A1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2$ mit $k\in\mathbb{R}.$

(1)

Begründe, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist.

(2)

Es gibt einen Wert von $k,$ für den $x = 1$ eine Wendestelle von $f_k$ ist.
Berechne diesen Wert von $k.$

(1 + 4 Punkte)

Eine Funktionenschar $f_k$ ist gegeben durch die Gleichung $f_k(x)=\dfrac{1}{k}\cdot x\cdot \mathbb{e}^{-k^2\cdot x},$ $x\in\mathbb{R},$ $k\in\mathbb{R},$ $k\neq0.$

(1)

Zeige rechnerisch: $\(f$

Im Folgenden kannst du verwenden: $\(f$

(2)

Zeige, dass $\dfrac{1}{k^2}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist, und untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\dfrac{1}{k^2}$ ein Minimum besitzen.

(2 + 3 Punkte)

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen $f(x)=(x-3)\cdot \mathbb{e}^x,$ $x\in\mathbb{R},$ $h(x)=x-3,$ $x\in\mathbb{R}.$

(1)

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h.$
[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x=0$ und $x=3.$ ]

(2)

Zwischen den Schnittstellen verläuft der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $f.$ Die Funktion $D(x)=(4-x)\cdot \mathbb{e}^x+0,5\cdot x^2-3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)= h(x)- f (x).$
Ermittle den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird.

(3 + 2 Punkte)

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F,$ wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_F$ von $F.$

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(1)

Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx.$

(2)

Bestimme grafisch näherungsweise den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1.$

(2 + 3 Punkte)

Gegeben sind die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\1\\-1}+r\cdot\pmatrix{1\\1\\-2},$ $r\in\mathbb{R}$ und die Ebene $E: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\1\\4}+s\cdot\pmatrix{4\\2\\3}+t\cdot\pmatrix{2\\0\\1},$ $s, t \in \mathbb{R}.$

(1)

Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft.

(2)

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E.$

(1 + 4 Punkte)

Gegeben sind die Punkte $A(-5\mid5\mid-3)$ und $B(-1\mid1\mid-1).$

Gib die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke $\overline{AB}$ an und bestimme eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von $\overline{AB},$ die parallel zur $x_1x_3$ -Ebene verläuft.

(5 Punkte)

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(1)

$f_{2}=x^4+(2-2)\cdot x^3-2\cdot x^2=x^4-2\cdot x^2$

Für die Symmetrie bezüglich der $y$ -Achse muss Folgendes gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f_{2}(-x)&=&f_{2}(x) & \\[5pt] (-x)^4-2\cdot (-x)^2&=&x^4-2\cdot x^2& \\[5pt] x^4-2\cdot x^2&=&x^4-2\cdot x^2& \end{array}$

Dadurch ist $f_{2}$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

(2)

1. Schritt: Zweite Ableitung bestimmen

Mit der Produktregel ergibt sich:

$\(f_k$

2. Schritt: Einsetzen von $x=1$

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

3. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

(1)

Mit der Produkt- und Kettenregel ergibt sich:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

(2)

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f_k$ für alle $k\neq 0$

Somit ist gezeigt, dass $\dfrac{1}{k^2}$ eine Extremstelle aller Funktionen dieser Schar ist.

3. Schritt: Bedingung für Minimum anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Daher haben alle Funktionen $f_k$ mit $k\lt0$ ein Minimum an der Stelle $x=\dfrac{1}{k^2}$ .

(1)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&h(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] (x-3)\cdot \mathrm{e}^x&=&x-3& \mid -(x-3)\\[5pt] (x-3)\cdot \mathrm{e}^x-(x-3)&=&0& \\[5pt] (x-3)\cdot(\mathrm{e}^x-1)&=&0& \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x-3=0$ und $\mathrm{e}^x-1=0.$

$\begin{array}[t]{rll} x-3&=&0 &\quad \scriptsize \mid +3 \\[5pt] x&=&3& \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \mathrm{e}^x-1&=&0&\quad \scriptsize \mid +1 \\[5pt] \mathrm{e}^x&=&1&\quad \scriptsize \mid \ln() \\[5pt] x&=&0& \end{array}$

Die beiden Schnittstellen der Graphen sind $x_1=3$ und $x_2=0$ .

(2)

Die Schnittstellen der beiden Funktionen geben die Intervallgrenzen an. Daher gilt für den Flächeninhalt:

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{3}d(x)\;\mathrm dx=\mathrm{e}^3-8,5$

Der Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen ist, beträgt $\mathrm{e}^3-8,5\;\text{[FE]}$ .

(1)

Am des Funktionsgraphen von $F(x)$ können die Werte direkt abgelesen werden. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=& \left[F(x)\right]_1^7&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&F(7)-F(5)& \\[5pt] &=&5-1& \\[5pt] &=&4 \;\text[FE]& \end{array}$

(2)

Die Ableitung $\(f$ an der Stelle $x$ ist gleich der Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x$ . Somit kann an den Graphen der Gunktion $F$ an der Stelle $x=1$ eine Tangente angelegt werden, deren Steigung dem Funktionswert von $f$ an dieser Stelle entspricht.

Die Steigung der Tangente ergibt sich als $4$ , womit $f(1)\approx 4$ gilt.

(1)

Es gilt:

$\pmatrix{1\\1\\-2}\circ \pmatrix{4\\2\\3}=1\cdot4+1\cdot2+(-2)\cdot3=0$

$\pmatrix{1\\1\\-2}\circ\pmatrix{2\\0\\1}=1\cdot2+1\cdot0+(-2)\cdot1=0$

Somit verläuft $g$ senkrecht zu $E.$

(2)

1. Schritt: Gleichsetzen von Geraden- und Ebenengleichung

$\pmatrix{2\\1\\-1}+r\cdot\pmatrix{1\\1\\-2}$ $=\pmatrix{0\\1\\4}+s\cdot\pmatrix{4\\2\\3}+t\cdot\pmatrix{2\\0\\1}$

Rechenweg anzeigen

Es ergibt sich: $s=-1$ , $r=-2$ und $t=2.$

2. Schritt: Einsetzen in die Geradengleichung

$\pmatrix{2\\1\\-1}+-2\cdot\pmatrix{1\\1\\-2}=\pmatrix{0\\-1\\3}$

Somit befindet sich der Schnittpunkt der Ebene $E$ und der Geraden $g$ bei $D(0\mid -1\mid 3).$

Der Mittelpunkt $M$ ergibt sich als:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=& \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\5\\-3}+\dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{4\\-4\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\3\\-2} \end{array}$

Da die Mittelsenkrechte parallel zur $x_1x_3$ -Ebene verläuft, hat sie die Form:

$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-3 \\3 \\-2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}a \\0 \\b\end{array}\right)$ mit $s \in R.$

Der Richtungsvektor der Mittelsenkrechten soll senkrecht auf $\overrightarrow{AB}$ stehen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \pmatrix{a\\0\\b}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{4\\-4\\2}\circ \pmatrix{a\\0\\b}&=& 0 \\[5pt] 4a+2b&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 2a+b&=& &\quad \scriptsize \mid\; -2a \\[5pt] b&=& -2a \end{array}$

Somit sind geeignete Werte $a=1$ und $b=-2$

Eine Gleichung der Mittelsenkrechten ist:

$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}-3 \\3 \\-2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\0 \\-2\end{array}\right)$ mit $s \in R.$

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