Aufgabe 2

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit
$f_a(x)=-\dfrac{a}{250} x^4+ \dfrac{1}{25}x^3,$ $a \in \mathbb{R},$ $a>0$ sowie
$g_a(x)=f_a(x)-\dfrac{3}{5}x$ $=-\dfrac{a}{250} x^4+ \dfrac{1}{25}x^3-\dfrac{3}{5}x.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_1.$

Abbildung 1

(1)

Berechne für den Graphen von $f_1$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten des Extrempunktes.
Zeichne den Graphen von $f_1$ in die Abbildung 1 ein.

(2)

Gib an, für welchen Wert von $x$ der Graph von $f_1$ oberhalb des Graphen von $g_1$ verläuft und für welche unterhalb. Beründe deine Angabe.

(3)

Für jeden Wert von $a$ gilt:

$\text{I}$ Die Funktionsterme von $f_a$ und $g_a$ unterscheiden sich nur um den Summanden $-\dfrac{3}{5}x.$

$\text{II}$ Der Graph von $f_a$ hat genau zwei Wendepunkte, deren $x$ -Koordinaten 0 und $\dfrac{5}{a}$ sind.

Gib an, was sich aus I und II hinsichtlich der Anzahl und der Lage der Wendepunkte des Graphen von $g_a$ im Vergleich zu den Wendepunkten des Graphen von $f_a$ folgern lässt. Begründe deine Angabe ausgehend von I und II.

(7 + 3 + 5 Punkte)

Die Tangente $t_{f_a}$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $\bigg( \dfrac{5}{a} \,\bigg \vert \, \dfrac{5}{2a^3} \bigg)$ hat die Steigung $\dfrac{1}{a^2},$ die Tangente $t_{g_a}$ an den Graphen von $g_a$ im Punkt $\bigg( \dfrac{5}{a} \,\bigg \vert \, g_a \bigg( \dfrac{5}{a}\bigg) \bigg)$ hat die Steigung $\dfrac{5-3a^2}{5a^2},$ sie wird durch die Gleichung $t_{g_a}:y= \dfrac{5-3a^2}{5a^2}x- \dfrac{5}{2a^3}$ beschrieben.
Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wird mit $S_a$ bezeichnet.

(1)

Weise nach, dass $S_a$ für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse liegt.

(2)

Die Gerade mit der Gleichung $x= \dfrac{5}{a}$ schneidet die Tangente $t_{g_a}.$
Untersuche, für welchen Wert von $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ senkrecht zueinander verlaufen.

(3 + 3 Punkte)

Abbildung 2 zeigt schematisch die Profillinie des Längsschnittes einer Skipiste in einer Skihalle. Die Piste ist in Querrichtung nicht geneigt und durchgehend $30 \;\text{m}$ breit.

Grafik eines aufsteigenden Funktionsverlaufs in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Abbildung 2

Die Profilinie wird für $0\leq x \leq 41,5$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x)=-0,000 \,004x^4$ $+ 0,015x^2 -0,1x +0,1875$ dargestellt.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10\; \text{m}$ in der Realität.

(1)

Bestimme die größte Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen in Prozent.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2,31)$ und $B(37 \mid 10,68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=b \cdot c^x,$ $b>0,$ $c>0$ beschrieben werden.

(2)

Bestimme die Werte von $b$ und $c.$

[Zur Kontrolle: $b\approx 1,818,$ $c \approx 1,049$ ]

(3)

Untersuche, in welchen Bereichen der vertikale Abstand des Seils zur Piste mindestens $3 \,\text m$ beträgt.

Ermittle die Höhendifferenz, um die die beiden Enden des Seils gemeinsam mindestens angehoben werden müssten, damit das Seil an jeder Stelle von der Piste einen vertikalen Abstand von mindestens $3 \;\text{m}$ hat.

Abbildung 3 zeigt grau markiert die Schneeauflage im unteren Bereich der Piste; dazu wurde Abbildung 2 in Richtung der $y$ -Achse stärker vergrößert als in Richtung der $x$ -Achse. Der Untergrund, auf dem der Schnee aufgebracht ist, wird für $0\leq x \leq 5$ durch die $x$ -Achse dargestellt. Für den übrigen Teil der Piste soll davon ausgegangen werden, dass die in vertikaler Richtung gemessene Schneehöhe $60\; \text{cm}$ beträgt.

Diagramm zur Profilinie einer Piste mit Beschriftungen für Schneeauflage und Untergrund.

Abbildung 3

(4)

Bestimme das Volumen der Schneeauflage der gesamten Piste.

(3 + 4 + 7 + 5 Punkte)

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(1)

$f_1(x)= -\dfrac{1}{250} x^4 +\dfrac{1}{25}x^3$

Koordinaten der Schnittpunkte von $f_1$ mit den Koordinatenachsen bestimmen

$\begin{array}[t]{rlll} f_1(x) &=& 0 \\[5pt] -\dfrac{1}{250} x^4 +\dfrac{1}{25}x^3 &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{25}\cdot x^3 \cdot \left( -\dfrac{1}{10} x +1 \right) &=& 0\\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt muss $\dfrac{1}{25}\cdot x^3=0$ oder $-\dfrac{1}{10} x+1=0$ gelten. Daraus folgt $x=0$ oder $x=10.$

Somit sind die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$ -Achse $\left(0\mid 0 \right)$ und $\left(10\mid 0\right).$ Da $f_1(0)=0$ gilt, befindet sich die Schnittstelle mit der $y$ -Achse ebenfalls im Ursprung.

Koordinaten des Extrempunktes

1. Schritt: Ableitungen von $f_1(x)$ bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

$\( f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x^2=0$ ist oder $-\dfrac{2}{125} x+\dfrac{3}{25}=0.$ Daraus folgt $x_1= 0$ und $x_2= \dfrac{15}{2}.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen anwenden

Wegen $\(f$ ist $x_1=0$ keine Extremstelle.

$\( f$ $= -\dfrac{6}{125}\cdot \left(\dfrac{15}{2}\right)^2+\dfrac{6}{25}\cdot \dfrac{15}{2}$ $= 0,9 \lt 0$

$f_1\left(\dfrac{15}{2}\right)= -\dfrac{1}{250} \left(\dfrac{15}{2}\right)^4 +\dfrac{1}{25} \left(\dfrac{15}{2}\right)^3$ $=\dfrac{135}{32}$

Die Koordinaten des Hochpunktes ergeben sich mit $H \left(\frac{15}{2} \mid \frac{135}{32}\right).$

3. Graphen von $f_1$ einzeichnen

Grafik mit zwei Funktionen, dargestellt in einem Koordinatensystem. Eine Kurve ist grün, die andere grau.

(2)

Es gilt $g_1 (x)= f_1(x)-\dfrac{3}{5}x.$
Die Funktionsterme von $g_1$ und $f_1$ unterscheiden sich folglich nur im Summanden $-\dfrac{3}{5}x.$

Für $x \lt 0$ ist $-\dfrac{3}{5}x \gt 0$ und deshalb verläuft der Graph von $f_1$ unterhalb des Graphen von $g_1.$ Für $x \gt 0$ ist $-\dfrac{3}{5}x \lt0$ und deshalb verläuft der Graph von $f_1$ für $x \gt 0$ oberhalb des Graphen von $g_1.$

(3)

Der Term $-\dfrac{3}{5}x$ hängt linear von $x$ ab, deshalb gilt $\(f_a$ und somit haben die Graphen von $f_a$ und $g_a$ die gleiche Anzahl an Wendepunkten mit denselben Wendestellen.

Die $y$ -Koordinate an $x=0$ ist mit $-\dfrac{3}{5} \cdot 0 = 0$ bei den beiden Graphen gleich. Die $y$ -Koordinate an der Stelle $\dfrac{5}{a}$ ist beim Graphen von $g_a$ kleiner als beim Graphen von $f_a.$

(1)

1. Schritt: Tangentengleichungen aufstellen

Die allgemeine Tangentengleichung ist $t=m\cdot x +b.$

Es gilt $f_a\left(\dfrac{5}{a} \right) = \dfrac{5}{2a^3}.$ Mit der Steigung $\dfrac{1}{a^2}$ und den Koordinaten des Punktes wird der $y$ -Achsenabschnitt bestimmt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{2a^3}&=& \dfrac{1}{a^2} \cdot \dfrac{5}{a} +b \\[5pt] \dfrac{5}{2a^3}&=& \dfrac{5}{a^3} +b &\quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{5}{a^3} \\[5pt] -\dfrac{5}{2a^3}&=&b \end{array}$

Die Tangentengleichung $t_{f_a}$ wird durch $y=\dfrac{1}{a^2}\cdot x -\dfrac{5}{2a^3}$ beschrieben.

Es gilt $g_a\left(\dfrac{5}{a} \right) = \dfrac{5-6a^2}{2a^3}.$ Mit der Steigung $\dfrac{5-3a^2}{5a^2}$ und den Koordinaten des Punktes wird der $y$ -Achsenabschnitt bestimmt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5-6a^2}{2a^3}&=& \dfrac{5-3a^2}{5a^2} \cdot \dfrac{5}{a} +b \\[5pt] \dfrac{5-6a^2}{2a^3}&=& \dfrac{25-15a^2}{5a^3} +b & \quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{25-15a^2}{5a^3}\\[5pt] -\dfrac{5}{2a^3}&=&b \end{array}$

Die Tangentengleichung $t_{g_a}$ wird durch $y= \dfrac{5-3a^2}{5a^2}\cdot x -\dfrac{5}{2a^3}$ beschrieben.

2. Schritt: $S_a$ bestimmen

Bei den beiden Gleichungen fällt auf, dass der $y$ -Achsenabschnitt $-\dfrac{5}{2a^3}$ ist. Somit folgen die Koordinaten des Schnittpunktes mit $S_a \left(0 \mid -\frac{5}{2a^3}\right)$ und $S_a$ liegt für jeden Wert von $a$ auf der $y$ -Achse.

(2)

Die Gerade und die Tangente $t_{g_a}$ sind senkrecht wenn die Tangente keine Steigung hat, also $\dfrac{3a^2-5}{5a^2} =0$ gilt.

Dies kann mit dem solve-Befehl des TRs gelöst werden und ergibt $a= \dfrac{1}{3} \sqrt{15}.$

(1)

Zu berechnen ist die maximale Steigung der Profillinie der Skipiste, also das Maximum von $\(p$

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\(p$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} p$

Mit dem solve-Befehl des GTRs ergibt sich $x=25.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(p$

Das Maximum von $\(p$ ist bei $x=25.$

Die maximale Neigung ergibt sich mit $\(p$ und somit entspricht die Neigung der Piste gegenüber der Horizontalen $40 \,\%.$

(2)

Koordinaten von $A$ in $h(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} h(5) &=& 2,31 & \quad \scriptsize \\[5pt] 2,31 &=& b\cdot c^{ 5} & \quad \scriptsize \mid :c^{ 5}\\[5pt] \frac{2,31}{ c^{ 5}}&=& b \\[5pt] b&=& \frac{2,31}{ c^{ 5}} \\[5pt] \end{array}$

Koordinaten von $B$ in $h(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rlll} h(37) &=& 10,68 & \quad \scriptsize \\[5pt] 10,68 &=& b\cdot c^{ 37} & \quad \scriptsize \mid :c^{ 37} \\[5pt] \frac{10,68}{c^{37}} &=&b \\[5pt] b &=& \frac{10,68}{c^{37}} \\[5pt] \end{array}$

Gleichsetzen mit dem solve-Befehl des GTRs liefert $c\approx 1,049.$ Einsetzen in einer der beiden Gleichungen ergibt $b \approx 1,818.$

(3)

Der vertikale Abstand des Seils zur Piste kann für jeden Punkt der Profillinie mithilfe der folgenden Funktionsgleichung angegeben werden:

Vollständige Funktionsgleichung anzeigen

Um den Bereich zu finden, in dem das Seil $3\;\text{m}$ über der Piste hängt, wird $d(x)=0,3$ mit dem solve-Befehl des GTRs gelöst.

Für $5 \lt x\lt 37$ ergeben sich die Stellen $x_1\approx 27,3$ und $x_2 \approx 32,6.$

Tiefste Stelle ermitteln

Mit der graphischen Analyse des Taschenrechners ergibt sich das absolute Minimum der Funktion $d$ im Bereich $x_1 \lt x \lt x_2.$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

Die Koordinaten des Minimums folgen mit $T(30,09 \mid 0,19).$

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die tiefste Stelle des Seils einen minimalen vertikalen Abstand von $1,9 \;\text{m}$ zur Piste hat. Folglich müssen die Enden des Seils um $3 \;\text{m}-1,9 \;\text{m}= 1,1 \;\text{m}$ angehoben werden.

(4)

Das Volumen der Schneeauflage berechnet sich aus dem Flächeninhalt der Fläche, die von der Profillinie mit der $x$ -Achse und mit dem Untergrund eingeschlossen wird (grau markierte Fläche in der Aufgabenstellung in Abbildung 3), und der Breite der Piste von $30 \; \text{m}.$

Integral anzeigen

Das Integral kann mit dem TR gelöst werden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Die Schneeauflage hat somit ein Volumen von $7500 \;\text{m}^3$ .

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