Aufgabe 4

Katja isst sehr gerne Gummibärchen. Ihre Mutter möchte verhindern, dass Katja zu viele Gummibärchen auf einmal isst. Die beiden vereinbaren, einmal täglich ein Spiel mit dem folgenden Glücksrad und Spielbrett durchzuführen:

Abbildung 1

Das Glücksrad hat vier gleich große Sektoren mit den Farben rot, gelb, grün und blau. Das zugehörige Spielbrett besteht aus $4$ Feldern in den gleichen Farben. Zu Beginn des Spiels ist das Spielbrett leer. Mit dem Glücksrad aus der Abbildung wird eine der $4$ Farben bestimmt. Ist das Feld mit dieser Farbe leer, so wird dieses mit einem Gummibärchen belegt. Liegt bereits ein Gummibärchen in diesem Feld, dann erhält Katja das Gummibärchen, sodass das Feld danach wieder leer ist. Das Spiel endet, wenn alle $4$ Felder belegt sind und Katja erhält die vier auf dem Spielbrett liegenden Gummibärchen.

Das Spiel kann als stochastischer Prozess mit den Zuständen $Z_0,$ $Z_1,$ $Z_2,$ $Z_3$ und $Z_4$ modelliert werden. Dabei beschreibt der Zustand $Z_0$ ein leeres Spielbrett. $Z_1,$ $Z_2,$ $Z_3$ und $Z_4$ beschreiben die Zustände mit genau einem, zwei, drei oder vier Gummibärchen auf dem Spielbrett. Das Spiel endet, sobald der Zustand $Z_4$ erreicht ist.

(1)

Ein Spiel befindet sich im Zustand $Z_2.$ Ermittle alle möglichen Zustände, die nach zwei weiteren Glücksraddrehungen auftreten können.

(2)

Begründe, dass die Anzahl der Glücksraddrehungen vom Spielbeginn bis zum Spielende eine gerade Zahl sein muss.

(4 + 3 Punkte)

Die folgende Matrix $A$ modelliert die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen $Z_0,$ $Z_1,$ $Z_2,$ $Z_3$ und $Z_4.$

$A= ...$

Matrix anzeigen

(1)

Erläutere die Einträge in der zweiten Spalte der Matrix $A$ im Sachzusammenhang.

(2)

Bestimme das Matrix-Vektor-Produkt $A^{10} \cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0}$ und interpretiere die ersten beiden Komponenten des Ergebnisvektors im Sachzusammenhang.

(3)

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

(Zur Erinnerung: Zum Spielbeginn ist das Spielbrett leer.)

$E_1:$

Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach höchstens $12$ Glücksraddrehungen.

$E_2:$

Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach genau $12$ Glücksraddrehungen.

$E_3:$

Ein Spiel ist ab dem Beginn nach $20$ Glücksraddrehungen noch nicht beendet.

$E_4:$

Ab dem Spielbeginn liegen nach $9$ Glücksraddrehungen höchstens $2$ Gummibärchen auf dem Spielfeld.

(4)

Für die Übergänge vom Zustand $Z_0$ in den Zustand $Z_1$ bzw. von $Z_1$ zu $Z_2$ bzw. von $Z_2$ zu $Z_3$ werden die durchschnittlichen Anzahlen der dafür benötigten Glücksraddrehungen mit $z_{0\rightarrow 1}$ bzw. $z_{1\rightarrow 2}$ bzw. $z_{2\rightarrow 3}$ bezeichnet.
Für den Wechsel von $Z_0$ zu $Z_1$ ist immer genau eine Drehung erforderlich. Folglich ist $z_{0\rightarrow 1} = 1.$
Für den Wechsel von $Z_1$ zu $Z_2$ ist mindestens eine Drehung erforderlich. In durchschnittlich drei Viertel der Fälle wird mit dieser Drehung $Z_2$ erreicht. In durchschnittich einem Viertel aller Fälle kommt es bei dieser Drehung zu einem Wechsel von $Z_1$ in den Zustand $Z_0.$ Um von $Z_0$ in den Zustand $Z_2$ zu gelangen, werden im Durchschnitt $z_{0\rightarrow1} + z_{1\rightarrow2}$ Drehungen benötigt. Daraus ergibt sich die Gleichung

$z_{1\rightarrow 2} = 1+\dfrac{1}{4}\left(z_{0\rightarrow1} + z_{1\rightarrow2} \right)$

Bestimme mithilfe der obigen Gleichung $z_{1\rightarrow2}.$ Gib eine analoge Gleichung für die Bestimmung von $z_{2\rightarrow 3}$ an.

(3 + 5 + 11 + 6 Punkte)

Während eines Spiels wechselt mit jeder Glücksraddrehung die Anzahl der Gummibärchen auf dem Spielfeld. Entweder kommt ein Gummibärchen dazu (Vorwärtsschritt in Richtung $Z_4$ ) oder Katja erhält ein Gummibärchen vom Spielbrett (Rückwärtsschritt in Richtung $Z_0$ ). Immer erhält Katja am Spielende die vier Gummibärchen auf dem Spielbrett.

(1)

Begründe, dass am Ende eines Spiels genau vier Vorwärtsschritte mehr als Rückwärtsschritte aufgetreten sind.

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Katja am Ende eines Spiels höchstens $10$ Gummibärchen erhalten hat.

(3 + 5 Punkte)

(1)

Mit jeder Glücksraddrehung kann entweder ein Gummibärchen hinzukommen oder weggenommen werden.
Bei zwei Glücksraddrehungen folgt also:

$Z_2 \to Z_3 \to Z_4,\quad$ $Z_2 \to Z_1 \to Z_2,\quad$ $Z_2 \to Z_1 \to Z_0,\quad$ $Z_2 \to Z_3 \to Z_2$

Befindet sich das Spiel im Zustand $Z_2,$ dann kann sich das Spiel nach zwei Glücksraddrehungen in einem der Zustände $Z_0,$ $Z_2$ oder $Z_4$ befinden.

(2)

Mit jeder Glücksraddrehung kann entweder ein Gummibärchen hinzukommen oder weggenommen werden. Die Anzahl der Gummibärchen auf dem Spielbrett wird also immer entweder um eins erhöht oder um eins verringert.
Befindet sich eine gerade Anzahl Gummibärchen (oder keines) auf dem Spielbrett, so befindet sich anschließend eine ungerade Anzahl auf dem Spielbrett. Befindet sich eine ungerade Anzahl Gummibärchen auf dem Spielbrett, so befindet sich nach der Drehung eine gerade Anzahl an Gummibärchen auf dem Spielbrett.
Um von einer geraden Anzahl (inklusive Null) wieder zu einer geraden Anzahl (oder von einer ungeraden Anzahl zu einer ungeraden Anzahl) Gummibärchen zu kommen, müssen also immer eine gerade Anzahl an Drehungen vorgenommen werden.
Da das Spiel im Zustand $Z_0$ (als gerade Zahl aufgefasst) startet und im Zustand $Z_4$ (ebenfalls gerade) endet, muss also eine gerade Anzahl an Drehungen durchlaufen werden.

(1)

Die Einträge der zweiten Spalte geben die Übergangswahrscheinlichkeiten vom Zustand $Z_1$ in die anderen Zustände an.
Da immer nur genau ein Gummibärchen pro Drehung hinzukommt oder entfernt wird, kann das Spiel vom Zustand $Z_1$ nur in $Z_0$ oder $Z_2$ übergehen, nicht aber in die anderen Zustände und auch nicht in $Z_1$ bleiben.
Dementsprechend sind der zweite, vierte und fünfte Eintrag in der Spalte Null.

Im Sachkontext bedeutet das:

Ausgangszustand für die zweite Spalte ist der Zustand $Z_1,$ also der Zustand, dass sich genau ein Gummibärchen auf dem Spielbrett befindet.
Das Feld, auf dem sich das Gummibärchen befindet wird bei der Drehung des Glücksrades mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ getroffen. In dem Fall darf Katja das Gummibärchen vom Spielbrett nehmen, sodass das Spielbrett dann wieder leer ist.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ trifft das Glücksrad eines der anderen drei leeren Felder. Dann wird auf dieses Feld ein Gummibärchen gelegt, sodass nun zwei Gummibärchen auf dem Spielbrett liegen.

(2)

Mit dem CAS ergibt sich:

$A^{10} \cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0,1057 \\ 0\\ 0,5457 \\ 0\\ 0,3486}$

Der Vektor $\pmatrix{1\\0\\0\\0\\0}$ beschreibt den Zustand, dass sich das Spiel im Zustand $Z_0$ befindet, also kein Gummibärchen auf dem Spielbrett liegt.
Eine Multiplikation mit der Matrix $A^{10}$ führt zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände nach $10$ Drehungen des Glücksrades.

Wenn kein Gummibärchen auf dem Spielfeld liegt, so befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,57\,\%$ nach $10$ Glücksraddrehungen immernoch (oder erneut) kein Gummibärchen auf dem Spielbrett. Es ist nicht möglich, dass sich nach $10$ Drehungen genau ein Gummibärchen auf dem Spielbrett befindet.

(3)

$A^{12}\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0,0946 \\ 0\\0,4885\\ 0\\0,4168}$

Also ist $P(E_1) \approx 0,4168 = 41,68\,\%$

Damit das Spiel nach genau $12$ Drehungen endet, muss sich das Spiel nach der elften Drehung im Zustand $Z_3$ befinden und dann von $Z_3$ in $Z_4$ übergehen. Nach der elften Drehung müssen sich also drei Gummibärchen auf dem Spielbrett befinden und bei der zwölften Drehung muss dann genau das Feld getroffen werden, das noch frei ist:

$A^{11}\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0\\0,3785 \\ 0\\0,2728 \\ 0,3486}$

$P(E_2) \approx 6,82\,\%$

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$A^{20}\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0,0608\\ 0\\0,3139 \\0\\0,6253}$

$P(E_3) \approx 37,47\,\%$

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$A^{9}\cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{ 0\\0,4229 \\ 0 \\ 0,3047 \\ 0,2725}$

$P(E_4) \approx 42,29\,\%$

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(4)

$\begin{array}[t]{rll} z_{1\to 2} &=& 1+\frac{1}{4}\cdot \left( z_{0\to 1} + z_{1\to 2}\right) \\[5pt] z_{1\to 2}&=& 1+\frac{1}{4}\cdot \left( 1 + z_{1\to 2}\right)\\[5pt] z_{1\to 2}&=& 1+\frac{1}{4} + \frac{1}{4}z_{1\to 2} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{4}z_{1\to 2} \\[5pt] \frac{3}{4}z_{1\to 2}&=& \frac{5}{4} &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{3}{4}\\[5pt] z_{1\to 2} &=& \frac{5}{3} \end{array}$

Befindet sich das Spiel im Zustand $Z_2,$ so liegen zwei Gummibärchen auf dem Spielbrett. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,5$ wird bei der nächsten Drehung eines der beiden Felder gedreht, auf denen bereits ein Gummibärchen liegt, sodass das Spiel von $Z_2$ zu $Z_1$ zurück geht. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,5$ wird eines der beiden Felder gedreht, das noch leer ist, sodass das Spiel dann von $Z_2$ in $Z_3$ übergeht.

$z_{2\to 3} = 1+ \frac{1}{2}\cdot\left( z_{1\to 2} + z_{2\to 3}\right)$

(1)

Das Spiel beginnt im Zustand $Z_0$ und endet im Zustand $Z_4.$ Um ohne Rückwärtsschritte zu $Z_4$ zu gelangen, werden vier Vorwärtsschritte benötigt.
Für jeden Rückwärtsschritt wird ein Vorwärtsschritt als Ausgleich benötigt. Am Ende des Spiels setzt sich die Gesamtanzahl der benötigten Schritte aus den vier Vorwärtsschritten und jeweils gleich vielen Vorwärts- und Rückwärtsschritten zusammen.
Also treten am Ende des Spiels immer genau vier mehr Vorwärts- als Rückwärtsschritte auf.

(2)

Am Ende des Spiels hat Katja die vier Gummibärchen erhalten, die zum Ende des Spiels auf dem Spielbrett liegen und im Verlauf des Spiels zusätzlich pro Rückwärtsschritt ein Gummibärchen.
Damit sie höchstens $10$ Gummibärchen bekommt, darf sie also höchstens $6$ Rückschritte gemacht haben, also höchstens zehn Vorwärtsschritte. Insgesamt darf sie also höchstens $16$ mal gedreht haben:

$A^{16} \cdot \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0} \approx \pmatrix{0,0759 \\ 0 \\ 0,3916 \\ 0 \\ 0,5326}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $53,26\,\%$ hat Katja am Ende eines Spiels höchstens $10$ Gummibärchen erhalten.

		von:	$Z_0$	$Z_1$	$Z_2$	$Z_3$	$Z_4$
	$Z_0$		$\begin{pmatrix}0& 0,25 & 0 & 0 & 0\\[10pt]1& 0& 0,5 & 0 & 0\\[10pt]0&0,75& 0 & 0,75 & 0\\[10pt] 0& 0 & 0,5& 0& 0 \\[10pt] 0& 0 & 0 & 0,25 & 1\end{pmatrix}$
	$Z_1$
nach:	$Z_2$	$A=$
	$Z_3$
	$Z_4$