Vektorielle Geometrie

Betrachtet werden die Pyramiden $ABCDS_k$ mit $A(0\mid 0\mid0)$ , $B(2\mid0\mid0)$ , $C(2\mid2\mid0)$ , $D(0\mid2\mid0)$ und $S_k(1\mid 1\mid k)$ mit $k\gt1.$
Die gemeinsame Grundfläche $ABCD$ dieser Pyramiden ist quadratisch. Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD$ wird mit $T$ bezeichnet.
Die Abbildung zeigt beispielhaft eine dieser Pyramiden.

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide $ABCDS_k.$

(5 Punkte)

Der Punkt $S_k$ wird am Punkt $C$ gespiegelt.
Gib die Koordinaten des Spiegelpunktes $S_k$ in Abhängigkeit von $k$ an.
Berechne den Wert von $k$ so, dass $S_k$ zu seinem Spiegelpunkt den Abstand $6$ hat.

(4 Punkte)

Die Seitenfläche $ABS_k$ liegt in der Ebene $L$ .
Bestimme eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $k \cdot y-z=0$ ]

(3 Punkte)

Bestimme denjenigen Wert von $k$ , für den die Seitenfläche $ABS_k$ gegenüber der Grundfläche $ABCD$ um einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ geneigt ist.

(4 Punkte)

Untersuche, ob es einen Wert für $k \gt 1$ gibt, sodass das Dreieck $BS_kD$ rechtwinklig ist.

(3 Punkte)

Die Ebene mit der Gleichung $z=1$ schneidet die vier vom Punkt $S_k$ ausgehenden Kanten der Pyramide $ABCDS_k$ in den Punkten $E_k$ , $F_k$ , $G_k$ und $H_k.$

Bestimme die $x$ - und die $y$ -Koordinate von $F_k$ .

(2 Punkte)

Bestimme diejenigen Werte von $k$ , für die das Verhältnis des Volumens der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT$ zum Volumen der Pyramide $ABCDS_k\,\, \frac{1}{8}$ beträgt.

(4 Punkte)

(25 Punkte)

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1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen

$a=\overrightarrow{AB}= \pmatrix{2\\0\\0}$ , $\mid \overrightarrow{AB} \mid = 2\,[\text{LE}]$
Da die Grundfläche der Pyramide quadratisch ist, folgt: $G= a^2=\mid \overrightarrow{AB} \mid^2 =2^2 =4 \;\text{[FE]}$

2. Schritt: Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnen

Für den Inhalt der Seitenflächen gilt: $A_S= \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot h$

Die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AB}$ lassen sich aus den Koordinaten von $A$ und $B$ bestimmen:

$M_{\overline{AB}}(1 \mid 0 \mid 0)$

Damit folgt:

$h=\left| \overrightarrow{M_{\overline{AB}}S_k} \right|$ $=\left|\pmatrix{0\\1\\k} \right|$ $=\sqrt{0^2+1^2+k^2}$ $=\sqrt{1+k^2}\; \text{[LE]}.$

Der Flächeninhalt der Seitenfläche $ABS_k$ ergibt sich mit $A_S= \dfrac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{AB} \right| \cdot \left| \overrightarrow{ZS_k} \right|$ $=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{1+k^2} \;\text{[FE]}.$

3. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 0_P&=& G+ 4\cdot S \\[5pt] &=& 4 +4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{1+k^2} \\[5pt] &=& 4+ 4\cdot \sqrt{1+k^2} \;\text{[FE]} \end{array}$

Koordinaten des Spiegelpunktes

$\(\overrightarrow{OS_k$ $=\pmatrix{2\\2\\0}+\pmatrix{2-1\\2-1\\0-k}=\pmatrix{3\\3\\-k}$

Die Koordinaten des Spiegelpunktes sind gegeben durch $\(S$

Wert von $k$ berechnen

$\(\overrightarrow{S_kS$

$\(\mid \overrightarrow{S_kS$ $=\sqrt{8+4k^2}$

Daraus folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{S_kS$

$\overrightarrow{AB}= \pmatrix{2\\0\\0}$

$\overrightarrow{AS_k}= \pmatrix{1\\1\\k}$

Ein Normalenvektor der Ebene $L$ ergibt sich mit:

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AS_k}$ $\pmatrix{2\\0\\0} \times \pmatrix{1\\1\\k}$ $= \pmatrix{0-0\\0-2k\\2-0}$ $=\pmatrix{0\\-2k\\2}$

Daraus lässt sich $-2k\cdot y +2\cdot z=c$ aufstellen.

Aus der Punktprobe mit $A$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -2k\cdot 0 +2\cdot 0&=& c \\[5pt] 0&=& c \end{array}$

Ebenengleichung in Koordinatenform:

$\begin{array}[t]{rll} -2k\cdot y +2\cdot z&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] k\cdot y - z &=& 0 \end{array}$

Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $\overrightarrow{n_G}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

Es muss gelten:

$\cos(60^{\circ}) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n_G}\circ \overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n_G}\right| \cdot \left| \overrightarrow{n}\right|}$

$\dfrac{\left| \overrightarrow{n_G}\circ \overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n_G}\right| \cdot \left| \overrightarrow{n}\right|}$ $=\dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\circ \pmatrix{0\\k\\-1}\right|}{\sqrt{1^2}\cdot \sqrt{k^2+(-1)^2}}$ $=\dfrac{\left| 0\cdot k+1\cdot(-1) \right|}{\sqrt{k^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

$\cos(60^{\circ})= \dfrac{1}{2}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}&=& \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot2\cdot\sqrt{k^2+1} \\[5pt] \sqrt{k^2+1} &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;(\;)^2 \\[5pt] k^2+1 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] k^2 &=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] k&=& \pm \sqrt{3} \end{array}$

Da $k \gt 1$ ist der Wert mit $k=\sqrt{3}$ bestimmt.

Das Dreieck $BS_kD$ kann nur am Punkt $S_k$ rechtwinklig sein. Dafür muss $\overrightarrow{BS_k}\circ \overrightarrow{DS_k}=0$ gelten.

$\overrightarrow{BS_k}=\pmatrix{1-2\\1-0\\k-0}=\pmatrix{-1\\1\\k}$

$\overrightarrow{DS_k}=\pmatrix{1-0\\1-2\\k-0}=\pmatrix{1\\-1\\k}$

$\overrightarrow{BS_k} \circ \overrightarrow{DS_k}=\pmatrix{-1\\1\\k} \circ \pmatrix{1\\-1\\k}$ $=-1\cdot 1 + 1 \cdot (-1) +k\cdot k =-2+k^2$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BS_k} \circ \overrightarrow{DS_k} &=& 0 \\[5pt] -2+k^2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] k^2&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] k&=& \pm \sqrt{2} \end{array}$

Da $k \gt 1$ ist der Wert mit $k=\sqrt{2}$ bestimmt.

Es gilt: $\overrightarrow{OF_k}=\overrightarrow{OB}+t \cdot \overrightarrow{BS_k}$ $=\pmatrix{2\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{-1\\1\\k}=\pmatrix{x\\y\\1}$

Für die $z$ -Koordinate gilt $t\cdot k=1.$ Daraus folgt $t=\dfrac{1}{k}.$

Für die $y$ -Koordinate gilt $t=y$ und somit $y=\dfrac{1}{k}.$

Für die $x$ -Koordinate gilt $2-t=x$ und somit $x=2-\dfrac{1}{k}.$

Die Koordinaten von $F_k$ sind gegeben durch $\left(2-\dfrac{1}{k}\left| \dfrac{1}{k} \right| 1 \right).$

1. Schritt: Volumen der Pyramide $ABCDS_k$ berechnen

Aus Teilaufgabe a) ist bekannt, dass für die Grundfläche gilt $G=4\;[\text{FE}].$

Die Höhe ist durch die $z$ -Koordinate des Punktes $S_k$ gegeben, also $h_1=k\,[\text{LE}].$

Damit ist das Volumen von $ABCDS_k$ gegeben durch $V_{ABCDS_k}=\dfrac{1}{3} \cdot 4\cdot k \;[\text{VE}]$

2. Schritt: Volumen der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT$ bestimmen

Die Koordinaten von $E_k$ lassen sich analog zu den Koordinaten von $F_k$ aus Aufgabenteil f) berechnen und sind gegeben durch $E_k \left(\dfrac{1}{k}\left| \dfrac{1}{k} \right| 1 \right).$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{E_kF_k}=\pmatrix{\dfrac{2}{k}-2\\0\\0}$

$\mid \overrightarrow{E_kF_k} \mid= \left( \sqrt{ \dfrac{2}{k}-2} \right)^2$ $= \,\bigg \vert \, \dfrac{2}{k}-2 \,\bigg \vert \, \,[\text{LE}]$

Die Höhe von $E_kF_kG_kH_kT$ ist gegeben durch $h_2=1\,\text{[LE]}.$

Das Volumen der Pyramide $E_kF_kG_kH_kT$ beträgt damit $V_{E_kF_kG_kH_kT}=\dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{k}-2 \right)^2 \;\text{[VE]}.$

3. Schritt: Volumen der Pyramiden ins Verhältnis setzen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{k}-2 \right)^2}{\dfrac{4}{3}\cdot k}&=&\dfrac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{4}{3} \cdot k\cdot 3\\[5pt] \left(\dfrac{2}{k}-2 \right)^2&=&\dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{k}{2} \\[5pt] \left(\dfrac{2}{k}-2 \right)^2-\dfrac{k}{2}&=& 0 \end{array}$

Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners zu $k_1=2$ und $k_2\approx 5,24.$

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