Aufgabe 4

Im Jahr 2018 wurden in Nordrhein-Westfalen etwa 390 000 praktische Führerscheinprüfungen abgelegt. Der relative Anteil von bestandenen Prüfungen lag in dem Jahr bei etwa $70\,\%.$
Für eine Fahrschule, in der $n$ praktische Prüfungen durchgeführt werden, beschreibt im Folgenden die Zufallsgröße $X$ jeweils die Anzahl an bestandenen Prüfungen. Es wird vereinfachend angenommen, dass $X$ stets binomialverteilt ist.

Bei einer Fahrschulkette geht man am Standort Düsseldorf für das Jahr 2021 von insgesamt $250$ praktischen Führerscheinprüfungen aus. Im Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p=0,7$ ist.

(1)

Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$E1:$

„Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“

$E2:$

„Es werden mehr als $80\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

$E3:$

„Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen ist um fünf größer als der Erwartungswert.“

(2)

(i)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden.

(ii)

Ermittle, wie groß die Zahl $k$ mindestens gewählt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen kleiner oder gleich $60\,\%$ ist.

(7 + 4 Punkte)

Die Fahrschulkette plant für das Jahr 2022 die Eröffnung einer Filiale in Soest. Im Jahr 2022 sollen die ersten praktischen Prüfungen stattfinden. Die Zentrale hat viel Geld in die digitale Ausstattung des Standorts investiert. Sie ist zuversichtlich, dass an dem neuen Standort die Ausbildungsstandards so gut sind, dass im Schnitt mehr als $70\,\%$ der praktischen Prüfungen bestanden werden. Um einen Anhaltspunkt dafür zu bekommen, ob die Qualität diesen Erwartungen entspricht, soll die Nullhypothese „Der Anteil der bestandenen praktischen Führerscheinprüfungen liegt bei höchstens $70\,\%$ “ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ untersucht werden.

(1)

Erläutere, für welchen Fehler die Zentrale mit der Wahl der Nullhypothese die zugehörige Wahrscheinlichkeit klein halten möchte.

(2)

Die Zentrale geht davon aus, dass $200$ Prüfungen im Jahr 2022 abgelegt werden.
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(3)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Zentrale zu der Einschätzung kommt, dass die Ausbildungsqualität nicht den Erwartungen entspricht, obwohl die Ausbildungsqualität dazu führt, dass jede Prüfung sogar mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ bestanden wird.

(2 + 4 + 3 Punkte)

Eine andere Fahrschulkette führt für den Standort Bielefeld eine Prognose für das Jahr 2021 durch. Von der Prognose ist bekannt, dass der zu erwartende Wert an bestandenen praktischen Fahrprüfungen $255$ beträgt. Die Standardabweichung liegt bei einem Wert von $6,18.$