Aufgabe 3
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte 
und 
Eckpunkte eines schiefen Prismas[1] 
mit viereckiger Grundfläche 
(siehe Abbildung).
[1] Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine dazu parallele deckungsgleiche Deckfläche. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Bei einem schiefen Prisma stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche. Das Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe, die senkrecht auf der Grundfläche steht.
ein Drachenviereck.
[1] Ein Prisma besitzt eine Grundfläche und eine dazu parallele deckungsgleiche Deckfläche. Die Seitenflächen sind Parallelogramme. Bei einem schiefen Prisma stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche. Das Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe, die senkrecht auf der Grundfläche steht.
a)
(1)
Stelle eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene 
auf, die die Punkte 
und 
enthält.
[Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung:
]
[Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung:
(6 BE)
(2)
Bestimme eine Parameterform der Geraden 
die senkrecht schneidet und durch 
verläuft.
[Mögliche Lösung: 
]
Vollständige Lösung anzeigen
(3 BE)
(3)
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes 
der Geraden 
und der Ebene 
[Zur Kontrolle:
]
[Zur Kontrolle:
(3 BE)
b)
(1)
Zeige, dass die Diagonalen 
und 
des Vierecks zueinander senkrecht sind und sich im Mittelpunkt 
von schneiden.
[Zur Kontrolle:
]
Nach Aufgabe b) (1) ist das Viereck [Zur Kontrolle:
(7 BE)
(2)
Bestimme das Volumen des Prismas 
(5 BE)
c)
Es gibt Ebenen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile zerlegen.
(1)
Beschreibe die Lage zweier dieser Ebenen.
(3 BE)
(2)
Begründe die Volumengleichheit der beiden Teilkörper für einen der beiden Schnitte aus c) (1).
(3 BE)
d)
Der Punkt wird auf der Strecke 
zum Punkt 
so verschoben, dass alle Seiten des Vierecks 
gleich lang sind.
Ermittle die Koordinaten von
Ermittle die Koordinaten von
(4 BE)
e)
Bestimme die Koordinaten des Punktes auf der Strecke 
der von dem Punkt den kürzesten Abstand besitzt.
Bildnachweise [nach oben]
(6 BE)
© - SchulLV.
a)
(1)
(2)
Um sicher zu stellen, dass die Gerade durch den Punkt
(3)
b)
(1)
(2)
c)
(1)
(2)
Die Höhe wird halbiert, sodass das Volumen des gesamten Prismas ebenfalls halbiert wird. Es entstehen also zwei Teilprismen mit gleicher Höhe, gleichgroßer Grundfläche und dementsprechend auch gleichem Volumen.
Die Höhe wird durch diesen Schnitt nicht verändert, beide Teilprismen besitzen also die gleiche Größe der Grundfläche und die gleiche Höhe und damit auch das gleiche Volumen. Es entstehen durch den Schnitt also zwei Teilkörper mit gleichem Volumen.
d)
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{B‘C}\right|&=& \left|\overrightarrow{OC}\right| \\[5pt]
\left|\pmatrix{-6\\4-16t\\-2+8t} \right|&=& \left|\pmatrix{-6\\4\\-2} \right| \\[5pt]
t_1&=&0 \\[5pt]
t_2&=& \frac{1}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/21ad5c72b32baa7d8fb73ec9cf0fc656f674ac1d943b1b9fe6f766c7768789dc?color=5a5a5a)
e)
Um 
so zu bestimmen, dass 
minimal wird, kann zunächst ein Tiefpunkt des zugehörigen Graphen bestimmt werden.
Mithilfe des CAS und des notwendigen Kriteriums für Extrempunkte ergeben sich mögliche Extremstellen von
![\(\begin{array}[t]{rll}
d‘(s) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
s&=& \frac{5}{28}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/77f429a4d804d1adaafabd67264589d639781487c21d776351f1379b4dc9f183?color=5a5a5a)
Für das hinreichende Kriterium gilt:
Mithilfe des CAS und des notwendigen Kriteriums für Extrempunkte ergeben sich mögliche Extremstellen von
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Für die Intervallränder gilt:
© - SchulLV.
a)
(1)
(2)
Um sicher zu stellen, dass die Gerade durch den Punkt
(3)
b)
(1)
(2)
c)
(1)
(2)
Die Höhe wird halbiert, sodass das Volumen des gesamten Prismas ebenfalls halbiert wird. Es entstehen also zwei Teilprismen mit gleicher Höhe, gleichgroßer Grundfläche und dementsprechend auch gleichem Volumen.
Die Höhe wird durch diesen Schnitt nicht verändert, beide Teilprismen besitzen also die gleiche Größe der Grundfläche und die gleiche Höhe und damit auch das gleiche Volumen. Es entstehen durch den Schnitt also zwei Teilkörper mit gleichem Volumen.
d)
e)
Um so zu bestimmen, dass minimal wird, kann zunächst ein Tiefpunkt des zugehörigen Graphen bestimmt werden.
Mithilfe des CAS und des notwendigen Kriteriums für Extrempunkte ergeben sich mögliche Extremstellen von
Für das hinreichende Kriterium gilt:
Mithilfe des CAS und des notwendigen Kriteriums für Extrempunkte ergeben sich mögliche Extremstellen von
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
Für die Intervallränder gilt:
© - SchulLV.