Analysis 2

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=\frac{1}{a^3}x^3-\frac{1}{a}x^2+x$ und $a\in\mathbb{R}, a>0.$

(1)

Berechne die Stellen, an denen der Graph von $f_4$ eine Steigung von $-\frac{1}{4}$ hat.

(2)

Bestimme den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2\mid 2)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

(3)

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_{2}.$

(4)

Die Gleichung $f_a(x)=0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $0$ und $\frac{a^2+\sqrt{a^3(a-4)}}{2}$ und $\frac{a^2-\sqrt{a^3(a-4)}}{2},$ wobei die Lösung $0$ nicht mit den anderen beiden Lösungen zusammenfallen kann.

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe deine Angabe anhand der obigen Terme.

(5)

Im Folgenden gilt $0\lt a\lt4.$

Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion $f_a$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=x,$ die den Graphen in den Punkten $O(0\mid 0)$ und $P(u_a\mid f_a(u_a))$ schneidet. Die Gerade $g,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=u_a$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.

Abb. 1

Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:

$f_a(x)=x \Leftrightarrow x=0\lor x=a^2.$
$\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot f_a(a^2)$ $=3\cdot\displaystyle\int_{0}^{a^2}(x-f_a(x))\;\mathrm dx\Leftrightarrow a=2.$

Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung $a=2$ geometrisch.

(6)

Im Folgenden gilt $a=4.$ Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $f_4.$

Abb. 2

$h$ ist die Funktion, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von $f_4$ an der $x$ -Achse entsteht.

(i)

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen von $h$ sowie die Fläche $A,$ die von $x=0$ bis $x=12$ zwischen den Graphen von $f_4$ und $h$ liegt.

(ii)

Berechne den Inhalt der Fläche $A.$

(7)

(i)

Bestimme rechnerisch die beiden lokalen Extremstellen von $f_4.$

(ii)

Der Graph der Funktion $s$ ist die Gerade, die durch die beiden lokalen Extrempunkte des Graphen von $f_4$ verläuft.

Bestimme eine Gleichung von $s.$

(iii)

Es gilt: $\displaystyle\int_{\frac{8}{3}}^{8}(f_4(x)-s(x))\;\mathrm dx=0.$
Interpretiere diese Aussage geometrisch.

(3 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 6 Punkte)

Für ein Umweltschutzprojekt soll eine Unterwasserdrohne $U$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegt sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeit lässt sich für $0\leq t\leq 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v$ beschreiben, wobei gilt:

$v(t)=-\frac{6}{25}t\cdot (4t-25)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}t}.$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v(t)$ die Geschwindigkeit von $U$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

(1)

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretiere die Werte im Sachkontext.

(2)

Mit $\(v$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v(t)\lt0$ und $\(v$

Interpretiere dies in Bezug auf die Bewegung von $U$ in diesem Zeitraum.

(3)

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter.

Ermittle den Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.

(3 + 2 + 5 Punkte)

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(1)

Ableiten von $f_4$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für die gesuchten Stellen folgt somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Lösen dieser Gleichung mit dem GTR liefert $x_1=4$ und $x_2=\frac{20}{3}.$

(2)

$\begin{array}[t]{rll} f_a(2)&=&2 \\[5pt] \dfrac{1}{a^3}\cdot2^3-\dfrac{1}{a}\cdot2^2+2&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] \dfrac{8}{a^3}-\dfrac{4}{a}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a^3 \\[5pt] 8-4a^2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-8 \\[5pt] -4a^2&=&-8 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] a^2&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a_1&=&\sqrt{2} \\[5pt] a_2&=&-\sqrt{2} \end{array}$

Da $a\gt0$ gilt, folgt somit $a=\sqrt{2}.$

(3)

Gleichsetzen von $f_1(x)$ und $f_2(x)$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{7}{8}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2=0$

Auflösen der Gleichung nach $x$ mit dem GTR liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{4}{7} \end{array}$

Einsetzen in z.B. $f_1(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0)&=&0^3-0^2+0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_1\left(\dfrac{4}{7}\right)&=&\left(\dfrac{4}{7}\right)^3-\left(\dfrac{4}{7}\right)^2+\dfrac{4}{7} \\[5pt] &=&\dfrac{64}{343}-\dfrac{16}{49}+\dfrac{4}{7} \\[5pt] &=&\dfrac{148}{343} \end{array}$

Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_2$ sind somit gegeben durch $(0\mid0)$ und $\left(\dfrac{4}{7}\,\bigg \vert \,\dfrac{148}{343}\right).$

(4)

Wenn $a \gt 4$ gilt, ist der Term unter der Wurzel im Zähler der letzten beiden Nullstellen positiv und es gibt somit zwei weitere Nullstellen außer $x = 0.$ Damit hat $f_a$ drei Nullstellen.

Für $a = 4$ ist der Term unter der Wurzel null und die beiden letzten Nullstellen fallen zusammen zu einer, das heißt $f_a$ besitzt zwei Nullstellen.

Für $0 \lt a \lt 4$ ist der Term unter der Wurzel negativ und $f_a$ besitzt somit nur eine Nullstelle.

(5)

Schritte erläutern

Im ersten Schritt wird die Gleichung $f_a(x) = x$ gelöst, was die Schnittpunkte der Funktion $f_a$ mit der Geraden $g$ liefert.
Im zweiten Schritt wird der Inhalt der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks mit dem dreifachen Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen von $g$ und $f_a$ miteinander einschließen, gleichgesetzt. Diese Gleichheit ist für den Wert $a=2$ erfüllt.

Lösung geometrisch interpretieren

Für $a=2$ beträgt das Verhältnis des rechtwinkligen Dreiecks zur eingeschlossenen Fläche zwischen den beiden Graphen $1:3.$

(6)

(i)

(ii)

Es gilt $h(x)=-f_4(x).$ Somit folgt für den Inhalt der Fläche $A:$

Rechenweg anzeigen

$A = 18\;[\text{FE}]$

(7)

(i)

Für die zweite Ableitung von $f_4$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f$

Auflösen nach $x$ mit dem GTR liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&\dfrac{8}{3} \\[5pt] x_2&=&8 \end{array}$

Auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da aus der Aufgabenstellung hervorgeht, dass $f_4$ zwei lokale Extremstellen besitzt.

Funktionswerte bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_4\left(\dfrac{8}{3}\right)&=&\dfrac{1}{64}\cdot\left(\dfrac{8}{3}\right)^3-\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3} \\[5pt] &=&\dfrac{8}{27}-\dfrac{16}{9}+\dfrac{8}{3} \\[5pt] &=&\dfrac{32}{27} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_4(8)&=&\dfrac{1}{64}\cdot8^3-\dfrac{1}{4}\cdot8^2+8 \\[5pt] &=&8-16+8 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Mit Hilfe des Graphen von $f_4$ folgt somit, dass dieser bei $\left(\frac{8}{3}\mid\frac{32}{27}\right)$ einen Hochpunkt und bei $(8\mid0)$ einen Tiefpunkt besitzt.

(ii)

Für die Steigung $m$ der Geraden gilt:

$m = \dfrac{\frac{32}{27}-0}{\frac{8}{3}-8} = -\dfrac{\frac{32}{27}}{\frac{16}{3}} = -\dfrac{2}{9}$

Damit ergibt sich der vorläufige Funktionsterm $s(x)=-\frac{2}{9}x+b.$ Einsetzen der Koordinaten des Tiefpunktes liefert:

$\begin{array}[t]{rll} s(8)&=&0 \\[5pt] -\dfrac{2}{9}\cdot8+b&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{16}{9} \\[5pt] b&=&\dfrac{16}{9} \end{array}$

Es ergibt sich somit $s(x)=-\frac{2}{9}x+\frac{16}{9}.$

(iii)

Die Gleichung beschreibt geometrisch, dass die Fläche, die zwischen den beiden Extremstellen von $f_4$ von den Graphen der Funktionen $s$ und $f_4$ eingeschlossen wird, in zwei gleichgroße Teilflächen zerfällt, die sich in der Flächenbilanz gegenseitig aufheben. In dem Abschnitt der einen Fläche verläuft der Graph von $s$ überhalb des Graphen von $f_4,$ im anderen Teilabschnitt unterhalb, somit heben sich die Inhalte der beiden Flächen gegenseitig auf.

(1)

Koordinaten des Tiefpunktes bestimmen

Für die ersten beiden Ableitungen von $v$ folgt mit em GTR:

$\(v$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(v$

Da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich null ist, ergeben sich die Nullstellen von $\(v$ als die der Gleichung $24t^{2} - 390t + 750=0.$ Mit dem GTR ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx&2,23 \\[5pt] t_2&\approx&14,02 \end{array}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(v$

Der Graph von $v$ besitzt somit bei $t\approx14,02$ einen Tiefpunkt. Für dessen $y$ -Koordinate folgt:

$v(14,02)\approx-6,33$

Für die Koordinaten des gesuchten Tiefpunktes folgt somit ca. $(14,02\mid-6,33).$

Werte im Sachkontext interpretieren

Nach ca. $14,02$ Minuten sinkt die Unterwasserdrohne mit einer Geschwindigkeit von $6,33\;\frac{\text{m}}{\text{min}}$ am schnellsten.

(2)

Die Bedingung $v(t) \lt 0$ bedeutet, dass die Drohne sinkt, während $\(v$ bedeutet, dass die Drohne nach oben beschleunigt wird. Insgesamt bewegt sich Drohne in diesem Zeitraum also immer weiter nach unten, allerdings mit immer niedrigerer Geschwindigkeit.

(3)

Der Zeitpunkt, zu dem die Unterwasserdrohne den geringsten Abstand zur Wasseroberfläche besitzt, ist die Stelle an der die Stammfunktionen von $v$ einen Hochpunkt haben, das heißt $v$ muss dort eine Nullstelle besitzen. Da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich null ist, liefert $v(t)=0$ nach dem Satz des Nullprodukts die Gleichung $6 t-\dfrac{24}{25} t^2=0.$ Mit dem GTR ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&=&0 \\[5pt] t_2&=&6,25 \end{array}$

Es gilt $v(t)>0$ für $0\lt t \lt 6,25$ und $v(t)\lt 0$ für $6,25\lt t \leq 30.$

$U$ hat somit 6,25 Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.

Der Abstand von $U$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern lässt sich wie folgt berechnen:

$10+\displaystyle \int_0^{6,25} v(t) d t \approx 31,7$

Zu Beobachtungsbeginn hat $U$ einen Abstand von $31,7\,\text{m}$ zur Wasseroberfläche.

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