A2
a)
Gegeben ist eine in 
definierte Funktion 
mit 
wobei 
eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von 
Abbildung 1
(1)
Zeige, dass 
eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von ist.
(2)
Die beiden Tiefpunkte des Graphen von haben jeweils die 
-Koordinate 
.
Ermittle den Wert von
Ermittle den Wert von
(1 + 4 Punkte)
b)
Die Funktion ist gegeben durch 
Die Funktion 
ist eine Stammfunktion zur Funktion Der Graph von ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
(1)
Interpretiere die Aussage 
in Bezug auf den Graphen von
(2)
Berechne 
(2 + 3 Punkte)
c)
Gegeben ist die Funktion mit 
mit 
Der Graph von ist in Abbildung 3 dargestellt.
Der Graph von
Abbildung 3
(1)
Die Funktion besitzt genau zwei Extremstellen.
Ermittle die beiden Extremstellen von
Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.
Ermittle die beiden Extremstellen von
Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.
(2)
Skizziere in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von
Hinweis: Die Größe der-Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben.
Hinweis: Die Größe der
(3 + 2 Punkte)
d)
Für jedes 
ist durch die Gleichung
eine Funktion 
gegeben.
In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion für 
abgebildet.
Abbildung 4
(1)
Es gibt genau einen Wert von 
sodass die Funktion nur eine Nullstelle besitzt.
Ermittle diesen Wert von
Ermittle diesen Wert von
(2)
Ermittle, für welche Werte von 
der Punkt 
auf dem Graphen der Funktion liegt.
(2 + 3 Punkte)
e)
Die Zufallsgröße 
ist binomialverteilt mit den Parametern 
und 
Der Erwartungswert von ist 
.
Der Erwartungswert von
(1)
Berechne die Standardabweichung von 
(2)
Die Wahrscheinlichkeit 
beträgt etwa 
.
Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit
Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit
(3 + 2 Punkte)
f)
Bei einem Gewinnspiel beträgt der Einsatz für die Teilnahme 3 Euro. Die Auszahlung in Euro wird durch die Zufallsgröße 
beschrieben. Abbildung 5 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von 
(1)
Zeige, dass 
den Wert 
hat.
(2)
Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen.
Berechne den Wert von
Berechne den Wert von
(3)
Beschreibe, wie das Gewinnspiel unter Verwendung eines Behälters sowie roter, grüner und blauer Kugel durchgeführt werden könnte.
(1 + 2 + 2 Punkte)
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a)
(1)
(2)
Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen folgt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
f](https://mathjax.schullv.de/1af6f04ded1a895f0219b488904d2d8146ce8dadc2eb0fa1c263dfaa84e59cb4?color=5a5a5a)
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt 
und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x^2-k &= & 0 \quad \scriptsize \mid +k \mid :2\\[5pt]
x^2 &= & \frac{k}{2} \quad \scriptsize \mid \sqrt{\,\,} \\[5pt]
x_{2/3} &= & \pm \sqrt{\frac{k}{2}}& \quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a3d588cb5dd0f67b2c73c3616d5abc0323849359d89ac7157f8521e07ac2e9eb?color=5a5a5a)
Auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden, weil aus der Aufgabe bekannt ist, dass es genau zwei Tiefpunkte gibt. Da nicht zwei Tiefpunkte aufeinander folgen können, muss bei ein Hochpunkt liegen und zwei Tiefpunkte bei 
liegen.
Es soll gelten 
und 
Für
ergibt sich ebenfalls 
Da eine positive reelle Zahl sein soll, folgt 
Für
b)
(1)
Der Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von und die 
Achse im Intervall ![\([1;3]\)](https://mathjax.schullv.de/4c871f3c45250ceb60647b58544ce3c3596fbc24341f187d6b6947c96521272c?color=5a5a5a)
einschließt, ist genauso groß wie der Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von und die Achse im Intervall ![\([3;5]\)](https://mathjax.schullv.de/9b74aa626c8d7e31a85e07aab7436e3c3c0ef3498047b88831b04d1ff79420d3?color=5a5a5a)
einschließt.
(2)
c)
(1)
Mit der Produktregel folgt:
Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/55d5f5177523770ba532807dd93c9276dfa26c35512511fa4c4325c04b1e7987?color=5a5a5a)
Da 
ist, muss 
gelten. Damit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2-x^2&=& 0 \quad \scriptsize \mid \,+x^2\\[5pt]
2&=& x^2 \quad \scriptsize \\[5pt]
x^2&=& 2 \quad \scriptsize \mid \,\sqrt{\, \,}\\[5pt]
x_{1/2} &=& \pm \sqrt{2} & \quad \scriptsize\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/37d3f0fba8a35f2c3c7023273be86ebb24c40d8ac4917c4fe0944beeff9854db?color=5a5a5a)
Die Extremstellen sind: 
und 
(2)
d)
(1)
(2)
e)
(1)
Da binomialverteilt ist, kann mit dem Erwartungswert folgende Gleichung aufgestellt werden:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
E(X) &=& n \cdot p & \quad \scriptsize \\[5pt]
50 &=& 100 \cdot p & \quad \scriptsize \mid \;:100\\[5pt]
\frac{1}{2} &=& p& \quad \scriptsize\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7efa3b6efbd89e04f89f120a770b857ed9ddc5f33542aad4062b9a222210c212?color=5a5a5a)
Damit lässt sich die Standardabweichung bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\sigma(X) &=& \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} & \quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \sqrt{100 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1-\frac{1}{2})} & \quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \sqrt{100 \cdot \frac{1}{4}} & \quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \sqrt{25} & \quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 5 & \quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/11a3ab2a93666cf6b1f645eab131a1ec1f7f281bfd18abe2f494eba435a9607e?color=5a5a5a)
Damit ist die Standardabweichung 
(2)
Da 
gilt, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von symmetrisch zum Erwartungswert 
daraus folgt 
f)
(1)
(2)
(3)
In den Behälter werden eine rote, drei grüne und zwei blaue Kugeln gelegt. Die Spielerin/der Spieler entnimmt dem Behälter zufällig eine Kugel. Ist die entnommene Kugel rot, erfolgt keine Auszahlung, ist sie grün, werden 2 Euro ausgezahlt und ist sie blau, werden 6 Euro ausgezahlt.