Analysis 1

Aufgabe 1

Im Oktober des Jahres 2000 wurden auf einer Waldfläche Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\,\text{cm}$ .

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit.
Diese Wachstumsrate wird für $t\geq0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(t)=60\cdot \mathrm e ^{-\frac{1}{3000}\cdot(t-40)^2}$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w$ $(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}\right)$ .
Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $t \geq 0.$

Bestätige rechnerisch, dass die Wachstumsrate im Jahr 2040 am größten ist.
Bestimme rechnerisch den Zeitraum in Jahren, in dem die Fichten mehr als $50\,\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}$ wachsen.

(4 Punkte)

Begründe die folgende Aussage:
Innerhalb der ersten 80 Jahre nach der Pflanzung sind für zwei beliebige Zeitpunkte, die den gleichen zeitlichen Abstand vom Oktober des Jahres 2040 haben, die zugehörigen Wachstumsraten gleich groß.

(2 Punkte)

Zu einer bestimmten Wachstumsrate ist der Zeitraum, in dem diese Wachstumsrate nicht unterschritten wird, genau 30 Jahre lang. Gib diesen Zeitraum an und bestimme den Wert der Wachstumsrate. Veranschauliche dein Ergebnis in der obigen Abbildung.

(4 Punkte)

Gib die Bedeutung des Terms

$\dfrac{1}{100}\cdot\left(50+\displaystyle\int_{0}^{60}w(t)\;\mathrm dt\right)$

im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe.

(4 Punkte)

Skizziere die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit beginnend mit dem Zeitpunkt der Pflanzung bis zum Jahr 2180.
Erläutere anhand von drei Argumenten den Verlauf des Graphen.

(4 Punkte)

Aufgabe 2

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion

$h : t \mapsto 50$ $\cdot\dfrac{\mathrm e^{0,1\cdot t}}{\mathrm e^{0,1\cdot t}+99}$

beschrieben.
Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $h(t)$ die Höhe in Metern.

Der Graph von $h$ ist punktsymmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W$ .

Bestimme die Koordinaten von $W$ .

$\big ($ Kontrollergebnis: Die gerundeten Koordinaten des Wendepunktes sind $W(46\mid 25).\big )$

(3 Punkte)

Eine Zeitschrift von $1911$ enthält folgenden Textabschnitt:

Von unseren einheimischen Bäumen steht die Fichte hinsichtlich ihres Höhenwachstums obenan, und zwar mit 37 Zentimeter durchschnittlich im Jahre. Doch sind von Forstbeamten Ausnahmen beobachtet worden, in denen Fichten in einem Jahre bis zu 150 Zentimeter ihrer Länge zusetzten.

(Quelle: Walther Kabel: Wachstumsgeschwindigkeit bei Pflanzen. In: Das Buch für Alle.
Jahrgang 1911, Heft 1, Union Deutsche Verlagsgesellschaft. Stuttgart 1911, S. 23.)

Vergleiche die durch die Funktion $h$ bestimmte maximale Wachstumsgeschwindigkeit in Zusammenhang mit den Angaben dieses Textabschnitts.

(3 Punkte)

Im betrachteten Modell lässt sich die zeitliche Entwicklung der Höhe der Fichten für die ersten 20 Jahre ab der Pflanzung näherungsweise durch die Funktion $n_1$ mit $n_1(t)=\frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t}$ beschreiben. Gegeben sind zudem die folgenden Funktionsterme:

$n_2(t)=n_1(t+46)-25$
$n_3(t)=-n_2(-t)$
$n_4(t)=n_3(t-46)+25$

Begründe, dass der Graph von $n_4$ zum Graphen von $n_1$ bezüglich des Punkts $W$ symmetrisch ist.

Gib die Bedeutung von $n_4$ im Sachzusammenhang an.
$\big($ Hinweis: Der Graph von $h$ ist symmetrisch bezüglich $W$ und es gilt $46+(46-20) = 72.\big)$

(5 Punkte)

Aufgabe 3

Um den Verkaufswert eines Baumstamms zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von $1,3\,\text{m}$ verwendet. Dieser Durchmesser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

Ein Fichtenstamm hat einen BHD von $40\,\text{cm}$ . Sein Volumen vom Boden bis zu einer Höhe von $1,3\,\text{m}$ beträgt $0,17\,\text{m}^3.$ Es soll davon ausgegangen werden, dass der Durchmesser des Stamms mit zunehmender Höhe linear abnimmt. Berechne den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von $15\,\text{m}$ .

(7 Punkte)

Für BHD ab $10\,\text{cm}$ kann der Verkaufspreis von Fichtenstämmen in Abhängigkeit vom BHD näherungsweise mithilfe einer quadratischen Funktion bestimmt werden. Der Tabelle kann für drei BHB der jeweilige Preis entnommen werden. Ermittle den Preis für einen Fichtenstamm mit einem BHD von $80\,\text{cm}$ .

$\color{#fff}{\text{BHD}}$	$\color{#fff}{\text{Preis}}$
$10\,\text{cm}$	$0\, €$
$40\,\text{cm}$	$100\,€$
$60\,\text{cm}$	$250\,€$

(4 Punkte)

(40 Punkte)

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Lösung 1

Zeitpunkt mit der größten Wachstumsrate

Gesucht wird das Maximum der Funktion im Bereich $0 \leq t \leq 160.$ Mit der Kettenregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} w$

Da stets $\mathrm e^{-\frac{(t-40)^2}{3000}} \neq 0$ für alle $t \in \mathbb{R},$ folgt mit dem Satz des Nullproduktes:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{t - 40}{25}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 25 \\[5pt] t - 40&=& 0& \quad \scriptsize \mid\; +40 \\[5pt] t& =& 40 \end{array}$

Auf die Anwendung der hinreichende Bedingung für Extremstellen kann verzichtet werden, da aus der Aufgabenstellung und aus der Abbildung folgt, dass es sich um ein Maximum handelt.

Folglich ist die Wachstumsrate im Jahr 2040 am größten.

Zeitraum bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} w(t)&\gt& 50 \\[5pt] 60 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{3000}\cdot (t-40)^2}&\gt& 50 &\quad \scriptsize \mid\; :60 \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{3000}\cdot (t-40)^2} &\gt& \dfrac{5}{6} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\;)\\[5pt] -\dfrac{1}{3000}\cdot (t-40)^2 &\gt& \ln \left(\dfrac{5}{6} \right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-3000) \\[5pt] (t-40)^2 &\lt& 546,97 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] t-40&\lt& \pm 23,39 &\quad \scriptsize \mid\; +40 \end{array}$

Daraus folgt $t_1 \approx 16,6$ und $t_2 \approx 63,4.$

Für $t\geq0$ liefert $w(t) \gt 50$ näherungsweise $16,6 \lt t \lt 63,4.$

D.h. der Zeitraum, in dem die Fichten mehr als $50\;\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}}$ wachsen, entspricht circa den Jahren von 2017 bis einschließlich 2064.

Der Exponent der Exponentialfunktion $w$ ist $-\frac{(t-40)^2}{3000}.$ Dieser Term beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $(40\mid 0).$ Diese Parabel verläuft achsensymmetrisch zur Geraden $t=40.$

Für alle beliebigen Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ mit $0 \leq t_1, t_2 \leq 80,$ die den gleichen zeitlichen Abstand zum Zeitpunkt der größten Wachstumsrate $(t=40)$ haben, ist also der Wert des Terms identisch und damit auch der Funktionswert von $w.$

Für alle $a\in \mathbb{R}$ gilt $w(40-a)=w(40+a).$ Die Wachstumsrate ist also für solche Zeitpunkte gleich.

Der gesuchte Zeitraum entspricht einem Wertepaar, welches sich im Intervall $[0;80]$ befinden muss. Da der Graph von $w$ im Intervall $[0;80]$ parabelförmig und achsensymmetrisch zur Geraden $t=40$ verläuft (siehe Teilaufgabe b), ergibt sich der Zeitraum zu $2040 \pm \dfrac{30}{2}.$

Zeitraum: Oktober $2025$ bis einschließlich Oktober $2055$

Mit dem Taschenrechner ergibt sich $w(25)\approx 56,$ d.h. die Wachstumsrate beträgt etwa $56\, \frac{\text{cm}}{\text{a}}.$

Der Term gibt die Höhe der Fichten in Metern, 60 Jahre nach der Pflanzung, also im Oktober 2060 an.

50 ist die Anfangshöhe der Fichten zum Zeitpunkt der Pflanzung in Zentimetern. Der Wert des Integrals gibt die Änderung der Höhe innerhalb der ersten 60 Jahre nach der Pflanzung in Zentimetern an. Der Faktor $\dfrac{1}{100}$ führt zu einem Wert in Metern.

Die Funktion für die Höhe der Fichte entspricht einer Stammfunktion von $w.$ Da die Fichte anfangs $c=50 \; [\text{cm}]$ hoch ist, folgt der Graph der Funktion mit:

Drei mögliche Argumente sind:

Anfangswert bei $0,5\,\text{m}$
Wendepunkt bei $t=40$
Schranke bei ca. $50\,\text{m}$

Lösung 2

Mit dem Taschenrechner wird die erste Ableitungsfunktion graphisch dargestellt und auf Extremstellen untersucht.

Als Extremstelle ergibt sich $t\approx 46.$

Mit $h(46) \approx 25$ ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes mit $W(46 \mid 25).$

Alternativer Lösungsweg

Mit Hilfe des Taschenrechners lässt sich die zweite Ableitung von $h$ berechnen:

$\(h$

Anwendung der notwendigen Bedingung für Wendestellen ergibt:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners folgt $t \approx 46.$

Auf die Anwendung der hinreichenden Bedingung für Wendestellen kann verzichtet werden, da aus der Aufgabenstellung folgt, dass eine Wendestelle existiert.

$h(46) \approx 25$

Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $h$ lauten also $W(46 \mid 25).$

Es gilt $\(h$
Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. $125\frac{\text{cm}}{\text{Jahr}},$ ist im Sinne des Textes also als Ausnahmefall zu betrachten.

Der Graph von $n_2$ ist gegenüber dem Graphen von $n_1$ gestreckt und entlang der negativen $y$ -Achse verschoben.
Der Graph von $n_3$ ist zum Graphen von $n_2$ punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph von $n_4$ ist zum Graphen von $n_3$ gestaucht und entlang der positiven $y$ -Achse verschoben. Außerdem ist der Graph von $n_4$ zum Graphen von $n_1$ symmetrisch bezüglich $W.$

$n_4$ beschreibt im Modell näherungsweise die zeitliche Entwicklung der Höhe der Fichten für den Zeitraum von etwa $72$ bis etwa $92$ Jahre nach der Pflanzung.

Lösung 3

Der Stamm lässt sich durch einen Körper darstellen, der durch Rotation des Graphen einer Funktion $s$ um die $x$ -Achse entsteht.
Der Term von $s$ hat die Form $s(x)=m\cdot (x-1,3)+0,2.$
Mit der Lösung der Gleichung $\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{1,3}(s(x))^2 \mathrm dx=0,17$ für $m\lt 0$
ergibt sich $2\cdot s(15)\approx0,23,$ der Durchmesser in einer Höhe von $15\text{m}$ beträgt also etwa $23\; \text{cm}.$

Es gilt:

$p(x)=ax^2+bx+c$

Mit den Werten aus der Tabelle folgt:

$\begin{array}[t]{rll} p(10)&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] a\cdot 10^2 +b\cdot 10 +c&=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} p(40)&=& 100 &\quad \scriptsize \\[5pt] a\cdot 40^2 +b\cdot 40 +c&=& 100 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} p(60) &=& 250 &\quad \scriptsize \\[5pt] a\cdot 60^2 +b\cdot 60 +c&=& 250 \end{array}$

Dies führt auf das folgende LGS:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& a\cdot 10^2 +b\cdot 10 +c &=& 0&\quad \\ \text{II}\quad& a\cdot 40^2 +b\cdot 40 +c &=& 100 &\quad \\ \text{III}\quad& a\cdot 60^2 +b\cdot 60 +c &=& 250 &\quad \\ \end{array}$

Das LGS ist mit dem GTR zu lösen und dieser liefert $a=\dfrac{1}{12},b=-\dfrac{5}{6}$ und $c=0.$

Daraus folgt $p(x)= \dfrac{1}{12}\cdot x^2 -\dfrac{5}{6}\cdot x$

$p(80) \approx 470,$ d.h. der Preis beträgt etwa $470 \,€.$

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