Aufgabe 5

Reisen mit dem Fernbus werden immer beliebter. Reiseanbieter werben mit günstigen Preisen und besonderem Komfort.

Für eine Städtereise stellt ein Busunternehmen einen Fernbus mit $59$ Plätzen bereit, die vor Reiseantritt gebucht und bezahlt werden. Im Mittel werden $95\,\%$ der Buchungen angetreten.

(1)

Erläutere, unter welcher Voraussetzung die Anzahl der angetretenen Buchungen bei einer Reise als binomialverteilt mit $p=0,95$ angenommen werden kann.

Im Folgenden wird die Anzahl der angetretenen Buchungen als binomialverteilt mit $p=0,95$ vorausgesetzt. Für einen bestimmten Reisetermin sind genau $59$ Buchungen vorgenommen worden.

(2)

Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

$E_{1}$ : Genau $59$ Buchungen werden angetreten.
$E_{2}$ : Mindestens $55$ Buchungen werden angetreten.

(3 + 6 Punkte)

Da erfahrungsgemäß nicht alle Buchungen angetreten werden, verkauft das Busunternehmen mehr Plätze als vorhanden sind. Für eine Städtereise mit $96$ Plätzen werden $99$ Buchungen vorgenommen (Überbuchung). Es wird unverändert angenommen, dass die Anzahl der angetretenen Buchungen binomialverteilt mit $p=0,95$ ist.

(1)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als eine Person ihre Reise wegen Überbuchung nicht antreten kann.

(2)

Bestimme die Anzahl der Buchungen, die das Busunternehmen bei einer Reise mit $96$ Plätzen höchstens bestätigen darf, um das Risiko, dass mindestens eine Person ihre Reise aufgrund der Überbuchung nicht antreten kann, auf $5 \,\%$ zu begrenzen.

Kann eine Person die Reise wegen Überbuchung nicht antreten, wird vom Busunternehmen der komplette Reisepreis von $20$ Euro zurückerstattet. Als Entschädigung wird zusätzlich ein Betrag von $300$ Euro ausgezahlt.

(3)

Beurteile, ob sich aus finanzieller Sicht die Praxis, $99$ Buchungen für eine Reise mit $96$ Plätzen zu bestätigen, für das Busunternehmen im Mittel lohnt.

(4 + 5 + 8 Punkte)

In der Werbung eines anderen Busunternehmens werden bisher Kunden damit gewonnen, dass bis kurz vor Reiseantritt eine kostenlose Stornierung der Buchung möglich ist. Aktuell liegt der Anteil der kurzfristig stornierten Buchungen bei $7\,\%$ .

Das Busunternehmen möchte diesen Anteil verringern und ändert die Vertragsbedingungen dahingehend, dass bei kurzfristigen Stornierungen ein Teil des Fahrpreises gezahlt werden muss. Es möchte die Vermutung absichern, dass durch diese Maßnahme der Anteil der kurzfristig stornierten Buchungen sinkt.

Die nächsten $1000$ Buchungen sollen auf diese Wirkung hin untersucht werden. Die Anzahl der kurzfristig stornierten Buchungen wird als binomialverteilt angenommen.

(1)

Gib begründet an, welche Nullhypothese aus der Sicht des Busunternehmens gewählt wird.

(2)

Bestimme die Anzahl der kurzfristig stornierten Buchungen, bis zu der das Busunternehmen auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ von einem Erfolg der Maßnahme ausgehen wird.

(3)

Bei einem Signifikanzniveau von $1\,\%$ lautet die Entscheidungsregel:

"Das Busunternehmen verwirft die Nullhypothese $H_0$ und geht von einem Erfolg der Maßnahme aus, falls die Anzahl der kurzfristig stornierten Buchungen höchstens $51$ beträgt."

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, falls aufgrund der Maßnahmen der Anteil der kurzfristig stornierten Buchungen nur noch $4 \,\%$ beträgt, und erläutere diesen Fehler im Sachzusammenhang.

(4 + 5 + 5 Punkte)

(1)

Jede Buchung wird mit der Wahrscheinlichkeit $p=0,95$ angetreten. Die Buchung wird unabhängig von anderen Buchungen angetreten.

(2)

$X$ : Anzahl der angetretenen Buchungen

$P(E_1)= P_{59;0,95}(X=59) \approx 0,0485$

$\begin{array}[t]{rll} P(E_2)&=& P_{59;0,95}(X\geq 55) & \\[5pt] &=& 1-P_{59;0,95}(X\leq54) & \\[5pt] &\approx& 0,8281 \end{array}$

(1)

$X$ : Anzahl der angetretenen Buchungen

$P_{99; 0,95}(98 \leq X\leq 99) \approx 0,0387$

(2)

$X$ : Anzahl der angetretenen Buchungen

Gesucht wird die größte Anzahl $n$ der bestätigten Buchungen, sodass gilt:

$P_{n; 0,95}(X\geq 97) \leq 0,05$

Der Taschenrechner liefert $P_{98; 0,95}(X\geq 97) \approx 0,0404$ und $P_{99; 0,95}(X\geq 97) \approx 0,1225$ , demnach darf das Unternehmen höchstens 98 Buchungen bestätigen, um das Risiko der Überbuchung auf $5\,\%$ zu begrenzen.

(3)

Es werden 99 Buchungen für 96 Plätze bestätigt.

Erwartete Kosten K für Erstattung und Entschädigung:

Rechenweg anzeigen

$K \approx 53,54 \,€$

Zusatzeinnahmen durch Überbuchung :

$E= 3 \cdot 20\,€ =60\,€$

Bei der beschriebenen Praxis entstehen im Mittel ein Gewinn von $6,46 \,€$ für das Busunternehmen. Die Praxis lohnt sich aus finanzieller Sicht im Mittel.

(1)

Bisher lag der Anteil der kurzfristigen Stornierungen bei $7\,\%$ . Das Busunternehmen möchte seine Vermutung $H_1 : p \lt 0,07$ absichern und nur bei signifikanten Abweichungen vom bisherigen Wert $p\geq 0,07$ zur Vermutung übergehen.

Es wird $H_0:p\geq 0,07$ als Nullhypothese getestet.

(2)

$X$ : Anzahl der Buchungen, die kurzfristig storniert werden.

Das Busunternehmen wird wegen $P_{1000; 0,07}(X\leq 56) \approx 0,0437$ und $P_{1000; 0,04}(X\geq 57) \approx 0,0574$ von einem Erfolg der Maßnahme ausgehen, falls die Anzahl der kurzfristig stornierten Buchungen höchstens 56 beträgt.

(3)

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art liegt bei $P_{1000; 0,004}(X\geq 52) \approx 0,0357$ .

Zufällig werden in der Stichprobe mehr als 51 Buchungen kurzfristig storniert. Die Nullhypothese wird nicht verworfen, obwohl der Anteil der kurzfristig stornierten Buchungen nur noch 4% beträgt.