Aufgabe 6

Aufgabenstellung

Eine Firma stellt mit zwei verschiedenen Maschinen $A$ und $B$ Bodenfliesen aus Keramik her. Damit eine Fliese als „1. Wahl“ gilt, muss sie strenge Qualitätsnormen erfüllen. Alle anderen Fliesen werden als „2. Wahl“ bezeichnet. Eine Fliese, die mit Maschine $A$ produziert wurde, ist erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 „1. Wahl“ (d. h. mit der Wahrscheinlichkeit von 0,1 „2. Wahl“). Maschine $B$ produziert lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 „1. Wahl“-Fliesen. Dabei kann für beide Maschinen davon ausgegangen werden, dass die Produktion von Fliesen 1. und 2. Wahl jeweils stochastisch unabhängig erfolgt. Fliesen, die von Maschine $A$ produziert wurden, werden im Folgenden als $A$ -Fliesen bezeichnet, Fliesen von Maschine $B$ als $B$ -Fliesen. Jede Packung enthält 20 Fliesen, die von derselben Maschine stammen.

a) (1) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung $A$ -Fliesen genau zwei „2. Wahl“-Fliesen enthalten sind.

(2P)

(2) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung $A$ -Fliesen maximal $80\,$ % der Fliesen die Qualität „1. Wahl“ haben.

(3P)

$\;\;$ Die 20 Fliesen einer Packung $B$ -Fliesen wurden in 4 Reihen mit jeweils 5 Fliesen verlegt.

(3) Bestimme die Wahrscheinlichkeit $\tilde{p}$ dafür, dass eine zufällig ausgewählte Reihe nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. [Kontrollergebnis $\tilde{p}=0,32768$ ]

(2P)

(4) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es mindestens eine Reihe gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält.

(4P)

b) An Großabnehmer verkauft die Firma auch Paletten, die jeweils 500 Packungen Fliesen von derselben Maschine enthalten. Ein Bauunternehmer bestellt eine Palette mit $A$ -Fliesen. Da die Packungen bei der Lieferung nicht gekennzeichnet sind, befürchtet er, versehentlich eine Palette mit $B$ -Fliesen erhalten zu haben.

Er beschließt, für einen Test der Lieferung zufällig 100 Fliesen zu entnehmen und die Anzahl $X$ der „2. Wahl“-Fliesen in dieser Stichprobe zu bestimmen.

(1) Begründe, dass $X$ als binomialverteilte Zufallsgröße aufgefasst werden kann, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit bei $A$ -Fliesen $p = 0,1$ und bei $B$ -Fliesen $p = 0,2$ beträgt.

(3P)

(2) Es wird ein Hypothesentest mit der Nullhypothese $H_0:p\geq 0,2$ durchgeführt.
Wird $H_0$ verworfen, wird die Palette angenommen, sonst wird sie zurückgeschickt.

Erkläre die Wahl der Nullhypothese.

(4P)

(3) Ermittle eine Entscheidungsregel (auf Basis der genannten Nullhypothese) für die oben genannte Stichprobe von 100 Fliesen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (d. h. Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art) von höchstens $5\,$ %.

[Zur Kontrolle: $H_0$ wird für $X\leq 13$ angelehnt.]

(5P)

(4) Berechne die Wahrscheinlichkeit $p_A$ , dass die Hypothese $H_0$ aufgrund der Entscheidungsregel aus (3) irrtümlich nicht abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich $A$ -Fliesen enthält, also $p = 0,1$ gilt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit $p_B$ , dass die Hypothese $H_0$ irrtümlich abgelehnt wird, obwohl die Palette tatsächlich $B$ -Fliesen enthält, also $p = 0,2$ gilt.

[Zur Kontrolle: $p_A\approx 0,1239$ , $p_B\approx 0,0469$ ]

(6P)

(5) Im Lager des Herstellers befanden sich 7 Paletten mit $A$ -Fliesen und 3 Paletten mit $B$ -Fliesen, aus denen die angelieferte Palette zufällig ausgewählt wurde.

Bestimme mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten $p_A$ und $p_B$ die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit für den Test.

(4P)

c) Für besonders anspruchsvolle Kunden soll eine Sorte „Premium“ angeboten werden, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht. Dazu will die Firma die „2. Wahl“-Fliesen aus der Produktion der Maschine $A$ aussortieren. Für einen ersten Sortiervorgang wird ein Testgerät verwendet, das allerdings nicht immer optimal funktioniert:
Das Testgerät erkennt eine „2. Wahl“-Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von $w=0,8$ („Aussortierwahrscheinlichkeit“) und sortiert sie aus. Andererseits wird eine „1. Wahl“- Fliese mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,05$ zu Unrecht als „2. Wahl“ aussortiert.

(1) Stelle die Situation graphisch dar (mit einer Vierfeldertafel oder einem Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten).
Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Testgerät eine zufällig ausgewählte Fliese als „1. Wahl“ einstuft (also nicht aussortiert).

(7P)

(2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese, die bei der Prüfung nicht aussortiert wurde, in Wirklichkeit eine „2. Wahl“-Fliese ist.

(4P)

(3) Bestimme, wie groß die „Aussortierwahrscheinlichkeit“ $w$ des Testgeräts mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit aus (2) (und damit der erwartete Anteil der „2. Wahl“-Fliesen nach dem Aussortieren) durch die Prüfung auf unter $1\,$ % gesenkt wird.

(6P)

Tabelle 1: $\sigma$ - Regeln für Binomialverteilungen

Eine mit den Parametern $n$ und $p$ binomialverteilte Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ .
Wenn die LAPLACE-Bedingung $\sigma \gt 3$ erfüllt ist, gelten die $\sigma$ -Regeln:

Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf Normalverteilungen und Standardabweichungen.

Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n=10 und n=20

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit statistischen Werten und Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Parameter.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ , gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n=100

$F(n;p;k)=B(n;p;0)+...+B(n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Tabelle mit numerischen Werten und Berechnungen, möglicherweise aus einem statistischen oder mathematischen Kontext.

Bei grau unterlegtem Eingang, d.h. $p\geq0,5$ , gilt: $F(n;p;k)=1-$ abgelesener Wert

Tabelle 4: Normalverteilung

$\phi(z)=0,...$
$\phi(-z)=1-\phi(z)$

Tabelle mit Zahlenwerten in Zeilen und Spalten, die verschiedene Daten oder Messungen darstellen.

Beispiele für den Gebrauch:

$\phi(2,32)=0,9898$

$\phi(z)=0,994\Rightarrow z=2,51$

$\phi(-0,9)=1-\phi(0,9)=0,1841$

a)(1)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung A-Fliesen, die aus 20 Fliesen von Maschine A besteht, genau zwei „2.Wahl“-Fliesen enthalten sind.

Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$ , die die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer zufällig ausgewählten Packung von A-Fliesen beschreibt. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit

$P(X =2)$

Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Produktion stochastisch unabhängig ist und man davon ausgehen kann, dass jede Fliese von Maschine A die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt „2. Wahl“ oder „1. Wahl“ zu sein, kannst du davon ausgehen, dass $X$ binomialverteilt ist. Die Parameter lauten hier $n =20$ und $p = 0,1$ . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du dann entweder mit der Formel für die Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: GTR

Du kannst den binompdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du unter

6: Statistik 5: Verteilungen D: Binomial Pdf

Du musst dann die entsprechenden Parameter $n =20$ , $p =0,1$ und $k = 2$ eingeben. Du erhältst dann das Ergebnis $P(X =2) \approx 0,2852 = 28,52\,\%$ .

Bildschirmansicht einer Berechnung mit der Funktion binomPdf in einem mathematischen Programm.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $28,52\,\%$ sind in einer Packung A-Fliesen genau 2 „2. Wahl“-Fliesen enthalten.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Handschriftlich

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:

$P(X = k)= \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k}$

Setze dort nun die entsprechenden Werte ein und erhalte so folgendes:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=&\binom{20}{2}\cdot 0,1^2\cdot (1-0,1)^{20-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \binom{20}{2}\cdot 0,1^2\cdot 0,9^{18}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,2852 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&28,52\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $28,52\,\%$ sind in einer Packung A-Fliesen genau 2 „2. Wahl“-Fliesen enthalten.

a) (2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung A-Fliesen maximal $80\,\%$ der Fliesen „1.Wahl“-Fliesen sind. Berechne dazu zunächst wie viele Fliesen es demnach höchstens sein dürfen um die $80\,\%$ -Grenze nicht zu überschreiten und forme diese Aussage in eine Aussage über die „2. Wahl“-Fliesen um. Betrachtest du dann wieder die Zufallsvariable $X$ , so hat die gesuchte Wahrscheinlichkeit die Form $P(X\geq k)$ . Du kannst nun die kumulierte Binomialverteilung verwenden.

1. Schritt: Maximale Anzahl an „1. Wahl“-Fliesen berechnen

Maximal $80\,\%$ der Fliesen sollen „1. Wahl“-Fliesen sein:

$80\,\% \cdot 20 = 16$

Es sollen maximal $16$ Fliesen aus der Packung mit 20 Fliesen „1. Wahl“-Fliesen sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich mindestens $4$ „2. Wahl“-Fliesen in der Packung befinden. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 4)$ .

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Bringe die gesuchte Wahrscheinlichkeit zunächst mit Hilfe des Gegenereignisses in eine Form der Art $P(X\leq c)$ , damit du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder den binomcdf-Befehl deines GTR verwenden kannst:

$P(X \geq 4) = 1- P(X \leq 3)$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: GTR

Den binomcdf-Befehl deines GTR findest du unter

6: Statistik 5: Verteilungen E: Binomial Cdf

Dort musst du nun wie oben die entsprechenden Parameter eingeben und erhältst dann das folgende Ergebnis

$P(X \leq 3 )\approx 0,8670 \Rightarrow P(X\geq 4) \approx 0,1330 = 13,3\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $13,30\,\%$ befinden sich in einer Packung A-Fliesen höchstens $80\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Tabelle

Lies aus der Tabelle zur kummulierten Binomialverteilung für $n =20$ den Wert aus der Spalte für $p = 0,1$ und der Zeile für $k =3$ ab. So erhältst du folgendes Ergebnis:

$P(X \leq 3 )\approx 0,8670 \Rightarrow P(X\geq 4) \approx 0,1330 = 13,3\,\%$ .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $13,30\,\%$ befinden sich in einer Packung A-Fliesen höchstens $80\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

a) (3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass alle Fliesen in einer zufällig ausgewählten Reihe, die aus $5$ Fliesen besteht, „1. Wahl“-Fliesen sind. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Y$ , die die Anzahl der „1. Wahl“-Fliesen in einer Reihe beschreibt. Diese ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt, allerdings mit den Parametern $n = 5$ und $p = 0,8$ .
Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit $P(Y =5)$ . Diese lässt sich wieder mit der Formel für die Binomialverteilung oder dem Binompdf-Befehl deines GTR berechnen. In beiden Fällen erhältst du folgendes Ergebnis:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y=5)&=&\binom{5}{5}\cdot 0,8^5\cdot 0,2^0 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,8 ^5 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 0,32768 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 32,768\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $\widetilde{p} = 0,32768 = 32,768\,\%$ besteht eine zufällig ausgewählte Reihe nur aus „1. Wahl“-Fliesen .

a) (4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass es unter den $4$ Reihen mindestens eine gibt, die nur „1. Wahl“-Fliesen enthält. Betrachte dazu die Zufallsvariable $R$ , die die zufällige Anzahl der Reihen beschreibt, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen bestehen. Dann ist $R$ binomialverteilt mit den Parametern $n =4$ und $p = \widetilde{p}= 0, 32768$ , da jede Reihe die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt nur aus „1. Wahl“-Fliesen zu bestehen und die Besetzung einer Reihe nicht von der Besetzung der übrigen Reihen abhängt.

Gesucht ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit $P(R \geq 1)$ , welche du wieder wie oben berechnen kannst:

$\begin{array}[t]{rll} P(R \geq 1)&=&1- P(R \leq 0) &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& 1-P(R =0)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1- \binom{4}{0}\cdot 0, 32768^0\cdot (1-0, 32768)^4 &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,7957 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&79,57\,\% &\quad \scriptsize \\ \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,57\,\%$ gibt es unter den $4$ Reihen mindestens eine Reihe, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.

b) (1)

$\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen

In diesem Aufgabenteil wird die Zufallsvariable $X$ betrachtet, die die zufällige Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer Stichprobe mit $100$ Fliesen aus einer Palette beschreibt. Du sollst nun begründen, warum $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann und erklären, dass dann entweder $p =0,1$ oder $p=0,2$ gilt.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

Die $n$ einzelnen Zufallsexperimente sind unabhängig voneinander
Die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen Erfolg ist in jedem einzelnen Zufallsexperiment gleich
In den einzelnen Zufallsexperimenten gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse

Überlege dir nun warum diese Eigenschaften für $X$ erfüllt sind und betrachte anschließend den Parameter $p$ .

Im vorliegenden Fall, besteht ein einzelnes Zufallsexperiment darin eine zufällig ausgewählte Fliese zu betrachten und den „1. Wahl“-Fliesen oder den „2. Wahl“-Fliesen zuzuordnen. Es gibt also auch nur diese beiden Möglichkeiten, eine Fliese muss entweder „1. Wahl“ oder „2. Wahl“ sein und kann nicht nichts von beidem oder beides sein. Man kann dabei „1. Wahl“-Fliesen als „Misserfolg“ und „2. Wahl“-Fliesen als „Erfolg“ bezeichnen. Damit ist die dritte Eigenschaft erfüllt.

Die erste Eigenschaft ist auch erfüllt, dies kannst du dem Einleitungstext der Aufgabe entnehmen. Danach ist die Produktion einer Fliese stochastisch unabhängig von der Produktion der anderen Fliesen.

Eine Palette enthält immer entweder nur A-Fliesen oder nur B-Fliesen, da eine Palette immer aus Fliesen von derselben Maschine besteht. Demnach hat auch jede Fliese aus einer Palette die gleiche Wahrscheinlichkeit eine „1. Wahl“-Fliese oder eine „2. Wahl“-Fliese zu sein. In dem Fall, dass die Fliesen der Palette aus Maschine A stammen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fliese „2. Wahl“ ist, $p = 0,1$ und bei Fliesen aus Maschine B beträgt diese Wahrscheinlichkeit $p = 0,2$ . Somit hast du sowohl die zweite Eigenschaft begründet, als auch die Trefferwahrscheinlichkeit erklärt.

b) (2)

$\blacktriangleright$ Wahl der Nullhypothese erklären

In dem Hypothesentest wird die Nullhypothese wie folgt gewählt:

$H_0: p \geq 0,2$

Du sollst diese Wahl nun erklären. Überlege dir dazu zunächst für welche Werte diese Hypothese abgelehnt wird und welche Folgen die Bestätigung bzw. die Ablehnung der Nullhypothese für den Bauunternehmer hätte.

Die Nullhypothese wird nur für signifikant zu kleine Werte abgelehnt, also dann wenn in der Stichprobe signifikant wenige „2. Wahl“-Fliesen gefunden werden. In einem solchen Fall kann der Bauunternehmer davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Fliese 2. Wahl kleiner als $0,2$ ist und es sich nicht um eine Palette aus der Herstellung von Maschine B handelt. Dann nimmt der Bauunternehmer die Palette an.
Der Bauunternehmer möchte also sicher gehen und nur solche Paletten annehmen, bei denen der Anteil der „2. Wahl“-Fliesen signifikant kleiner als $20\,\%$ ist. In jedem anderen Fall schickt er die Palette zurück. Damit soll möglichst ausgeschlossen werden, dass fälschlicherweise eine Palette mit B-Fliesen angenommen wird.

b) (3)

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren

In dieser Aufgabe sollst du nun eine Entscheidungsregel für den beschriebenen Hypothesentest auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $\alpha = 5\,\%$ formulieren. Gesucht ist also die größte Anzahl $k$ von Fliesen zweiter Wahl, für die die Nullhypothese gerade noch verworfen wird.

Betrachte hier die in der Aufgabenstellung eingeführte Zufallsvariable $X$ , die nach b) (1) binomialverteilt ist mit den Parametern $n =100$ und $p\in\{0,1; 0,2\}$ .
Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen höchstens $5\,\%$ betragen soll. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung, aus der du den Wert $k$ berechnen kannst, für den die Nullhypothese gerade noch verworfen werden soll:

$P(X \leq k ) \leq 0,05$ für alle $p\geq 0,2$

Da im vorliegenden Fall nur $p = 0,2$ oder $p =0,1$ gelten kann, kannst du die Ungleichung unter der Annahme betrachten, dass laut Nullhypothese $p = 0,2$ gilt. Du erhältst dann einen Wert für $k$ , indem du die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung „rückwärts“ anwendest. Suche in der Tabelle zu $n =100$ in der Spalte zu $p = 0,2$ nach dem größten $k$ , bei dem der Tabelleneintrag gerade noch $\leq$ 0,05 ist. Dann findest du folgendes:

$P(X\leq 12) \approx 0,0253$

$P(X\leq 13) \approx 0,0469$

$P(X\leq 14) \approx 0,0804$

Damit ist das gesuchte $k =13$ .

Die Entscheidungsregel lautet demach wie folgt:

Werden in der Stichprobe von $100$ Fliesen höchstens $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden , wird die Nullhypothese auf Grundlage der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ verworfen und der Bauunternehmer schickt die Palette nicht zurück. Werden mehr als $13$ Fliesen 2. Wahl gefunden, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden und der Bauunternehmer schickt die Palette zurück.

b) (4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Nichtablehnen berechnen

Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl eigentlich die Wahrscheinlichkeit $p =0,1$ gilt, es sich also tatsächlich um A-Fliesen handelt. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Betrachte hier also die Zufallsvariable $X$ von eben, allerdings unter der Voraussetzung, dass tatsächlich $p= 0,1$ gilt. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p_A= P_{p=0,1}(X \geq 14)$ , die du wieder wie zuvor mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder deinem GTR berechnen kannst, nachdem du den Term mit Hilfe des Gegenereignisses umgeformt hast:

$\begin{array}[t]{rll} P_{p=0,1}(X \geq 14)&=& 1- P_{p=0,1}(X\leq 13) &\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&1- 0,8761&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,1239&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&12,39\,\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese irrtümlich beizubehalten, obwohl eigentlich die alternative Wahrscheinlichkeit $p=0,1$ gilt, also eine Palette mit A-Fliesen versehentlich zurückzuschicken, beträgt ca. $p_A \approx 12,39\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese berechnen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen ist genau die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art und ergibt sich somit als $p_B = P_{p=0,2}(X\leq 13)$ .
In der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung findest du den Wert $P_{p=0,2}(X \leq 13) \approx 0,0469 = 4,69\,\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen, beträgt ca. $p_B \approx 4,69\,\%$ .

b) (5)

$\blacktriangleright$ Ermitteln der gesamten Irrtumswahrscheinlichkeit

Die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus den beiden Wahrscheinlichkeiten aus dem vorherigen Aufgabenteil, $p_A$ und $p_B$ , die den Wahrscheinlichkeiten für den Fehler 1. Art und für den Fehler 2. Art entsprechen. Allerdings muss dabei berücksichtigt werden, dass die Palette zufällig aus den 10 vorhandenen Paletten ausgewählt wurde. Der Fehler 1. Art kann nur begangen werden, wenn eine Palette mit B-Fliesen ausgewählt wurde und der Fehler 2. Art kann nur begangen werden, wenn eine Palette mit A-Fliesen ausgewählt wurde. Es handelt sich hier also um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Du musst also die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für eine Palette mit A-Fliesen und für eine Palette mit B-Fliesen berücksichtigen, insgesamt ergibt sich dann mit den beiden Pfadregeln die folgende Wahrscheinlichkeit:

$0,7\cdot p_A +0,3\cdot p_B = 0,1008 = 10,08\,\%$

Die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt $10,08\,\%$ .

c) (1)

$\blacktriangleright$ Graphische Darstellung

Du sollst hier die neue Situation, die sich durch die Einführung der Testmaschine ergeben hat, graphisch darstellen. Für eine übersichtlichere Darstellung kannst du zunächst folgende oder ähnliche Bezeichnungen einführen:

$W_1$ : Die vorliegende Fliese ist 1. Wahl

$W_2$ : Die vorliegende Fliese ist 2. Wahl

$T_1$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 1. Wahl bezeichnet

$T_2$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 2. Wahl bezeichnet

Die Sortierung der Testmaschine hängt davon ab, ob eine Fliese 1. Wahl oder 2. Wahl ist. Aus diesem Grund handelt es sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Der Aufgabenstellung kannst du bereits folgende Wahrscheinlichkeiten entnehmen:

$P(W_1) = 0,9$

$P(W_2) = 0,1$

$P(T_2\mid W_2 ) = w = 0,8$

$P(T_2\mid W_1) = 0,05$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Um die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms darzustellen, überlege dir zunächst, wie viele Stufen hier vorliegen und gehe dann in jeder Stufe jede Möglichkeit durch.

Die erste Stufe ist die Produktion der Fliesen von Maschine A. Hier wird jede Fliese zur „1. Wahl“-Fliese oder „2. Wahl“-Fliese. Die Wahrscheinlichkeiten sind dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Maschine A eine „1. Wahl“- bzw. „2. Wahl“-Fliese produziert.

Die nächste Stufe ist dann die Sortierung der Testmaschine. Diese hängt von der ersten Stufe ab. Die Wahrscheinlichkeiten in dieser Stufe kannst du der Aufgabenstellung entnehmen bzw. mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen. Insgesamt besteht das Zufallsexperiment hier also aus 2 Stufen und das Baumdiagramm ergibt sich nun wie folgt:

Diagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Gewichtungen in einer verzweigten Struktur.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

Beginne bei der Vierfeldertafel damit die Wahrscheinlichkeiten einzutragen, die du direkt der Aufgabenstellung entnehmen kannst. Fülle anschließend die Vierfeldertafel auf, indem du aus den bekannten Wahrscheinlichkeiten die übrigen Wahrscheinlichkeiten bestimmst. Beachte dabei, dass sich der Eintrag einer Vierfeldertafel in der Spalte zu Ereignis $B$ und in der Zeile zu Ereignis $A$ aus $P(A\cap B)$ ergibt. Es gilt

$P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$

Es geht hier also um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Daraus kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen:

$P(T_1\mid W_2) = 1-w = 0,2\quad$ und $\quad P(T_1\mid W_1) = 1- P(T_2\mid W_1) = 0,95$

Damit ergibt sich nun folgendes:

	$T_1$	$T_2$	Summe
$W_1$	$\scriptsize P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,95\cdot 0,9 = \boldsymbol{0,855}$	$\scriptsize P(T_2\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,05\cdot 0,9= \boldsymbol{0,045}$	$\boldsymbol{0,9}$
$W_2$	$\scriptsize P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,2\cdot 0,1 = \boldsymbol{0,02}$	$\scriptsize P(T_2\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,8\cdot0,1=\boldsymbol{0,08}$	$\boldsymbol{0,1}$
Summe	$\scriptsize P(T_1) = 0,855 +0,02 = \boldsymbol{0,875}$	$\scriptsize P(T_2)= 0,045+0,08 =\boldsymbol{ 0,125}$	$1$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Fliese als 1. Wahl eingestuft wird. Gesucht ist also $P(T_1)$ . Je nachdem welchen Lösungsweg du im letzten Aufgabenteil gewählt hast, unterscheidet sich auch hier der Lösungsweg.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich hier mit den Pfadregeln:

$\begin{array}[t]{rll} P(T_1)&=&P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) + P(T_1\mid W_2)\cdot W_2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,9\cdot 0,95+ 0,1\cdot 0,2 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,875 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,875 = 87,5\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese aus Maschine A von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

Mit Hilfe der Vierfeldertafel, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen:

$P(T_1) = 0,875 = 87,5\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,875 = 87,5\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese aus Maschine A von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

c) (2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass eine Fliese eine „2. Wahl“-Fliese ist unter der Bedingung, dass sie von der Maschine nicht aussortiert wurde, also als 1. Wahl eingestuft wurde. Gesucht ist also $P(W_2\mid T_1)$ . Du kannst hier den Satz von Bayes verwenden:

$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Damit ergibt sich dann:

$\begin{array}[t]{rll} P(W_2 \mid T_1) &=& \dfrac{P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)}{P(T_1)} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0,1\cdot 0,2}{0,875}\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,0229 \quad \scriptsize \\[5pt] &=&2,29\,\% \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,29\,\%$ ist eine nicht aussortierte Fliese eine „2. Wahl“-Fliese.

c) (3)

$\blacktriangleright$ Aussortierwahrscheinlichkeit berechnen

Gesucht ist hier $w$ , sodass die Wahrscheinlichkeit $P(W_2\mid T_1)$ kleiner als $0,01$ ist. Mit der Gleichung aus der letzten Aufgabe ergibt sich folgendes:

$\begin{array}[t]{rll} P(W_2\mid T_1)& \lt &0,01 \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)}{P(T_1)} & \lt &0,01 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Bestimme nun die einzelnen Bestandteile dieser Ungleichung für allgemeines $w$ , um anschließend einsetzen und nach $w$ lösen zu können.

Es gilt $P(T_2\mid W_2) = w$ und damit $P(T_1\mid W_2) = 1-w$ . Wegen $P(T_1) = P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1)+ P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)$ gilt nun:

$P(T_1) = 0,9\cdot 0,95+ (1-w)\cdot 0,1 = 0,855 + (1-w)\cdot 0,1$

Einsetzen ergibt nun:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)}{P(T_1)} &\lt & 0,01\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{(1-w)\cdot 0,1}{ 0,855 + (1-w)\cdot 0,1}&\lt &0,01 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (0,855 + (1-w)\cdot 0,1) \\[5pt] (1-w)\cdot 0,1&\lt & 0,00855 + (1-w)\cdot 0,001 &\quad \scriptsize \mid\; - 0,001(1-w) \\[5pt] 0,099(1-w) &\lt & 0,00855 &\quad \scriptsize \mid\; : 0,099\\[5pt] 1-w&\lt & \frac{19}{220}&\quad \scriptsize \mid\; +w \\[5pt] 1 &\lt & \frac{19}{220} +w&\quad \scriptsize \mid\;- \frac{19}{220} \\[5pt] \frac{201}{220}&\lt &w &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Insgesamt muss also $w \gt \frac{201}{220}\approx 0,9136$ gelten, damit die Wahrscheinlichkeit für eine fälschlicherweise nicht aussortierte Fliese 2. Wahl unter $1\,\%$ sinkt.

a)(1)

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einer Packung A-Fliesen, die aus 20 Fliesen von Maschine A besteht, genau zwei „2.Wahl“-Fliesen enthalten sind.

Betrachte dazu die Zufallsvariable $X$ , die die Anzahl der „2. Wahl“-Fliesen in einer zufällig ausgewählten Packung von A-Fliesen beschreibt. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit

$P(X =2)$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: GTR

Du kannst den binompdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du im STAT-Menü unter

F5: DIST F5: BINM F1: pdf F2: Var

Du musst dann die entsprechenden Parameter $n =20$ , $p =0,1$ und $k = 2$ eingeben. Du erhältst dann das Ergebnis $P(X =2) \approx 0,2852 = 28,52\,\%$ .

Diagramm mit binomialer Wahrscheinlichkeitsverteilung und einem Wert von P = 0,2851798.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $28,52\,\%$ sind in einer Packung A-Fliesen genau 2 „2. Wahl“-Fliesen enthalten.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Handschriftlich

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:

$P(X = k)= \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k}$

Setze dort nun die entsprechenden Werte ein und erhalte so folgendes:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $28,52\,\%$ sind in einer Packung A-Fliesen genau 2 „2. Wahl“-Fliesen enthalten.

a) (2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

1. Schritt: Maximale Anzahl an „1. Wahl“-Fliesen berechnen

Maximal $80\,\%$ der Fliesen sollen „1. Wahl“-Fliesen sein:

$80\,\% \cdot 20 = 16$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(X \geq 4) = 1- P(X \leq 3)$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: GTR

Den binomcdf-Befehl deines GTR findest du unter

2ND VARS(DISTR) B: binomcdf

Dort musst du nun wie oben die entsprechenden Parameter eingeben und erhältst dann das folgende Ergebnis

$P(X \leq 3 )\approx 0,8670 \Rightarrow P(X\geq 4) \approx 0,1330 = 13,3\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $13,30\,\%$ befinden sich in einer Packung A-Fliesen höchstens $80\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Tabelle

Lies aus der Tabelle zur kummulierten Binomialverteilung für $n =20$ den Wert aus der Spalte für $p = 0,1$ und der Zeile für $k =3$ ab. So erhältst du folgendes Ergebnis:

$P(X \leq 3 )\approx 0,8670 \Rightarrow P(X\geq 4) \approx 0,1330 = 13,3\,\%$ .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $13,30\,\%$ befinden sich in einer Packung A-Fliesen höchstens $80\,\%$ „1. Wahl“-Fliesen.

a) (3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $\widetilde{p} = 0,32768 = 32,768\,\%$ besteht eine zufällig ausgewählte Reihe nur aus „1. Wahl“-Fliesen .

a) (4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Gesucht ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit $P(R \geq 1)$ , welche du wieder wie oben berechnen kannst:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $79,57\,\%$ gibt es unter den $4$ Reihen mindestens eine Reihe, die nur aus „1. Wahl“-Fliesen besteht.

b) (1)

$\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:

Die $n$ einzelnen Zufallsexperimente sind unabhängig voneinander
Die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen Erfolg ist in jedem einzelnen Zufallsexperiment gleich
In den einzelnen Zufallsexperimenten gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse

Überlege dir nun warum diese Eigenschaften für $X$ erfüllt sind und betrachte anschließend den Parameter $p$ .

b) (2)

$\blacktriangleright$ Wahl der Nullhypothese erklären

In dem Hypothesentest wird die Nullhypothese wie folgt gewählt:

$H_0: p \geq 0,2$

b) (3)

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren

$P(X \leq k ) \leq 0,05$ für alle $p\geq 0,2$

$P(X\leq 12) \approx 0,0253$

$P(X\leq 13) \approx 0,0469$

$P(X\leq 14) \approx 0,0804$

Damit ist das gesuchte $k =13$ .

Die Entscheidungsregel lautet demach wie folgt:

b) (4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Nichtablehnen berechnen

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese berechnen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen, beträgt ca. $p_B \approx 4,69\,\%$ .

b) (5)

$\blacktriangleright$ Ermitteln der gesamten Irrtumswahrscheinlichkeit

$0,7\cdot p_A +0,3\cdot p_B = 0,1008 = 10,08\,\%$

Die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt $10,08\,\%$ .

c) (1)

$\blacktriangleright$ Graphische Darstellung

$W_1$ : Die vorliegende Fliese ist 1. Wahl

$W_2$ : Die vorliegende Fliese ist 2. Wahl

$T_1$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 1. Wahl bezeichnet

$T_2$ : Die vorliegende Fliese wird von der Testmaschine als 2. Wahl bezeichnet

$P(W_1) = 0,9$

$P(W_2) = 0,1$

$P(T_2\mid W_2 ) = w = 0,8$

$P(T_2\mid W_1) = 0,05$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Um die Situation mit Hilfe eines Baumdiagramms darzustellen, überlege dir zunächst, wie viele Stufen hier vorliegen und gehe dann in jeder Stufe jede Möglichkeit durch.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

$P(A\cap B) = P(A\mid B)\cdot P(B) = P(B\mid A)\cdot P(A)$

Es geht hier also um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Daraus kannst du folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen:

$P(T_1\mid W_2) = 1-w = 0,2\quad$ und $\quad P(T_1\mid W_1) = 1- P(T_2\mid W_1) = 0,95$

Damit ergibt sich nun folgendes:

	$T_1$	$T_2$	Summe
$W_1$	$\scriptsize P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,95\cdot 0,9 = \boldsymbol{0,855}$	$\scriptsize P(T_2\mid W_1)\cdot P(W_1) = 0,05\cdot 0,9= \boldsymbol{0,045}$	$\boldsymbol{0,9}$
$W_2$	$\scriptsize P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,2\cdot 0,1 = \boldsymbol{0,02}$	$\scriptsize P(T_2\mid W_2)\cdot P(W_2) = 0,8\cdot0,1=\boldsymbol{0,08}$	$\boldsymbol{0,1}$
Summe	$\scriptsize P(T_1) = 0,855 +0,02 = \boldsymbol{0,875}$	$\scriptsize P(T_2)= 0,045+0,08 =\boldsymbol{ 0,125}$	$1$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Baumdiagramm

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich hier mit den Pfadregeln:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,875 = 87,5\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese aus Maschine A von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel

Mit Hilfe der Vierfeldertafel, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt ablesen:

$P(T_1) = 0,875 = 87,5\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,875 = 87,5\,\%$ wird eine zufällig ausgewählte Fliese aus Maschine A von der Testmaschine als 1. Wahl eingestuft und somit nicht aussortiert.

c) (2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Damit ergibt sich dann:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,29\,\%$ ist eine nicht aussortierte Fliese eine „2. Wahl“-Fliese.

c) (3)

$\blacktriangleright$ Aussortierwahrscheinlichkeit berechnen

Gesucht ist hier $w$ , sodass die Wahrscheinlichkeit $P(W_2\mid T_1)$ kleiner als $0,01$ ist. Mit der Gleichung aus der letzten Aufgabe ergibt sich folgendes:

$\begin{array}[t]{rll} P(W_2\mid T_1)& \lt &0,01 \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)}{P(T_1)} & \lt &0,01 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Bestimme nun die einzelnen Bestandteile dieser Ungleichung für allgemeines $w$ , um anschließend einsetzen und nach $w$ lösen zu können.

Es gilt $P(T_2\mid W_2) = w$ und damit $P(T_1\mid W_2) = 1-w$ . Wegen $P(T_1) = P(T_1\mid W_1)\cdot P(W_1)+ P(T_1\mid W_2)\cdot P(W_2)$ gilt nun:

$P(T_1) = 0,9\cdot 0,95+ (1-w)\cdot 0,1 = 0,855 + (1-w)\cdot 0,1$

Einsetzen ergibt nun:

Insgesamt muss also $w \gt \frac{201}{220}\approx 0,9136$ gelten, damit die Wahrscheinlichkeit für eine fälschlicherweise nicht aussortierte Fliese 2. Wahl unter $1\,\%$ sinkt.