Aufgabe 1

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung
$f(x)=10\cdot (x-1)\cdot \mathrm e^{-x},$ $x \in \mathbb{R}.$

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Graph einer Funktion f(x) mit Achsenbeschriftung und einem Verlauf, der asymptotisch gegen die x-Achse tendiert.

Abbildung 1

(1)

Begründe, dass $x=1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.

(1 P)

(2)

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen.

(3 P)

(1)

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t(x)=-10\cdot \mathrm e ^{-3} \cdot x+50 \cdot \mathrm e^{-3},$ $x \in \mathbb{R},$ und der Wendepunkt $W(3|f(3))$ des Graphen von $f.$
Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist.

(4 P)

(2)

Die Schnittpunkte der in b) (1) gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen eine Strecke fest.

Berechne die Länge dieser Strecke.

(3 P)

(3)

Im Intervall $[1;5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in b) (1) gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).

Bestimme den Flächeninhalt von $F$ auf vier Nachkommastellen gerundet.

(3 P)

Grafische Darstellung von Funktionen f(x) und t(x) mit Achsen und Bezeichnungen.

Abbildung 2

Die Gerade $g$ ist die Parallele zur $x$ -Achse durch den Hochpunkt $H(2 \mid f(2))$ des Graphen von $f.$ Die $y$ -Achse, $g$ und der Graph von $f$ schließen eine Fläche ein (siehe grün gefärbte Fläche in Abbildung 3).

Diagramm mit Achsen, Kurven und Punkten zur Veranschaulichung mathematischer Konzepte.

Abbildung 3

(1)

Ermittle den Inhalt dieser Fläche.

(3 P)

$Q_u (u| f(u)),$ $0\lt u \lt 2,$ ist ein Punkt auf dem Graphen von $f.$ Die Parallelen durch $Q_u$ zu den beiden Koordinatenachsen werden mit $p_x$ und $p_y$ bezeichnet. Die $y$ -Achse, $g, p_x$ und $p_y$ begrenzen ein Rechteck (siehe schraffierte Fläche in Abbildung 3).

(2)

Ermittle den Flächeninhalt dieses Rechtecks für den Fall, dass $Q_u$ mit dem Schnittpunkt übereinstimmt, den der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse hat.

(2 P)

(3)

Untersuche, um wie viel Prozent sich der Wert aus (2) maximal vergrößern lässt, wenn für $Q_u (u \mid f(u))$ eine andere Position mit $0\lt u\lt 2$ gewählt wird.

(5 P)

Die Funktion $f$ gehört zur Schar $h_a,$ die gegeben ist durch
$h_a(x)=10 \cdot (x-a)\cdot \mathrm e^{-x},$ $x \in \mathbb{R},$ $a \in \mathbb{R}.$

Der Graph von $h_a$ besitzt genau einen Wendepunkt $W_a.$

(1)

Ermittle die Wendestelle.

[Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist hier nicht erforderlich.]

(3 P)

(2)

$t_a$ ist die Tangente im Wendepunkt $W_a (a+2 \mid h_a (a+2)).$ Eine Gleichung für $t_a$ ist
$y=-10\cdot \mathrm e ^{-a-2}\cdot x+10 (a+4) \cdot \mathrm e^{-a-2}.$

Für $a\neq -4$ begrenzt $t_a$ mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck.
Leite einen Term für den Flächeninhalt $A_D$ des Dreiecks her.

[Mögliche Lösung:
$A_D(a)=5 \cdot (a+4)^2 \cdot \mathrm e ^{-a-2}]$

(4 P)

(3)

Ermittle einen Wert von $a,$ für den die Dreiecksfläche die Größe 10 FE hat.

(2 P)

Die Gerade $I_a$ ist die Gerade, die im Wendepunkt $W_a (a+2 \mid h_a (a+2))$ senkrecht auf der Tangente $t_a$ steht.

(1)

Ermittle eine Gleichung für $l_a.$

$\bigg[$ Mögliche Lösung:
$y= \dfrac{\mathrm e^{a+2}}{10} \cdot x + \dfrac{200-(a+2) \mathrm e^{2a+4}}{10 \cdot \mathrm e^{a+2}} \bigg]$

[Hinweis: Ohne Nachweis kannst du den folgenden Sachverhalt nutzen:
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander genau dann, wenn für ihre Steigungen gilt: $m_1 \cdot m_2 =-1.]$

(4 P)

(2)

$N_a$ ist der Schnittpunkt des Graphen von $h_a$ mit der $x$ -Achse.

Ermittle den Wert von $a,$ für den die Gerade $I_a$ durch $N_a$ verläuft.

(4 P)

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(1)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] 10 \cdot (x-1) \cdot \mathrm e^{-x}&=&0 \end{array}$

Da $10\neq 0$ und $\mathrm e^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb R,$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt, dass $x-1=0$ sein muss und daraus $x=1$ als einzige Nullstelle.

(2)

1. Schritt: Die ersten beiden Ableitungen bilden

Mit der Produktregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Erneutes Anwenden der Produktregel:

Zweite Ableitung anzeigen

$\( f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Da $10\neq 0$ und $\mathrm e^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb R,$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt, dass $2-x=0$ sein muss und daraus folgt $x=2$ als einzige lokale Extremstelle.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\( f$ $= -10 \cdot \mathrm e^{-2} \lt 0$

Also besitzt $f$ genau eine lokale Extremstelle: Bei $x=2$ nimmt $f$ ein lokales Maximum an.

(1)

Es muss geprüft werden, ob die Graphen von $t$ und $f$ an der Stelle $x=3$ die gleiche Steigung haben und ob der Punkt $W$ auf dem Graphen von $t$ liegt.

1. Schritt: Steigung prüfen

Die Steigung von $t$ lässt sich aus der Geradengleichung ablesen mit $m_t =-10\cdot \mathrm e^{-3}.$ Für die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=3$ ergibt sich mit der ersten Ableitung:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die Gerade $t$ hat die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ an der Stelle $x=3.$

2. Schritt: Prüfen, ob der Punkt $W \left( 3\mid f(3) \right)$ auf der Tangente $t$ liegt

Es gilt: $f(3)= 10 \cdot (3-1) \cdot\mathrm e^{-3}$ $=20\cdot\mathrm e^{-3}.$

$\begin{array}[t]{rlll} t(3) & = & -10\cdot\mathrm e^{-3}\cdot 3+50\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &= & 20 \cdot\mathrm e^{-3} \\[5pt] &=& f(3) \\[5pt] \end{array}$

$W\left( 3 \mid f(3) \right)$ ist ein gemeinsamer Punkt der Graphen von $f$ und $t.$
Damit ist der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W(3 \mid f(3)).$

(2)

1. Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen bestimmen

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x=5$

Somit folgt der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse $S_x \left(5 \mid 0 \right).$

$\begin{array}[t]{rlll} t(0) &=& -10\cdot \mathrm e^{-0}\cdot0+50 \cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &=& 50 \cdot \mathrm e^{-3}& \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$

Der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$ -Achse ist $S_y\left(0\mid 50 \cdot \mathrm e^{-3} \right).$

2. Länge der Strecke zwischen den Schnittpunkten bestimmen

Die Länge der Strecke zwischen den Schnittpunkten wird mit dem Satz des Pythagoras bestimmt, da $OS_xS_y$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\overline{S_xS_y}$ ist.

Grafik mit Achsen und geometrischen Elementen zur Darstellung von Funktionen und deren Beziehungen.

$\begin{array}[t]{rlll} \mid \overline{S_xS_y}\mid^2 &=& 5^2+(50 \cdot \mathrm e^{-3})^2& \quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\;}\\[5pt] \mid \overline{S_xS_y}\mid &=& \sqrt{ 5^2+ (-50 \cdot \mathrm e^{-3})^2}\\[5pt] &\approx& 5,5854& \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$

Die Länge der Strecke zwischen den Schnittpunkten der Tangente mit den Koordinatenachsen beträgt $5,5854 \; [\text{LE}].$

(3)

Für den Inhalt der Fläche $F$ gilt: $F=A_1+A_2.$

$A_1= \displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\;\mathrm dx$

$A_2= \displaystyle\int_{3}^{5}t(x)\;\mathrm dx$

Grafik mit mathematischen Funktionen, Achsen und Flächen unter Kurven.

Die Integrationsgrenzen ergeben sich in den vorherigen Teilaufgaben und werden mithilfe der Abbildung nochmal deutlich.

Die Werte von $A_1$ und $A_2$ werden mit dem CAS berechnet.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Für den Flächeninhalt von $F$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} F&=& \displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\;\mathrm dx+ \displaystyle\int_{3}^{5}t(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx& 2,1852 +0,9957 \\[5pt] &=&3,1809 \; [\text{FE}] \end{array}$

(1)

1. Schritt: Geradengleichung $g$ ermitteln

Es gilt: $f(2)= 10\cdot(2-2)\cdot \mathrm e^{-2} \approx 1,3534$

Da $g$ parallel zur $x$ -Achse ist, folgt die Gleichung mit $g(x)= 1,3534.$

2. Schritt: Inhalt der Fläche bestimmen
Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche entspricht dem Wert $\displaystyle\int_{0}^{2}(g(x)-f(x))\;\mathrm dx,$ welcher mit dem CAS berechnet wird.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Der gesuchte Flächeninhalt folgt mit $\displaystyle\int_{0}^{2}g-f(x)\;\mathrm dx \approx 5,4134 \; [\text{FE}].$

(2)

1. Schritt: Koordinaten von $Q_u$

Der Abbildung in der Aufgabenstellung kann entnommen werden, dass der Graph von $f$ die $x$ -Achse an der Stelle $x=1$ schneidet. Damit folgt $Q_1(1 \mid 0)$ und das in der Abbildung dargestellte Rechteck.

Grafik einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einer gekrümmten Linie.

2. Schritt: Flächeninhalt des Rechtecks ermitteln

Mit $Q_1$ ergibt sich die Länge des Rechtecks mit $l =1 \;[\text{LE}].$ Die Breite des Rechtecks entspricht dem $y$ -Achsenabschnitt der Geraden $g$ mit $b=1,3534\;[\text{LE}].$

Der Flächeninhalt des Rechtecks folgt mit $A_R= l \cdot b = 1 \cdot 1,3534= 1,3534\;[\text{FE}].$

(3)

1. Schritt: Allgemeine Funktionsgleichung $A(u)$ zur Berechnung des Flächeninhalts aufstellen

Mit der $x$ - Koordinate von $Q_u$ ergibt sich die Länge des Rechtecks mit $l =u.$ Die Breite des Rechtecks entspricht dem $y$ -Achsenabschnitt der Geraden $g$ abzüglich der $y$ -Koordinate von $Q_u$ mit $b=(1,3534- f(u)).$

Der Flächeninhalt kann für jede Postion von $Q_u (u \mid f(u))$ für $0\lt u \lt2$ mit $A_R(u)= u \cdot (1,3534- f(u))$ bestimmt werden.

2. Den maximalen Flächeninhalt bestimmen

Durch eine graphische Analyse mit dem CAS wird das Maximum von $A(u)$ bestimmt.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der Flächeninhalt wird für $u \approx 0,485 \; [\text{LE}]$ mit $A(u)=2,1942\; [\text{FE}]$ maximal.

3. Prozentuale Vergrößerung

Es gilt $A_R=1,3534 \; [\text{FE}]$ (aus (2)) und $A(u)=2,1942\; [\text{FE}].$

$\dfrac{2,1942\; [\text{FE}]}{1,3534 \; [\text{FE}]} \approx 1,623$

Der Flächeninhalt kann maximal um ca. $62$ % vergrößert werden.

(1)

Notwendige Bedingung für Wendestellen

$\(\begin{array}[t]{rlll} h$

Da $10 \neq 0$ und $\mathrm e^{-x}\neq0,$ muss mit dem Satz vom Nullprodukt $x-a-2=0$ sein. Daraus folgt $x=a+2.$

Auf die hinreichende Bedingung für Extremstellen kann verzichtet werden und somit ergibt sich genau eine Wendestelle.

(2)

Das Dreieck, welches $t_a$ mit den Koordinatenachsen begrenzt, hat einen rechten Winkel im Ursprung. Der Flächeninhalt des Dreiecks folgt mit $A_D= \dfrac{1}{2} \cdot l \cdot h.$ Um $l$ und $h$ zu bestimmen, müssen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmt werden.

Diagramm mit Achsen, Kurven und beschrifteten Punkten in einem Koordinatensystem.

1. Schritt: Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen bestimmen

Für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse gilt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$10 \cdot \mathrm e^{-a-2}\cdot(-x+a+4) =0$

Da $10 \cdot \mathrm e^{-a-2} \neq0$ muss mit dem Satz vom Nullprodukt $0= -x+a+4$ gelten. Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} 0&=& -x+a+4 & \quad \scriptsize\mid\, +x \\[5pt] x&=& a+4 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Schnittpunkt der mit der $x$ -Achse folgt mit $S_x (a+4 \mid 0).$

Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse entspricht dem $y$ -Achsenabschnitt und lässt sich aus der Geradengleichung ablesen. Er folgt mit $S_y \left(0\mid 10\cdot(a+4)\cdot \mathrm e^{-a-2} \right)$ .

2. Schritt: Term für den Flächeninhalt $A_D(a)$ herleiten

Es gilt $l= a+4$ und $h= 10\cdot(a+4)\cdot \mathrm e^{-a-2}.$

Der Flächeninhalt des Dreiecks folgt mit:

$\begin{array}[t]{rll} A_D (a)&=& \dfrac{1}{2} \cdot l \cdot h \\[5pt] &=& (a+4) \cdot 10\cdot(a+4)\cdot \mathrm e^{-a-2} \\[5pt] &=&5 \cdot (a+4)^2 \cdot \mathrm e^{-a-2} \end{array}$

(3)

$\begin{array}[t]{rlll} A_D(a)&= & 10& \quad \scriptsize \\[5pt] 5\cdot(a+4)^2\cdot \mathrm e^{-a-2}&=& 10 &\scriptsize \mid \, -10\\[5pt] 5\cdot(a+4)^2\cdot \mathrm e^{-2-a}-10&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich drei Werte für $a,$ für die die Dreiecksfläche die Größe $10 \;\text{FE}$ hat:

$a_1\approx -4,4214,$ $a_2\approx -3,2388$ und $a_3 \approx 0,1559$

(1)

Die Gleichung der Geraden $I_a$ ist gegeben durch $y= m_{I_a} \cdot x + b.$

1. Schritt: Steigung der Geraden $I_a$ bestimmen

Es gilt $m_1\cdot m_2=-1$ , die Steigung der Tangente ist gegeben durch $m_{t_a}= -10 \cdot \mathrm e^{-a-2}$ und daraus folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$m_{I_a} = \dfrac{\mathrm e^{a+2}}{10}$

2. Schritt: Den $y$ -Achsenabschnitt $b$ bestimmen

Die Koordinaten des Wendepunkts $W_a$ und die Steigung $m_{I_a}$ werden in $y$ eingesetzt.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$20\cdot \mathrm e^{-(a+2)}-\dfrac{\mathrm e^{a+2}}{10} \cdot \left(a+2\right) = b$

Eine Gleichung für $I_a$ ist somit $y= \dfrac{\mathrm e^{a+2}}{10} \cdot x + 20\cdot \mathrm e^{-a-2}-\dfrac{\mathrm e^{a+2}}{10} \cdot \left(a+2\right).$

(2)

1. Schritt: Schnittstellen von $I_a$ und $h_a$ mit der $x$ -Achse

Die Schnittstelle von $I_a$ mit der $x$ -Achse ergibt sich mit dem solve-Befehl des CAS für $y_{I_a}=0$ und folgt mit $x=\mathrm e^{-2\cdot a-4}\cdot ((a+2)\cdot \mathrm e^{2 \cdot a+4}-200).$

Die Schnittstelle von $h_a$ mit der $x$ -Achse folgt mit $0= 10 \cdot (x-a) \cdot \mathrm e^{-x}.$ Da $10 \neq 0$ und $\mathrm e^{-x} \neq 0$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt $x-a=0$ und daraus die Schnittstelle an $x=a.$

Die Koordinaten von $N_a$ folgen mit $N_a\left( 0\mid a\right)$ .

2. Schritt: Wert von $a$ ermitteln

Gleichsetzen der Schnittstellen ergibt:

$\mathrm e^{-2\cdot a-4}\cdot ((a+2)\cdot \mathrm e^{2 \cdot a+4}-200)=a$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich der Wert für $a$ mit $a= \ln(10)-2\approx 0,3026.$

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