Aufgabe 4

Aufgabenstellung

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $O( 0 \mid 0 \mid 0 )$ , $A( 8 \mid 0 \mid 0 )$ , $B( 8 \mid 8 \mid 0 )$ , $C (0 \mid 8 \mid 0)$ , $D( 8 \mid 0 \mid 8 )$ , $E( 8 \mid 8 \mid 8 )$ , $F( 0 \mid 8 \mid 8 )$ und $G( 0 \mid 0 \mid 8 )$ Eckpunkte eines Würfels $OABCDEFG$ . Außerdem sind die Punkte $L (8 \mid 0 \mid 1)$ , $M (8 \mid 8 \mid 3)$ und $N (0 \mid 8 \mid 5)$ gegeben (siehe Abbildung).

3D-Darstellung eines Würfels mit Linien und Punkten in einem Koordinatensystem.

Abb. 1

(1)

Zeige, dass das Dreieck $LMN$ gleichschenklig ist.

(4P)

(2)

Zeige, dass das Dreieck $LMN$ nicht rechtwinklig ist.

(4P)

(3)

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $LMN$ .
[Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt des Dreiecks $LMN$ beträgt $24\cdot \sqrt{2} \ [FE]$ .]

(5P)

(1)

Ermittle eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene $H$ , die die Punkte $L$ , $M$ und $N$ enthält.
[Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung: $H: x_1-x_2+4x_3=12$ .]

(7P)

(2)

Bestimme das Volumen der Pyramide $LMND$ .
[Zur Kontrolle: Das Volumen der Pyramide $LMND$ beträgt $74, \overline{6}$ $\big[VE\big]$ .]

(6P)

(3)

Berechne, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt.

(3P)

(1)

Skizziere in der Abbildung das Schnittgebilde, das die Ebene $H$ mit dem Würfel bildet.

(3P)

Das Schnittgebilde von Ebene und Würfel ist ein Raute.

(2)

Untersuche, ob der Punkt $S(2 \mid 6 \mid 4)$ in der Raute liegt.

(3P)

(3)

Untersuche, ob es einen Punkt auf der Geraden $AB$ gibt, der von dem Punkt $S$ den Abstand $7$ $[LE]$ besitzt.

(7P)

Es gibt genau eine Gerade $k$ durch $M$ , die die Geraden $LN$ und $GF$ (außerhalb des Würfels) schneidet.

(1)

Begründe, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt.

(4P)

(2)

Bestimme die Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden $k$ .

(4P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

(1)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ gleichschenklig ist

Ein Dreieck heißt gleichsschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Berechne die Länge der Seiten, übder die Beträge der drei Verbindungsvektoren $\overrightarrow{LM}$ , $\overrightarrow{MN}$ und $\overrightarrow{NL}$ .

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$

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$ $\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$ $

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$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{144} = 12 \end{array}$

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Da die Seiten $\overrightarrow{LM}$ und $\overrightarrow{MN}$ gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

(2)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ nicht rechtwinklig ist

Um zu zeigen, dass das Dreieck $\text{LMN}$ nicht rechtwinklig ist, kannst du das Skalarprodukt verwenden. Du weißt, dass zwei Vektoren im rechten Winkel aufeinander stehen, wenn das Skalarprodukt zwischen ihnen Null ist. Wenn also das Skalarprodukt von keinen zwei der drei Vektoren Null ist, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

$\begin{array}[t]{rll} &=& 4\neq 0 \end{array}$

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$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

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$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

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Da das Skalarprodukt aller Vektoren des Dreiecks ungleich 0 ist, handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{\text{LMN}}$ berechnen

Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist die Höhe des Dreiecks zu berechnen und anschließend mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks den Flächeninhalt zu berechnen die andere Möglichkeit ist mit Hilfe des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:

$A = \frac{1}{2}\cdot g \cdot h$

Die Länge der Grundseite $\overrightarrow{NL}$ hast du bereits in der Aufgabe a) (1) berechnet. Es fehlt noch die Länge der Höhe des Dreiecks. Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ist die Höhe gerade die Länge des Vektors, der vom Mittelpunkt der Grundseite zum Punkt $M$ zeigt.

Die Koordinaten des Mittelpunktes kannst du mit folgender Formel berechnen:

$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \left| \frac{y_1 + y_2}{2} \right| \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

Berechne als erstes die Koordinaten des Mittelpunktes $R$ , danach die Länge des Vektor $\overrightarrow{RM}$ und setze anschließend beide Längen in die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ein.

$R\left(\dfrac{8+ 0}{2}\; \left|\; \dfrac{0 + 8}{2} \;\right| \;\dfrac{1 + 5}{2} \right)$

$\Rightarrow R\left(4\; |\; 4\; |\; 3 \right)$

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{RM}\right|&=&\left|\pmatrix{8 \\ 8 \\ 3} - \pmatrix{4 \\ 4 \\ 3} \right| \\[5pt] &=&\sqrt{4^2 + 4^2 + 0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{32} &=& 4\sqrt{2} \end{array}$

$A = \left |\overrightarrow{NL}\right| \cdot \left| \overrightarrow{RM}\right | = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

Der Betrag des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) enstpricht dem Flächeninhalt des durch die beiden Vektoren aufgespannten Paralellogramms. In dieser Aufgabe kannst du das Dreieck $\text{LMN}$ zu einem Parallelogramm ergänzen, den Betrag des Vektorprodukts berechnen und den berechneten Flächeninhalt durch zwei teilen.
Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

$\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3} \times \pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$

Berechne als erstes das Vektorprodukt zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{NL}$ und $\overrightarrow{LM}$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{NL} \times \overrightarrow{LM} &=&\pmatrix{8 \\ -8 \\ -4} \times \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-8\cdot 2 - (-4)\cdot8\\ -4\cdot0 - 8\cdot 2 \\ 8\cdot 8-(-8)\cdot 0} \\[5pt] &=&\pmatrix{16 \\ -16 \\ 64} \end{array}$

Berechne jetzt den Betrag des Vektors und dividiere den Betrag durch zwei.

$\begin{array}[t]{rll} \left| \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64} \right|&=& \sqrt{16^2 + (-16)^2 + 64^2} \\[5pt] &=&48\sqrt{2} \end{array}$

$48\sqrt{2} : 2 = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform der Ebene H bestimmen

In dieser Aufgabe sollst du eine Ebenengleichung in Parameterform der Ebene H bestimmen, die die Punkte $\text{L}$ , $\text{M}$ und $\text{N}$ enthält. Wähle einen Ortsvektor, der zu einem der drei Punkte zeigt, als Stützvektor der Ebene und berechne anschließend die beiden Spannvektoren.

$H: \vec{x}= \overrightarrow{OL} + r\cdot \overrightarrow{LM} + s\cdot \overrightarrow{LN}$

$H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{8-8 \\ 8-0 \\ 3-1} + s\cdot \pmatrix{0-8 \\ 8-0 \\ 5-1}$

$\longrightarrow H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$

Eine Ebenengleichung in Parameterform lautet $H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$ .

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene H bestimmen

Um eine Ebenengleichung in Koordinatenform anzugeben, benötigst du den Normalenvektor der Ebene. Den Normalenvektor hast du vielleicht schon in der Aufgabe a) (3) berechnet, wenn nicht, kannst du den Normalenvektor mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen. Diesen kannst du dann noch mit $16$ kürzen

$\vec{n} = \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64}$

$\vec{n_1} =\pmatrix{1 \\ -1 \\ 4}$

$\longrightarrow H: x_1 - x_2 + 4x_3 = d$

Den Parameter $d$ kannst du berechnen, indem du die Koordinaten des Stützvektors in die Ebenengleichung einsetzt.

$1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 1 = 12$

$\longrightarrow H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$

Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet $H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Volumen der Pyramide $\boldsymbol{\text{LMND}}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ berechnen. Die Formel für das Volumen einer Pyramide lautet:

$V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot g \cdot h$

Den Flächeninhalt der Grundseite hast du in der Aufgabe a) (3) schon berechnet. Die Höhe der Pyramide kannst du berechnen, indem du den Abstand vom Punkt $D$ zur Ebene $H$ berechnest. Den Abstand $c$ zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst du mit der Hesseschen Normalenform berechnen:

$\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-d}{\left|\vec{n}\right|}=0$

Setze in die Hessesche Normalenform die Koordinaten des Punktes D ein:

$\begin{array}[t]{rll} c&=&\dfrac{1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 8 -12}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 +4^2}} \\[5pt] &=&\dfrac {28}{\sqrt{18}} = \dfrac{14\sqrt{2}}{3} \end{array}$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe der Pyramide in die Formel einsetzen:

$V_{\text{Pyramide}} = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{14\sqrt{2}}{3} = 74,\overline{6}$

Das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ beträgt $74,\overline{6}\; VE$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Berechnen, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt

In dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt. Dazu musst du als erstes das Volumen des Würfels berechnen. Das Volumen eines Würfels kannst du mit dieser Formel berechnen:

$V_{\text{Würfel}}= a^3$

Die Seitenlänge des Würfels kannst du mit Hilfe der Koordinaten der Eckpunkte bestimmen. Eine Ecke des Würfels liegt im Ursprung des Koordinatensystem. Der Punkt $A$ liegt auf der $x_1$ -Achse. Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A(8 \;|\; 0 \;|\; 0)$ . Der Punkt $A$ ist also $8\;LE$ vom Ursprung entfernt. Die Seitenlänge des Würfels beträgt also $8\; LE$ . Das kannst du nun in die Formel einsetzen.

$V_{\text{Würfel}}= 8 ^3 = 512$

Der Würfel hat ein Volumina von $512\; VE$ .

Jetzt kannst du das Verhältnis der beiden Volumen berechnen:

$\dfrac{V_{\text{Pyramide}}}{V_{\text{Würfel}}} = \dfrac{74,\overline{6}\;VE}{512\;VE}= 0,146$

Das Pyramidenvolumen nimmt ca. $14,6\; \%$ des Würfelvolumens ein.

(1)

$\blacktriangleright$ Schnittgebilde skizzieren

In dieser Aufgabe sollst du das Schnittgebilde, das die Ebene $H$ mit dem Würfel bildet, skizzieren. Berechne dazu als erstes den Schnittpunkt $T$ der Ebene $H$ mit der $x_3$ -Achse. Damit die Ebene die $x_3$ - Achse schneidet, müssen die $x_1-$ und $x_2-$ Koordinaten des Schnittpunktes $T$ 0 sein.

$T(0\;|\; 0 \;|\; t)$

Wenn du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Ebenengleichung der Ebene $H$ einsetzt, kannst du die fehlende Koordinate des Punktes $T$ berechnen. Du erhältst zwei Gleichungen, die du nach $r$ und $s$ auflöst.

$\begin{array}[t]{rll} s &=& 1 \end{array}$

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$\begin{array}[t]{rll} r&=&-1 \end{array}$

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Wenn du jetzt die berechneten Werte für $r$ und $s$ in die dritte Zeile der Ebenengleichung einsetzt, erhältst du die Koordinaten des Schnittpunktes $T$ .

$1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot (4) = 3$

Die Koordinaten des Punktes $T$ lauten $T(0\;|\; 0 \;|\; 3)$ .

Diesen Punkt kannst du nun in das gegebene Koordinatensystem einzeichnen, und anschließend die Eckpunkte $L$ und $N$ mit dem Punkt $T$ verbinden.

Diagramm eines Quaders mit Linien und Punkten zur Veranschaulichung geometrischer Beziehungen.

Abb. 1: Skizze Schnittgebilde

(2)

$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der Punkt $\boldsymbol{S}$ in der Raute liegt.

Um zu überprüfen ob der Punkt $S$ in der Raute liegt, musst du als erstes überprüfen, ob der Punkt auf der Ebene $H$ liegt. Setze dazu die Koordinaten des Punktes $S$ in die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene $H$ ein. Ist die Gleichung erfüllt, dann liegt der Punkt $S$ in der Ebene $H$ :

$1 \cdot 2 -1\cdot 6 +4\cdot 4 \stackrel{!}{=} 12$

$12 = 12$

Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt $S$ liegt somit in der Ebene $H$ .

Die Koordinaten der Eckpunkte des Würfels sind größer als 0, aber kleiner als 8. Auch die Koordinaten des Punktes $S$ sind größer als 0, aber kleiner als 8. Der Punkt liegt also innerhalb des Würfels und da gerade gezeigt wurde, dass der Punkt $S$ in der Ebene $H$ liegt, liegt er auch auf der Raute.

(3)

$\blacktriangleright$ Existenz eines Punktes überprüfen

Um zu überprüfen, ob es einen Punkt auf der Geraden $AB$ gibt, der den Abstand $7\;LE$ zum Punkt $S$ hat, bildest du als erstes die Gerade $g$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ geht.

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

Den Richtungsvektor kannst du noch kürzen und die Geradengleichung lautet dann:

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

Jetzt kannst du den allgemeinen Punkt der Gerade $g$ bestimmen. Der Abstand zwischen dem allgemeinen Punkt von der Geraden $g$ und dem Punkt $S$ muss dann $7\;LE$ sein.

$G( 8\;|\; t \;| \; 0)$

$|\overrightarrow{GS}| = \left|\pmatrix{8 \\ t \\ 0} -\pmatrix{2 \\ 4 \\ 6} \right| = \left|\pmatrix{6 \\ t-6 \\ -4}\right|$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& t^2 -12t + 39 \end{array}$

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Um die Gleichung zu lösen kannst du die p-q-Formel verwenden.

$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2}&=& - \dfrac{-12}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-12}{2}} \right)^2 - 39} \\[5pt] &=&6 \pm \sqrt{36 - 39} \\[5pt] &=&6 \pm \sqrt{-3} \end{array}$

Da unter einem Wurzelzeichen keine negativen Zahlen stehen dürfen, kannst du die Gleichung nicht lösen und somit gibt es auf der Gerade $g$ keine Punkte, die zum Punkt $S$ einen Abstand von $7\;LE$ haben.

(1)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt.

In dieser Aufgabe sollst du begründen, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt. Aus der Aufgabe weißt du, dass die Gerade $k$ die Gerade $LN$ schneidet und durch den Punkt $M$ geht. Da die Gerade $LN$ und der Punkt $M$ in der Ebene $H$ liegen muss auch die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegen.

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden $k$ bestimmen.

In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten eines weiteren Punktes, der auf der Geraden $k$ liegt berechnen. Aus der Aufgabe weißt du, dass sich die Gerade $k$ und die Gerade $GF$ in einem Punkt schneiden. In der Aufgabe davor hast du gezeigt, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt. Du kannst also den Schnittpunkt zwischen der Ebene $H$ und der Geraden $k$ berechnen und dieser Schnittpunkt liegt dann gerade auf der Geraden $k$ .

1. Schritt: Gerade $\boldsymbol{GF}$ bestimmen

Bestimme als erstes die Gerade $GF$ :

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

2. Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{R}$ berechnen.

Jetzt kannst du den Schnittpunkt $R$ zwischen der Ebene $H$ und der Geraden $GF$ berechnen. Setze dazu die Koordinaten der Gerade in die Koordinatenform der Ebene $H$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} r&=& 20 \end{array}$

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Setze für $r=20$ in die Geradengleichung ein:

$R(0\; | \; 160 \;|\; 8)$

Ein zweiter Punkt der auf der Geraden $k$ liegt hat die Koordinaten $R(0\; | \; 20 \;|\; 8)$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ gleichschenklig ist

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$

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$ $\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$ $

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$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{144} = 12 \end{array}$

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Da die Seiten $\overrightarrow{LM}$ und $\overrightarrow{MN}$ gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

(2)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ nicht rechtwinklig ist

$\begin{array}[t]{rll} &=& 4\neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

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Da das Skalarprodukt aller Vektoren des Dreiecks ungleich 0 ist, handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{\text{LMN}}$ berechnen

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:

$A = \frac{1}{2}\cdot g \cdot h$

Die Koordinaten des Mittelpunktes kannst du mit folgender Formel berechnen:

$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \left| \frac{y_1 + y_2}{2} \right| \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

$R\left(\dfrac{8+ 0}{2}\; \left|\; \dfrac{0 + 8}{2} \;\right| \;\dfrac{1 + 5}{2} \right)$

$\Rightarrow R\left(4\; |\; 4\; |\; 3 \right)$

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{RM}\right|&=&\left|\pmatrix{8 \\ 8 \\ 3} - \pmatrix{4 \\ 4 \\ 3} \right| \\[5pt] &=&\sqrt{4^2 + 4^2 + 0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{32} &=& 4\sqrt{2} \end{array}$

$A = \left |\overrightarrow{NL}\right| \cdot \left| \overrightarrow{RM}\right | = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

$\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3} \times \pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1}$

Berechne als erstes das Vektorprodukt zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{NL}$ und $\overrightarrow{LM}$ .

Berechne jetzt den Betrag des Vektors und dividiere den Betrag durch zwei.

$\begin{array}[t]{rll} \left| \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64} \right|&=& \sqrt{16^2 + (-16)^2 + 64^2} \\[5pt] &=&48\sqrt{2} \end{array}$

$48\sqrt{2} : 2 = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform der Ebene H bestimmen

$H: \vec{x}= \overrightarrow{OL} + r\cdot \overrightarrow{LM} + s\cdot \overrightarrow{LN}$

$H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{8-8 \\ 8-0 \\ 3-1} + s\cdot \pmatrix{0-8 \\ 8-0 \\ 5-1}$

$\longrightarrow H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$

Eine Ebenengleichung in Parameterform lautet $H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$ .

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene H bestimmen

$\vec{n} = \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64}$

$\vec{n_1} =\pmatrix{1 \\ -1 \\ 4}$

$\longrightarrow H: x_1 - x_2 + 4x_3 = d$

Den Parameter $d$ kannst du berechnen, indem du die Koordinaten des Stützvektors in die Ebenengleichung einsetzt.

$1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 1 = 12$

$\longrightarrow H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$

Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet ${H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Volumen der Pyramide $\boldsymbol{\text{LMND}}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ berechnen. Die Formel für das Volumen einer Pyramide lautet:

$V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot g \cdot h$

$\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-d}{\left|\vec{n}\right|}=0$

Setze in die Hessesche Normalenform die Koordinaten des Punktes D ein:

$\begin{array}[t]{rll} c&=&\dfrac{1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 8 -12}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 +4^2}} \\[5pt] &=&\dfrac {28}{\sqrt{18}} = \dfrac{14\sqrt{2}}{3} \end{array}$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe der Pyramide in die Formel einsetzen:

$V_{\text{Pyramide}} = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{14\sqrt{2}}{3} = 74,\overline{6}$

Das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ beträgt $74,\overline{6}\; VE$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Berechnen, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt

$V_{\text{Würfel}}= a^3$

$V_{\text{Würfel}}= 8 ^3 = 512$

Der Würfel hat ein Volumina von $512\; VE$ .

Jetzt kannst du das Verhältnis der beiden Volumen berechnen:

$\dfrac{V_{\text{Pyramide}}}{V_{\text{Würfel}}} = \dfrac{74,\overline{6}\;VE}{512\;VE}= 0,146$

Das Pyramidenvolumen nimmt ca. $14,6\; \%$ des Würfelvolumens ein.

(1)

$\blacktriangleright$ Schnittgebilde skizzieren

$T(0\;|\; 0 \;|\; t)$

Wenn du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Ebenengleichung der Ebene $H$ einsetzt, kannst du die fehlende Korrdinate des Punktes $T$ berechnen. Du erhältst zwei Gleichungne, die du nach $r$ und $s$ auflöst.

$\begin{array}[t]{rll} s &=& 1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} r&=&-1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Wenn du jetzt die berechneten Werte für $r$ und $s$ in die dritte Zeile der Ebenengleichung einsetzt, erhältst du die Koordinaten des Schnittpunktes $T$ .

$1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot (4) = 3$

Die Koordinaten des Punktes $T$ lauten $T(0\;|\; 0 \;|\; 3)$ .

Diesen Punkt kannst du nun in das gegebene Koordinatensystem einzeichnen, und anschließend die Eckpunkte $L$ und $N$ mit dem Punkt $T$ verbinden.

Abb. 1: Skizze Schnittgebilde

(2)

$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der Punkt $\boldsymbol{S}$ in der Raute liegt.

$1 \cdot 2 -1\cdot 6 +4\cdot 4 \stackrel{!}{=} 12$

$12 = 12$

Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt $S$ liegt somit in der Ebene $H$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Existenz eines Punktes überprüfen

Um zu überprüfen, ob es einen Punkt auf der Geraden $AB$ gibt, der den Abstand $7\;LE$ zum Punkt $S$ hat, bildest du als erstes die Gerade $g$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ geht.

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

Den Richtungsvektor kannst du noch kürzen und die Geradengleichung lautet dann:

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

Jetzt kannst du den allgemeinen Punkt der Gerade $g$ bestimmen. Der Abstand zwischen dem allgemeinen Punkt von der Geraden $g$ und dem Punkt $S$ muss dann $7\;LE$ sein.

$G( 8\;|\; t \;| \; 0)$

$|\overrightarrow{GS}| = \left|\pmatrix{8 \\ t \\ 0} -\pmatrix{2 \\ 4 \\ 6} \right| = \left|\pmatrix{6 \\ t-6 \\ -4}\right|$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& t^2 -12t + 39 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Um die Gleichung zu lösen kannst du die p-q-Formel verwenden.

$\begin{array}[t]{rll} t_{1,2}&=& - \dfrac{-12}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-12}{2}} \right)^2 - 39} \\[5pt] &=&6 \pm \sqrt{36 - 39} \\[5pt] &=&6 \pm \sqrt{-3} \end{array}$

(1)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt.

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden $k$ bestimmen.

1. Schritt: Gerade $\boldsymbol{GF}$ bestimmen

Bestimme als erstes die Gerade $GF$ :

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

2. Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{R}$ berechnen.

Jetzt kannst du den Schnittpunkt $R$ zwischen der Ebene $H$ und der Geraden $GF$ berechnen. Setze dazu die Koordinaten der Gerade in die Koordinatenform der Ebene $H$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} r&=& 20 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Setze für $r=20$ in die Geradengleichung ein:

$R(0\; | \; 160 \;|\; 8)$

Ein zweiter Punkt der auf der Geraden $k$ liegt hat die Koordinaten $R(0\; | \; 20 \;|\; 8)$ .

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