Pflichtteil

Aufgabe 1 - Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f.$

Begründe, dass die Ableitungsfunktion $\(f$ im Intervall $[5 ;8]$ nicht monoton ist.

Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Funktion $I$ mit

$I(x)=\displaystyle\int_{2}^{x}f(t)\;\mathrm dt, \; 2 \leq x \leq 9.$

(2 + 3 Punkte)

Aufgabe 2 – Analysis

Ermittle eine Gleichung der quadratischen Funktion $g$ , die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Der Graph von $g$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x + 1$ im Punkt $(0\mid 1)$ unter einem rechten Winkel.
Die $x$ - und die $y$ -Koordinate des Extrempunkts des Graphen von $g$ stimmen überein.

(5 Punkte)

Aufgabe 3 - Vektorielle Geometrie

Gegeben sind die Gerade $g:\overrightarrow x=\pmatrix{7\\3\\3}+r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E:3x-z=-2.$

Begründe, dass $g$ senkrecht zu $E$ steht.

Die Gerade $h:\overrightarrow x= \pmatrix{7\\3\\3}+s\cdot \pmatrix{1\\2\\3}$ mit $s \in \mathbb{R}$ hat mit $E$ keinen gemeinsamen Punkt. Es gibt Geraden, die in $E$ liegen und parallel zu $h$ verlaufen. Bestimme eine Gleichung derjenigen dieser Geraden, die von $h$ den kleinsten Abstand hat.

(1 + 4 Punkte)

Aufgabe 4 - Stochastik

In einer Urne befinden sich schwarze (s) und weiße (w) Kugeln. Ohne Zurücklegen wird zweimal nacheinander genau eine Kugel gezogen. Für das Zufallsexperiment gilt das untenstehende unvollständige Baumdiagramm.

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Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine weiße Kugel gezogen wird.

Ermittle die Anzahl der weißen und der schwarzen Kugeln, die sich vor dem Ziehen in der Urne befanden.

(1 + 4 Punkte)

(20 Punkte)

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Lösung 1 – Analysis

Im Intervall $[5;8]$ besitzt die Funktion $f$ eine Wendestelle, weshalb $\(f$ dort eine Extremstelle hat und nicht monoton ist.

Eine Nullstelle der Funktion $I$ ist $x_1=2.$
Anhand des Verlaufs des Graphen können die Größen der Teilflächen, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, miteinander verglichen werden.

Graph fünften Grades Nullstellen graphisch bestimmen

Hilfsskizze: Markierte Teilflächen, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt

Es gilt:

$I(3)= \displaystyle\int_{2}^{3}f(t)\;\mathrm dt \gt 0,$

$I(6)= \displaystyle\int_{2}^{6}f(t)\;\mathrm dt\lt 0$ und

$I(9)= \displaystyle\int_{2}^{9}f(t)\;\mathrm dt \gt 0.$

Wegen des Vorzeichenwechsels muss zwischen diesen Stellen je eine Nullstelle von $I$ liegen. Im Intervall $[2 ; 9]$ befinden sich folglich insgesamt drei Nullstellen.

Lösung 2 – Analysis

Gleichung einer quadratischen Funktion:

$g(x)=ax^2+bx+c$

Aus dem Schnittpunkt mit der Gerade $y$ folgt, dass die Gerade ebenfalls durch den Punkt $(0 \mid 1)$ verläuft.

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 1& \\[5pt] a\cdot 0^2+b\cdot 0+c&=& 1& \\[5pt] c&=&1 \end{array}$

Der Schnittwinkel von $90^{\circ}$ weist auf Orthogonalität hin. Für den Punkt $(0\mid 1)$ gilt also:

$\(g$

Eingesetzt in $\(g$ ergibt sich so:

$\(g$

Somit gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Extremstelle bestimmen:

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Da bereits vorausgesetzt ist, dass ein Extrempunkt existiert, ist das Prüfen der hinreichenden Bedingung hier nicht mehr nötig.

$\begin{array}[t]{rll} g\left(\dfrac{2}{a}\right)&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] a\cdot\left(\dfrac{2}{a}\right)^2-4\cdot \left(\dfrac{2}{a}\right)+1&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] a\cdot\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{8}{a}+1&=&\dfrac{2}{a} & \\[5pt] -\dfrac{4}{a}+1&=&\dfrac{2}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -4+a&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] a&=& 6 & \\[5pt] \end{array}$

Somit folgt: $g(x)=6x^2-4x+1$

Lösung 3 – Vektorielle Geometrie

Ein Normalenvektor von $E$ ist gegeben durch $\overrightarrow{n_E}=\pmatrix{3\\0\\-1}.$ Dieser stimmt mit dem Richtungsvektor von $g$ überein. Damit steht $g$ senkrecht zu $E.$

Gesucht ist eine Gerade, die durch den Schnittpunkt von $E$ und $g$ verläuft und parallel zu $h$ ist.

1. Schritt: Schnittpunkt bestimmen

Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot (7+3r)-(3-r)&=& -2 \\[5pt] 18+10r&=& -2 \quad \scriptsize \mid\; -18 \\[5pt] 10r&=& -20 \quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] r&=& -2 \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung von $g$ liefert die Koordinaten des Schnittpunktes:

$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{7\\3\\3} -2\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ $=\pmatrix{1\\3\\5}$

$S(1\mid 3 \mid 5).$

2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Der Schnittpunkt $S$ ist der Stützvektor der gesuchten Gerade. Da diese parallel zu $h$ verlaufen soll, hat sie den gleichen Richtungsvektor. Die gesuchte Geradengleichung lautet somit:

$\overrightarrow{x}= \pmatrix{1\\3\\5}+s\cdot \pmatrix{1\\2\\3}$

Lösung 4 – Stochastik

$P(E)=1-P(S S)=1-\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{7}$ $=\dfrac{41}{42}$

Die Variable $s$ bezeichnet die Anzahl der schwarzen Kugeln, die Variable $a$ die Anzahl aller Kugeln.

Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt $\dfrac{1}{6}.$ Es muss also $\dfrac{s}{a}=\dfrac{1}{6}$ gelten, daraus folgt $a=6s.$

Wenn im ersten Zug eine schwarze Kugel gezogen wurde, gilt für den zweiten Zug $\dfrac{s-1}{a-1}=\dfrac{1}{7}.$ Daraus folgt $7(s-1)=a-1.$

Einsetzen von $a=6s$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 7(s-1)&=& 6s-1 \\[5pt] 7s-7&=& 6s-1 \quad \scriptsize \mid\; +7 \\[5pt] 7s&=& 6s+6 \quad \scriptsize \mid\; -6s \\[5pt] s&=& 6 \end{array}$

Die Gesamtzahl der Kugeln ist folglich gegeben durch $a=6s=6\cdot 6=36.$

Vor dem Ziehen befanden sich $6$ schwarze und $36-6=30$ weiße Kugeln in der Urne.

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