=0,9388$ und $P_{215;0,955}=0,9652.$ Es müssen also mindestens $215$ Schrauben entnommen werden.

(1)

Für den Erwartungswert gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu^*&=& n^* \cdot p^* \\[5pt] 5000&=& n^* \cdot 0,955 &\quad \scriptsize \mid\;:0,955\\[5pt] 5235,6&=& n^* \\[5pt] \end{array}$

Es müssen also mindestens 5236 Schrauben produziert werden, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben mindestens 5000 beträgt.

(2)

Binomialverteilung mit $n^*=5236$ und $p^*=0,955$ anwenden:

$P_{5236;0,955}(X\geq 5000)\approx0,5274$

Wenn $5236$ Schrauben produziert werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl an fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion für den Bedarf von „Wind 24“ ausreicht, ca. $52,74 \;\text{%}$ .

(1)

Kleine Anzahlen an fehlerhaften Schrauben sprechen gegen eine erhöhte Fehlerquote, weshalb linksseitig getestet wird.

Es gilt:

$P_{200 ; 0,08}(X \leq 9) \approx 0,03737$

$P_{200 ; 0,08}(X \leq 10) \approx 0,06913$

Da das Signifikansniveau mit $5\text{%}$ zwischen $P_{200 ; 0,08}(X \leq 9)$ und $P_{200 ; 0,08}(X \leq 10)$ liegt, lautet die Entscheidungsregel:

„Weise den Vorwurf von „Wind 24“ zurück, wenn $9$ oder weniger fehlerhafte Schrauben unter den $200$ untersuchten Schrauben sind.“

(2)

$P_{200;0,045}(X\geq10)=0,4126$

Falls die Fehlerquote nach wie vor nur $4,5 \;\text{%}$ beträgt, liegt die Wahrscheinlichkeit, dass „Schraubenwind“ die Beschwerde von „Wind 24“ nicht zurückweist, bei ca. $41,26 \;\text{%}$ .

(1)

Gegeben ist eine Normalverteilung mit $\mu= 8.2$ und $\sigma=0,4$

Es gilt:

$P(7,5 \leq X \leq 8,5) \approx 0,7333$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke einer Schraube in dem geforderten Intervall liegt, beträgt somit ca. $73,33 \;\text{%}.$

(2)

Zu Abbildung 1:
Der Erwartungswert passt: Die Maximalstelle des Graphen ist $x=8,2.$ Bei einer Standardabweichung von $0,4$ gilt: $P(8,2-3 \cdot 0,4 \leq X \leq 8,2+3 \cdot 0,4) \approx 1.$ Aber es ist deutlich erkennbar, dass außerhalb des Intervalls $[7 ; 9,4]$ erhebliche Flächenteile übrig bleiben. Der Graph passt also nicht zu den gegebenen Parametern.

Zu Abbildung 2:
Der Erwartungswert passt: $y=0,5$ wird an der Stelle $x=8,2$ angenommen. Bei einer Standardabweichung von $0,4$ werden Werte innerhalb des Intervalls $[8,2-0,4 ; 8,2+0,4]$ mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $68 \%$ angenommen. Werte im Intervall $[-\infty ; 7,8]$ haben damit eine Wahrscheinlichkeit von ca. $16 \%$ . An der Stelle $x=7,8$ beträgt der $y$ -Wert ca. $0,16$ . Der Graph passt daher zu den gegebenen Parametern.

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