Aufgabe 4

Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der $x_1-x_2$ -Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte
$O(0\mid0\mid0), A(\sqrt{2}\mid0\mid0), B(\sqrt{2}\mid1\mid0) \text{ und } C(0\mid1\mid0)$ sowie der Punkt $D(1\mid1\mid0)$ .¹
Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke $\overline{OD}$ gefaltet. Das Dreieck $ODC$ bleibt dabei fest, während das Viereck $OABD$ in das Viereck $OA‘B‘D$ übergeht, das wieder in der $x_{1}-x_{2}-$ Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt.
Zur Veranschaulichung kann ein DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

Grafik mit zwei Abbildungen von geometrischen Formen in grün und Achsenbeschriftungen.

¹Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes B von der Geraden OD.

(8P)

Die Ecke des Blattes, die durch das Falten aus der Position A in die Position A‘ gebracht wird, bewegt sich bei dem Faltvorgang auf einem Halbkreis in einer Ebene E (siehe Abbildung 1 bis 4).

Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene E in Parameterform und in Normalenform her.
[Zur Kontrolle eine Koordinatengleichung: $E: x_{1} + x_{2} = \sqrt{2}$ ]
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Ebene E mit der Geraden OD.
[Zur Kontrolle: S $\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}\mid\frac{1}{2}\sqrt{2}\mid0\right)$ ]

(7P + 4P)

Während des Faltvorgangs liegt das beim Falten bewegte Papier-Viereck stets in einer Ebene $E_k$ der durch $E_k: x_1-x_2+k\cdot x_3=0, k\in \mathbb{R}$ , gegebenen Ebenenschar. Vorher und nachher liegt es jeweils in der $x_1-x_2$ -Ebene (siehe Abbildung 1 bis 4.)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Gerade OD in jeder Ebene $E_k$ der Ebenenschar liegt.
Begründen Sie, dass die Ebene E aus b) senkrecht zu jeder Ebene $E_k, k\in \mathbb{R}$ , ist.

Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papier-Viereck auch in die Position des Vierecks $OA^*B^*D$ gebracht, das in einer sowohl zur $x_1-x_2$ -Ebene als auch zur Ebene $E$ senkrechten Ebene $E‘$ liegt (siehe Abbildung 3).

Berechnen Sie den Wert des Parameters k, für den $E_k=E^*$ ist.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $A^*$ .

Diagramm mit geometrischen Formen und Achsen, dargestellt in grüner Farbe auf schwarzem Hintergrund.

(4P + 5P + 3P + 6P)

Während des Faltvorgangs kommt das beim Falten bewegte Papier-Viereck auch in die Position des Vierecks OA‘‘B‘‘D, dessen Punkt A‘‘ in der Ebene $x_2=1$ liegt.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes A‘‘.
$[$ Zur Kontrolle: $A‘‘\left(\sqrt{2}-1\mid1\mid\sqrt{2\sqrt{2}-2}\right)]$
Zeigen Sie, dass das Dreieck OCA‘‘ gleichschenklig rechtwinklig ist.

Grafische Darstellung von geometrischen Formen mit Achsen und Beschriftungen. Abbildung 4.

(7P + 6P)

$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ angeben

Ein DIN-A4-Blatt wird entlang der Strecke $\overline{OD}$ wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Bestimme den Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ .

Mathematische Abbildung mit zwei grünen Figuren in einem 3D-Koordinatensystem.

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden entspricht der kürzesten Strecke, die den Punkt mit der Geraden verbindet.

Diagramm mit Koordinatensystem und einem rechten Winkel bei Punkt P.

Diese Strecke muss folglich senkrecht auf der Geraden stehen. Daher entspricht der gesuchte Abstand gerade der Länge der Strecke $\overline{PB}$ .

Um die Länge dieser Strecke $\overline{PB}$ zu bestimmen, kannst du eine Hilfsgerade $h$ so konstruieren, dass sie senkrecht zur Geraden $OD$ verläuft und den Punkt $B$ enthält.
Bestimme den Schnittpunkt $P$ der Hilfgeraden $h$ und der Geraden $OD$ .

Hast du diesen bestimmt, so kannst du die Länge der Strecke $\overline{PB}$ mit Hilfe des Betrags bestimmen.

Den Betrag einer Strecke $\overline{AB}$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ kannst du folgendermaßen bestimmen:

$\mid \overline{AB} \mid \;=\; \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$

1. Schritt: Hilfsgerade $h$ konstruieren

Bevor wir die Geradengleichung für $h$ angeben können, ist es hilfreich, zuerst die Geradengleichung zu $OD$ aufzustellen:

$OD:\overrightarrow{x}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;\;u \in \mathbb{R}$

Um die Gleichung der Hilfsgeraden $h$ zu bestimmen, gehen wir zunächst von einer allgemeinen Geradengleichung aus:

$h: \overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u};\;u\in \mathbb{R}$

Dabei ist $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ der Richtungsvektor. Für den Stützvektor $\overrightarrow{p}$ kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert auf der Geraden $h$ liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $B(\sqrt{2} \mid 1 \mid 0)$ an. Du erhältst also folgenden Stützvektor:

$\overrightarrow{p}\;=\; \begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

Soll die Hilfsgerade $h$ senkrecht zur Geraden $OD$ sein, so muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich Null sein. Das heißt, es muss gelten:

$0\;=\;\begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;1 \cdot u_1 + 1 \cdot u_2 + 0 \cdot u_3 \;=\;u_1+u_2 \Leftrightarrow u_2\;=\;-u_1$

Damit das Skalarprodukt gleich Null ist, muss folglich $u_2\;=\;-u_1$ gelten. Du kannst hier jeden beliebigen Wert für $u_1$ wählen. Da die Gerade $OD$ und der Punkt $B$ in der $x_1-x_2-$ Ebene liegen, sollte ebenfalls $u_3\;=\;0$ gelten.
Wir wählen, um die Rechnung möglichst einfach zu halten, $u_1\;=\;1$ und erhalten dann folgende Geradengleichung zur Hilfsgeraden $h$ :

$h: \overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix};\;t\in \mathbb{R}$

2. Schritt: Schnittpunkt $P$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Geraden $OD$ bestimmen

Die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ der Hilfsgeraden $h$ und der Geraden $OD$ kannst du bestimmen, indem du die beiden Geradengleichungen gleichsetzt:

$\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, durch welches du Werte für die Parameter $t$ und $u$ ermitteln kannst:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ &1-t&\;=\;&u&&& \mid\; Ⅱ -Ⅰ \\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ a&1-\sqrt{2}-2 \cdot t&\;=\;&0&&& \mid\; +2 \cdot t\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ b&1-\sqrt{2}&\;=\;&2 \cdot t&&& \mid\; :2\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \hline Ⅰ & \sqrt{2} +t&\;=\;&u\\ Ⅱ b&\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})&\;=\;&t&&&\\ Ⅲ &0&\;=\;&0\\ \end{array}$

$\Rightarrow u=\sqrt{2} +t=\sqrt{2} +\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})\;=\;\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$

Es muss also $u\;=\;\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ bzw. $t\;=\;\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})$ gelten. Setze entweder den Parameterwert für $t$ in die Hilfsgeradengleichung oder den Parameterwert für $u$ in die Geradengleichung zu $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten von $P$ .

$\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$

Jetzt kannst du die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ vollständig angeben mit:
$P(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\mid \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\mid 0)$

3 Schritt: Abstand zwischen $B$ und der Geraden $OD$ berechnen

Zuvor hast du überlegt, dass der Abstand des Punktes $B$ zur Geraden $OD$ gerade dem Abstand den Punktes $P$ zum Punkt $B$ entspricht. Berechne also:

$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \mid \overline{PB} \mid=&\sqrt{(b_1-p_1)^2+(b_2-p_2)^2+(b_3-p_3)^2}& \\ =&\sqrt{\left(1-\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2+\left(1-\left(\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2+(0-0)^2}& \\ =&\sqrt{\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2})^2+\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)\right)^2}& \\ =&1- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \approx 0,2929& \\ \end{array}$

Damit hat der Punkt $B$ einen Abstand von $1- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\approx 0,2929$ LE zur Geraden OD.

$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform angeben

Das Blatt in der $x_1-x_2-$ Ebene wird wie in Abbildung 1 und 2 gefaltet. Beim Faltvorgang „wandert“ der Punkt $A$ in die Position $A‘$ . Dabei bewegt sich der Punkt entlang eines Halbkreises. Die Ebene $E$ soll diesen Halbkreis enthalten und senkrecht zur $x_1-x_2-$ Ebene stehen.

Deine Aufgabe ist es, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Parameterform anzugeben.
Eine Ebenengleichung in Parameterform sieht wie folgt aus:

$E:\overrightarrow{x}\;=\;\overrightarrow{p} +r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v};\;r,s\in\mathbb{R}$

Der Vektor $\overrightarrow{p}$ wird Stützvektor genannt, $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ sind die linear unabhängigen Spannvektoren der Ebene $E$ .

Stelle die gesuchten Stütz- und Spannvektoren auf, um eine Ebenengleichung in Parameterform zu erhalten.

1. Schritt: Stützvektor der Ebene $E$ aufstellen

Für den Stützvektor kannst du die Koordinaten eines Punktes verwenden, der garantiert in der Ebene liegt. Hier bietet sich beispielweise der Punkt $A(\sqrt{2} \mid 0 \mid 0)$ an. Es ergibt sich also:

$\overrightarrow{p}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

2. Schritt: Spannvektor $\overrightarrow{u}$ der Ebene $E$ aufstellen

Da in der Aufgabenstellung verlangt wird, dass die Ebene $E$ senkrecht auf der $x_1-x_2-$ Ebene steht, kannst du einen der Spannvektoren direkt angeben, der diese Bedingung erfüllt:

$\overrightarrow{u}\;=\; \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

3. Schritt: Spannvektor $\overrightarrow{v}$ der Ebene $E$ aufstellen

Sollen weiterhin die Punkte $A$ und $A‘$ in der Ebene $E$ enthalten sein, so muss auch ihre Verbindungsstrecke in der Ebene $E$ liegen. Das heißt, du kannst den Vektor $\overrightarrow{AA‘}$ als zweiten Spannvektor verwenden.

$\overrightarrow{v}\;=\; \overrightarrow{AA‘}\;=\;\overrightarrow{A‘}-\overrightarrow{A}$

Offensichtlich benötigen wir die Koordinaten des Punktes $A‘$ , um den zweiten Spannvektor angeben zu können. Anhand Abbildung 3 kannst du die Koordinaten ablesen. Der Punkt $A‘$ hat die Koordinaten $A‘(0 \mid \sqrt{2} \mid 0)$ . Damit kannst du nun den Vektor $\overrightarrow{v}\;=\;\overrightarrow{AA‘}$ bestimmen:

$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \overrightarrow{v}=&\overrightarrow{A‘}-\overrightarrow{A} \;=\;\begin{pmatrix} 0\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$

4. Schritt: Aufgestellte Vektoren in Ebenengleichung einsetzen

Einsetzen des Stützvektors $\overrightarrow{p}$ und der Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ in die allgemeine Form einer Ebenengleichung in Parameterform liefert dir die gesuchte Gleichung:

$E:\overrightarrow{x}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix};\;r,s \in \mathbb{R}$

$\blacktriangleright$ Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform angeben

Die Normalenform einer Ebenengleichung kannst du allgemein wie folgt angeben:

$E: (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n}$

Dabei ist $\overrightarrow{p}$ der Stützvektor und $\overrightarrow{n}$ der Normalenvektor der Ebene. Beim Stützvektor kannst du wie zuvor vorgehen: Wähle einen Punkt, der garantiert in der Ebene $E$ liegt und verwende dessen Koordinaten für den Stützvektor. Du kannst hier beispielsweise denselben Stützvektor $\overrightarrow{p}$ wählen, den du bereits bei der Parameterform gewählt hast.
Letztlich benötigst du nur noch den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ . Dafür bieten sich zwei Möglichkeiten an:

A:	Stelle die Ebenengleichung in Koordinatenform auf, denn an dieser kannst du den Normalenvektor direkt ablesen.
B:	Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene $E$ stehen soll, muss dieser auch senkrecht auf den beiden Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ aus der Parameterform stehen. Bilde das Kreuzprodukt der Spannvektoren, denn es gilt: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{n}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Koordinatenform

Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist allgemein von der Form:

$E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3\;=\;d$

Hast du bereits eine Ebenengleichung der Ebene in Parameterform, so kannst du die Koordinatenform ermitteln, indem du die Ebenengleichung in Parameterform mit $x_1$ , $x_2$ und $x_3$ wie folgt gleichsetzt:

$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +s \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$

Daraus erhältst du ein lineares Gleichungssystem, bei welchem du die Parameter $r$ und $s$ eliminieren musst, um die Koordinatenform zu erhalten.

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &x_1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &x_2&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &x_3&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s\\ \hline \color{red}{Ⅰ a}&\color{red}{x_1+x_2}&\color{red}{\;=\;}&\color{red}{\sqrt{2}}\\ Ⅱ &x_2&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s&\\ Ⅲ &x_3&\;=\;&r&\\ \end{array}$

In der Gleichung $\color{red}{Ⅰ a}$ sind nun beide Parameter eliminiert. Das heißt, die Ebenengleichung zur Ebene $E$ in Koordinatenform lautet:

$E: \color{red}{1}\cdot x_1+\color{red}{1}\cdot x_2 + \color{red}{0}\cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$

Hier kannst du den Normalenvektor direkt ablesen mit:

$\overrightarrow{n}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kreuzprodukt

Da der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ senkrecht auf beiden Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ stehen soll, kannst du deren Kreuzprodukt bilden:

$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 0 \cdot 0&-&1 \cdot \sqrt{2}\\ 1 \cdot (-\sqrt{2})&-&0 \cdot 0\\ 0 \cdot \sqrt{2}&-&0 \cdot (-\sqrt{2}) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}& \\ \end{array}$

Da bei einem Normalenvektor nur dessen Richtung und nicht dessen Länge relevant ist, kannst du diesen wie folgt vereinfachen:

$\overrightarrow{n}\;=\;\begin{pmatrix} -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}\;=\;-\sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\mathrel{\widehat{=}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ In allgemeine Normalenform einsetzen:

Da du den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ bestimmt hast und den Stützvektor aus der Parameterform wiederverwenden kannst, ergibt sich folgende Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform:

$E: (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}) \circ \overrightarrow{n}\;=\;\left(\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix} \sqrt{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunktes $S$ bestimmen

Die Gerade $OD$ schneidet die Ebene $E$ in einem Punkt $S$ . Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu ermitteln, kannst du die Geradengleichung komponentenweise in die zuvor bestimme Ebenengleichung in Parameterform einsetzen. Gehe also wie folgt vor:

Setze diese Geradengleichung komponentenweise in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach dem Parameter $u$ auf. Dadurch erhältst du einen Wert für den Parameter $u$ .
Setze diesen Parameterwert für $u$ anschließend in die Geradengleichung von $OD$ ein. Das liefert dir die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes $S$ .

1. Schritt: Geradengleichung von $OD$ mit Ebenengleichung von $E$ gleichsetzen

Komponentenweise Gleichsetzen der Geradengleichung mit der Ebenengleichung von $E$ liefert dir folgendes lineares Gleichungssystem, welches du nach $u$ auflösen sollst:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &u \cdot 1&\;=\;&\sqrt{2}&+&0 \cdot r&-&\sqrt{2} \cdot s&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &u \cdot 1&\;=\;&0&+&0 \cdot r&+&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&0&+&1 \cdot r&+&0 \cdot s&\\ \hline Ⅰ a&2 \cdot u&\;=\;&\sqrt{2}&\mid\; :2\\ Ⅱ &u&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&r&\\ \hline Ⅰ b&u&\;=\;&\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}&\\ Ⅱ &u&\;=\;&\sqrt{2} \cdot s\\ Ⅲ &0&\;=\;&r&\\ \end{array}$

Du erhältst $u\;=\; \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ .

2. Schritt: Parameter $u$ in Geradengleichung von $OD$ einsetzen

Einsetzen von $u\;=\; \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$ in die Geradengleichung zu $OD$ liefert dir die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ :

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;=\; \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\\ 0 \end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt $S$ besitzt die Koordinaten $S( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2} \mid 0 )$ .

$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass Gerade $OD$ in jeder Ebene der Ebenenschar liegt

Während des Faltvorgangs liegt das bewegte Papierviereck immer in einer Ebene der Ebenenschar mit der Ebenengleichung

$E_k:x_1-x_2+k \cdot x_3\;=\;0;\;k \in \mathbb{R}.$

Weise rechnerisch nach, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt.

Willst du zeigen, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt, so kannst du die Gleichung der Gerade in die Gleichung der Ebenenschar einsetzen. Löse nach deren Parametern $u$ und $k$ auf. Ergibt sich hierbei eine wahre Aussage für alle $u$ und $k$ , so liegt die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ .

Die Gleichung der Gerade $OD$ hast du zuvor bereits aufgestellt mit:

$OD:\overrightarrow{x}\;=\; u \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\;\;u \in \mathbb{R}$

Komponentenweise Einsetzen liefert dir:

$0\;=\;1 \cdot u-1 \cdot u+k \cdot 0\;=\;u-u$

In diese Gleichung kannst du jeden beliebigen Wert für den Parameter $u$ bzw. $k$ einsetzen. Das heißt, es liegt immer eine wahre Aussage vor und damit gilt, dass die Gerade $OD$ in jeder Ebene $E_k$ liegt.

$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass die Ebene $E$ senkrecht zu jeder Ebene der Ebenenschar ist

Die Ebene $E$ hat laut Teilaufgabe b) folgende Ebenengleichung:

$E: \color{red}{1}\cdot x_1+\color{red}{1}\cdot x_2 + \color{red}{0}\cdot x_3\;=\;\sqrt{2}$

Willst du zeigen, dass die Ebene senkrecht zu jeder Ebene $E_k$ ist, so kannst du zeigen, dass die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ senkrecht zueinander sind. Das heißt, ihr Skalarprodukt ist gleich Null.

Die Normalenvektoren $\overrightarrow{n_E}$ und $\overrightarrow{n_{Ek}}$ der Ebene $E$ und $E_k$ kannst du anhand der Koordinatenform direkt ablesen:

$\overrightarrow{n_E}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix};\;\overrightarrow{n_{Ek}}\;=\;\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix}$

Bildest du das Skalarprodukt der Normalenvektoren, so erhältst du:

$\overrightarrow{n_E} \circ \overrightarrow{n_{Ek}}\;=\; \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix}\;=\;1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot k\;=\; 1-1\;=\;0$

Damit hast du gezeigt, dass das Skalarprodukt der Normalenvektoren für jedes $k$ gleich Null ist. Folglich steht die Ebene $E$ senkrecht auf allen Ebenen der Schar $E_k$ .

$\blacktriangleright$ Parameter $k$ für $E_k$ bestimmen, sodass $E_k=E^*$ gilt

Grafik mit geometrischen Formen und Achsenbeschriftungen in grüner Farbe.

Während des Faltvorgangs nehmen die Punkte $A$ und $B$ die Positionen $A^*$ und $B^*$ ein.

Eine neue Ebene $E^*$ soll nun das daraus entstehende Viereck $OA^*B^*D$ enthalten. Weiterhin ist $E^*$ eine Ebene der Ebenenschar $E_k$ und senkrecht zur $x_1-x_2-$ Ebene.

Deine Aufgabe ist es, einen Parameterwert für $k$ zu ermitteln, sodass $E_k=E^*$ gilt.

Soll $E^*$ senkrecht zur $x_1-x_2-$ Ebene sein, kannst du verwenden, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors der $x_1-x_2-$ Ebene und des Normalenvektors der Ebene $E^*$ gleich Null sein muss. In mathematischen Formeln ausgedrückt heißt das:

$\overrightarrow{n_{x_1x_2}} \circ \overrightarrow{n_{E^*}} \;=\; 0$

Da dir der Normalenvektor $\overrightarrow{n_{E^*}}$ nicht bekannt ist, aber $E^*$ eine Ebene der Schar $E_k$ ist, kannst du den Normalenvektor der Ebenenschar $E_k$ verwenden und so einen passenden Wert für den Parameter $k$ ermitteln.

$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 0&\overrightarrow{n_{x_1x_2}} \circ \overrightarrow{n_{Ek}}& \\ 0&\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ k \end{pmatrix} \;=\; 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot k \;=\; k& \\ \end{array}$

Folglich muss $k\;=\;0$ gelten, damit die Bedingung erfüllt wird. Das heißt, für $k\;=0\;$ gilt $E_k=E^*$ . Die Ebene $E^*$ halt also folgende Ebenengleichung in Koordinatenform:

$E^*=E_0:x_1-x_2+0 \cdot x_3\;=\;0$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $A^*$ ermitteln

Der Punkt $A^*$ liegt laut Voraussetzung in den Ebenen $E$ und $E^*$ . Folglich muss dieser Punkt ebenfalls auf der Schnittgeraden $h$ der Ebenen liegen.
Im Punkt $S$ schneidet die Ebene $E$ die Gerade $OD$ , an welcher das Blatt gefaltet wird. Durch das Falten bewegt sich der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ und nimmt entlang dieses Halbkreises die Position $A^*$ ein. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A^*$ , es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid$ .

Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A^*$ zu bestimmen:

Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$ . (Dadurch erhältst du zunächst die erste und zweite Koordinate von $A^*$ ).
Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.

1. Schritt: Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E^*$ bestimmen

Die Schnittgerade erhältst du, indem du beide Ebenengleichungen in einem linearen Gleichungssystem auflöst.

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &0&\;=\;&x_1&-&x_2&&&\mid\; Ⅰ +Ⅱ \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&x_1&+&x_2&&\\ \hline Ⅰ a&\sqrt{2}&\;=\;&2 \cdot x_1&&&&&\mid\; :2 \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&x_1&+&x_2&&\\ \hline Ⅰ b&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_1&&&&&\text{In } Ⅱ \text{ einsetzen} \\ Ⅱ &\sqrt{2}&\;=\;&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&+&x_2&&&\mid\; -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\\ \hline Ⅰ b&\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_1&&&&&\\ Ⅱ &\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}&\;=\;&x_2&&&&&\\ \end{array}$

Damit sind die $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten der Geradengleichung fest. Da über die $x_3$ -Koordinate keine Aussage gemacht werden kann, kannst du für diese jeden beliebigen Wert einsetzen. Wir setzen also $x_3\;=\;t$ und erhalten die Gleichung der Schnittgeraden $h$ mit:

$h:\overrightarrow{x}\;=\;t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$

Da der Punkt $A^*$ auf der Schnittgeraden $h$ liegt, kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ angeben mit:

$A^*(0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1 \cdot t+ 0)\;=\;(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid t)$

2. Schritt: Verwenden, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S} \mid$ gelten muss

Offensichtlich ist nur noch die $x_3$ -Koordinate vom Parameter $t$ abhängig. Einen passenden Wert für $t$ kannst du mit Hilfe der Bedingung $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A^*S}\mid$ bestimmen.

Den Betrag $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ kannst du bereits berechnen, da dir die Koordinaten beider Punkte bekannt sind:

$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} \mid \overrightarrow{AS}\mid=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}- \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-0\right)^2+(0-0)^2}&\\ =&\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+0^2}& \\ =&\sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}}&\\ =&\sqrt{1}\;=\;1& \\ \end{array}$

Damit gilt $\mid \overrightarrow{AS}\mid=1$ und wir können diese Bedingung im Folgenden weiterverwenden:

$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 1 \;\stackrel{!}{=}\;\mid \overrightarrow{A^*S}\mid=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2+(0-t)^2}& \\ =&\sqrt{0^2+0^2+t^2}& \\ =&\sqrt{t^2}& \\ =&t& \\ \end{array}$

Damit muss $t=1$ gelten. Nun kannst du die Koordinaten des Punktes $A^*$ vollständig angeben: $A^*(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \mid 1)$

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten des Punktes $A‘‘$

Grafische Darstellung geometrischer Elemente mit Achsen und Beschriftungen in grün und grau.

Beim Faltvorgang erreicht das Papierviereck die Position OA‘‘B‘‘D. Die Koordinaten des Punktes $A‘‘$ sind teilweise bekant mit:
$(x_1 \mid 1 \mid x_3)$ .

Deine Aufgabe ist es, die vollständigen Koordinaten des Punktes $A‘‘$ anzugeben.

In einem Aufgabenteil zuvor hast du eine Ebene $E$ ermittelt, in der sich der Halbkreis befindet, auf dem sich der Ausgangspunkt $A$ entlang bewegt. Diese Ebene hat die folgende Ebenengleichung:

$E:x_1+x_2=\sqrt{2}$

Daher muss auch der gesuchte Punkt $A‘‘$ in dieser Ebene liegen. Das heißt, der Punkt $A‘‘$ liegt auf der Schnittgeraden der Ebene $E$ und der Ebene $x_2=1$ .

Weiterhin kannst du verwenden, dass sich durch das Falten der Punkt $A$ entlang eines Halbkreises um den Punkt $S$ bewegt und entlang dieses Halbkreises die Position $A‘‘$ einnimmt. Das heißt, der Punkt $A$ hat den selben Abstand zum Punkt $S$ wie der gesuchte Punkt $A‘‘$ , es gilt also $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A‘‘S}\mid$ .
Du kann also wie folgt vorgehen, um die Koordinaten des Punktes $A‘‘$ zu bestimmen:

Bestimme die Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $x_2\;=\;1$ . (Dadurch erhältst du zunächst die erste Koordinate von $A‘‘$ ).
Verwende, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A‘‘S} \mid$ gilt, um die dritte Koordinate zu bestimmen.

1. Schritt: Schnittgerade $h$ der Ebenen $E$ und $E‘‘$ bestimmen

Die Schnittgerade erhältst du, indem du beide Ebenengleichungen in einem linearen Gleichungssystem auflöst.

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} Ⅰ &x_2&\;=\;&1&&&&\\ Ⅱ &x_1+x_2&\;=\;&\sqrt{2}&&&&& \mid\; Ⅱ -Ⅰ \\ \hline Ⅰ &x_2&\;=\;&1&&&&\\ Ⅱ a&x_1&\;=\;&\sqrt{2}-1&&&&&\\ \end{array}$

$h:\overrightarrow{x}\;=\;t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$

Da der Punkt $A‘‘$ auf der Schnittgeraden $h$ liegt, kannst du die Koordinaten des Punktes $A‘‘$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ angeben mit:

$A‘‘(0 \cdot t + \sqrt{2}-1 \mid 0 \cdot t + 1 \mid 1 \cdot t+ 0)\;=\;(\sqrt{2}-1 \mid 1 \mid t)$

2. Schritt: Verwenden, dass $\mid \overrightarrow{AS}\mid \;=\; \mid \overrightarrow{A‘‘S} \mid$ gelten muss

Den Betrag $\mid \overrightarrow{AS}\mid$ hast du bereits zuvor berechnet und es gilt $\mid \overrightarrow{AS}\mid=1$ . Wir können diese Bedingung im Folgenden weiterverwenden:

$\begin{array}{r@{ \;=\; }l@{\hspace{1cm}}l} 1 \;\stackrel{!}{=}\;\mid \overrightarrow{A‘‘S}\mid&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\left(\sqrt{2}-1\right)\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-1\right)^2+(0-t)^2}& \\ 1&\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-1\right)^2+t^2}& \\ 1&\sqrt{t^2-2 \cdot \sqrt{2}+3}& \mid\; (...)^2 \\ 1&t^2-2 \cdot \sqrt{2}+3& \mid\; +2 \cdot \sqrt{2}-3 \\ 2 \cdot \sqrt{2}-2&t^2& \mid\; \sqrt{(...)} \\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2}&t& \\ \end{array}$

Damit muss $t=\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2}$ gelten. Nun kannst du die Koordinaten des Punktes $A‘‘$ vollständig angeben: $A‘‘(\sqrt{2}-1 \mid 1 \mid \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\approx(0,414 \mid 1 \mid 0,910)$

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $OCA‘‘$ gleichschenklig rechtwinklig ist

Zeige, dass das Dreieck $OCA‘‘$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:

Rechtwinklig: Soll das Dreieck $OCA‘‘$ rechtwinklig sein, so kannst du zeigen, dass das Skalarprodukt zweier Kantenvektoren gleich Null ist.
Gleichschenklig: Damit ein Dreieck gleichschenklig ist, müssen zwei Kanten gleich lang sein. Zeige also, dass der Betrag zweier Kantenvektoren übereinstimmt.

Zeigen, dass das Dreieck $OCA‘‘$ rechtwinklig ist

Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn zwei Kantenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Ist das der Fall, so ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Gib zunächst die Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OA‘‘}$ und $\overrightarrow{CA‘‘}$ des Dreieck $OCA‘‘$ an:

$\overrightarrow{OC}\;=\;\overrightarrow{C}-\overrightarrow{O}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{OA‘‘}\;=\;\overrightarrow{A‘‘}-\overrightarrow{O}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA‘‘}\;=\;\overrightarrow{A‘‘}-\overrightarrow{C}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}$

Berechne nun die Skalarprodukte $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{OA‘‘}$ , $\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{CA‘‘}$ und $\overrightarrow{CA‘‘} \circ \overrightarrow{OA‘‘}$ :

$\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{OA‘‘}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\;=\;0 \cdot (\sqrt{2}-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\;=\;1$
$\overrightarrow{OC} \circ \overrightarrow{CA‘‘}\;=\;\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix} \;=\; 0 \cdot (\sqrt{2}-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})\;=\;0$
$\overrightarrow{CA‘‘} \circ \overrightarrow{OA‘‘}\;=\;\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\;=\; (\sqrt{2}-1)^2 +0 \cdot 1 + (\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2\;=\;1$

Damit ist das Skalarprodukt der Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$ und $\overrightarrow{CA‘‘}$ gleich Null. Folglich ist das Dreieck $OCA‘‘$ rechtwinklig.

Zeigen, dass das Dreieck $OCA‘‘$ gleichschenklig ist

Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei Kanten gleich lang sind. Berechne also die Beträge der Vektoren und überprüfe, ob das der Fall ist:

$\mid \overrightarrow{OC} \mid \;=\;\left| \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{0^2 +1^2 +0^2} \;=\; 1$
$\overrightarrow{OA‘‘}\;=\; \left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 1\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+1^2 +(\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2}\;=\;\sqrt{2}$
$\overrightarrow{CA‘‘}\;=\;\left| \begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ 0\\ \sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2} \end{pmatrix}\right| \;=\; \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+0^2 +(\sqrt{2 \cdot \sqrt{2}-2})^2}\;=\;1$

Damit sind die Kantenvektoren $\overrightarrow{OC}$ und $\overrightarrow{CA‘‘}$ gleich lang. Folglich ist das Dreieck $OCA‘‘$ gleichschenklig.