A2

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$f(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x^3-3 \cdot x^2+\frac{3}{2} \cdot x+5, x \in \mathbb{R}$

und

$g(x)=-3 \cdot x+5, x \in \mathbb{R}.$

(1)

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen.

(2)

Der Punkt $P(3 \mid f(3))$ ist einer dieser gemeinsamen Punkte.

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P.$

(4 + 1 Punkte)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= \mathrm e ^{\left(x^2\right)}.$

(1)

Gib die Wertemenge von $f$ an.

$\big[$ Die Wertemenge von $f$ umfasst alle Zahlen, die als Funktionswerte von $f$ auftreten. $\big]$

(2)

Für die erste Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gilt $f^{\prime}(x)=2 x \cdot f(x).$

Die Graphen von $f$ und $\(f$ schneiden sich in einem Punkt.

Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt.

(2 + 3 Punkte)

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $\(f$ und zweiter Ableitungsfunktion $\(f$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.
Es gilt $\(f$ und $\(f$
$\(f$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3.$

Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_1,x_2$ und $x_3.$

Abbildung 1

(1)

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist.

(2)

Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von $f.$

(2 + 3 Punkte)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2+2 a x$ mit $a \in \mathbb{R} , a\gt 1$ . Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a.$

Abbildung 2

(1)

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^3$ hat.

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 2).

Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimme den Wert von $a.$

(2 + 3 Punkte)

(1)

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p.$ Für den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ gilt: $\mu=60, \sigma=6.$

Berechne $p$ und $n.$

(2)

In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Aus der Urne wird mit Zurücklegen 150-mal eine Kugel gezogen.

(i)

Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau 60-mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

(ii)

Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von

$0,4^5\cdot \pmatrix{145\\55}\cdot 0,4^{55} \cdot 0,6^{90}.$

(3 + 2 Punkte)

(1)

Eine Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=10.$

Das unvollständige Histogramm der Verteilung ist in Abbildung 3 dargestellt.

Es gilt: $P(X \geq 4) \approx 0,35.$

Abbildung 3

(i)

Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2).$

(ii)

Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X=3).$

(2)

Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 4-1 bis 4-3 zeigen Ausschnitte aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A, B$ und $C$ .
Zu den Zufallsgrößen gehören die folgenden Werte für die Parameter $n$ und $p:$

$n=10$ und $p=0,2$

$n=10$ und $p=0,4$

$n=40$ und $p=0,1$

Abbildung 4-1

Abbildung 4-2

Abbildung 4-3

Ordne den Histogrammen I bis III die passenden Werte von $n$ und $p$ zu und begründe deine Zuordnung.

(2 + 3 Punkte)

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(1)

Gleichsetzen:

$f(x)=g(x)$

Rechenweg anzeigen

$x \cdot\left(x^2-6 \cdot x+9\right)=0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass $x=0$ oder $x^2-6 \cdot x+9=0$ sein muss. Es ist also $x_1=0$ und weiterhin folgt mit der $pq$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=&-\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-9} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{3^2-9} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

An den Stellen $x_1=0$ und $x_2=3$ besitzen der Graph von $f$ und der Graph von $g$ gemeinsame Punkte.

(2)

Die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=3$ lässt sich mit Hilfe der ersten Ableitungsfunktion von $f$ bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Dies entspricht der Steigung von $g.$ Es gilt also $\(f$

Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P.$

(1)

Die Wertemenge folgt mit: $y \in \mathbb{R},$ $y \geq 1$

(2)

1. Schritt: Schnittstelle bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f$

Für $f(x) \neq 0$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& x \\[5pt] x&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

2. Schritt: Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $\boldsymbol{x=\frac{1}{2}:}$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

(1)

$\(f$ besitzt ein Minimum an der Stelle $x_3$ und muss somit mindestens vom Grad $2$ sein. Dann ist $f$ mindestens vom Grad $3.$

(2)

(1)

$\begin{array}[t]{rll} &&\displaystyle\int_{0}^{2a}f(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2a}(-x^2+2ax)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \left[- \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{2a}{2}x^2\right]_0^{2a} \\[5pt] &=& \left[- \dfrac{1}{3}x^3 + ax^2\right]_0^{2a} \\[5pt] &=& \left(- \dfrac{1}{3} \cdot (2a)^3 + a \cdot (2a) ^2\right) - 0 \\[5pt] &=& - \dfrac{1}{3} \cdot 8a^3 + 4 a^3 \\[5pt] &=& - \dfrac{8}{3} \cdot a^3 + \dfrac{12}{3} \cdot a^3 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}a^3 \; [\text{FE}] \end{array}$

(2)

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts bestimmen

$f$ ableiten:

$\(f$

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da der Aufgabenstellung entnommen werden kann, dass es sich bei dem Extremum um einen Hochpunkt handelt.

$x = a$ in $f(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=&-a^2 + 2a \cdot a \\[5pt] &=& -a^2 + 2 a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ hat also die Koordinaten $(a \mid a^2).$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Da der Hochpunkt des Graphen von $f$ auf der oberen Seite des Quadrats liegt, muss die Seitenlänge des Quadrats $a^2$ betragen. Der Flächeninhalt des Quadrats ist somit $a^2 \cdot a^2 = a^4 \; [\text{FE}].$

3. Schritt: $a$ bestimmen

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{4}{3}a^3 \\[5pt] a^4 -\dfrac{4}{3}a^3 &=& 0 \\[5pt] a^3\left(a- \dfrac{4}{3}\right) &=& 0 \\[5pt] a_1 &=& 0 \\[5pt] a_2 &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Wegen $a\gt 1$ folgt $a = \dfrac{4}{3}.$

(1)

Für den Erwartungswert $\mu$ gilt: $\mu= n\cdot p= 60$

Die Standardabweichung $\sigma$ folgt aus $\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$

Einsetzen und umstellen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 6&=&\sqrt{60\cdot (1-p)} &\quad \scriptsize \mid\;(\;)^2 \\[5pt] 36&=& 60\cdot (1-p)&\quad \scriptsize \mid\;:60 \\[5pt] 0,6&=& 1-p&\quad \scriptsize \mid\;-1\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] 0,4&=& p \\[5pt] p&=& 0,4 \end{array}$

Aus $\mu= n\cdot p$ folgt:

$n= \dfrac{\mu}{p}=\dfrac{60}{0,4}=150$

(2)

(i)

Term angeben:

$P_{150 ; 0,4}(X=60)$ $=\pmatrix{150\\60} \cdot 0,4^{60} \cdot 0,6^{90}$

(ii)

Mögliches Ereignis:

Von den 150 gezogenen Kugeln sind die ersten fünf schwarz. Von den weiteren 145 gezogenen Kugeln sind genau 55 schwarz.

(1)

(i)

Es gilt:

$P(X \leq 2)$ $=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Ungefähres Ablesen aus dem Histogramm ergibt:

$P(X \leq 2) \approx 0,03 +0,12+0,23 = 0,38$

(ii)

Es gilt:

$P(X =3)= 1 - P(X\leq 2)-P(X\geq 4)$

Ungefähres Ablesen aus dem Histogramm ergibt:

$P(X =3) \approx 1 -0,38 -0,35 = 0,27$

(2)

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=10$ und $p=0,2$ beträgt $\mu=2$ , das passt nur zu Histogramm II.

Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=10$ und $p=0,4$ ist kleiner als die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=40$ und $p=0,1.$

Da bei Histogramm III eine kleinere Streuung vorliegt als bei Histogramm I, gehört Histogramm III zu $n=10$ und $p=0,4$ und Histogramm I zu $n=40$ und $p=0,1.$

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