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Abi-Aufgaben LK (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 3

Aufgabenstellung

Für jede von Null verschiedene reelle Zahl $a$ ist $f_a$ die Funktion mit der Gleichung $f_a(x) = \big(x + \dfrac{1}{a}\big) \cdot \mathrm e^{ax}$ , $x \in \mathbb{R}$ .
Für $a=-1$ erhält man die Funktion $g$ mit der Gleichung $g(x)=(x-1) \cdot \mathrm{e^{-x}}$ , $x \in \mathbb{R}$ und für $a=1$ die Funktion $h$ mit der Gleichung $h(x)=(x+1) \cdot \mathrm{e^{x}}$ , $x \in \mathbb{R}$ .
Die Graphen von $g$ und $h$ sind in der Abbildung dargestellt.

Graph einer mathematischen Funktion mit zwei Kurven in verschiedenen Farben auf einem Koordinatensystem.

Abb. 1

a)

(1)

Zeige, dass $x_0 = - \dfrac{1}{a}$ die einzige Nullstelle von $f_a$ ist.

(2P)

(2)

Bestimme in Abhängigkeit von $a$ die Koordination der lokalen Extrem- und Wendepunkte des Graphen der Funktion $f_a$ .
Gib die Art der Extrempunkte an.
[Zur Kontrolle: $f_a‘(x)=\mathrm e^{ax} \cdot (2+ax)$ .]

(15P)

b)

(1)

Der Graph der Funktion $f_a$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_a$ .
Gib die Koordinaten von $S_a$ an.

(2P)

(2)

Bestimme eine Gleichung der Tangente $t_a$ an den Graphen der Funktion $f_a$ im Punkt $S_a$ .
[Zur Kontrolle: $t_a(x) = 2x + \dfrac {1}{a}$ , $x \in \mathbb{R}$ .]

(2P)

(3)

Die Tangente $t_a$ und die Koordinatenachsen bilden ein Dreieck.
Berechne die Dreiecksfläche $D(a)$ in Abhängigkeit von $a$ .

(4P)

c)

(1)

Ermittle mit Hilfe von Integrationsverfahren eine Stammfunktion der Funktion $f_a$ .
[Zur Kontrolle: Zum Beispiel ist die Funktion $F_a$ mit der Gleichung $F_a(x) = \dfrac{1}{a}x \cdot \mathrm e^{ax} +2$ , $x \in \mathbb{R}$ , eine Stammfunktion von $f_a$ .]

(4P)

(2)

Bestimme in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt $A(a)$ der Fläche, die von dem Graphen der Funktion $f_a$ und den beiden Koordinatenachsen eingeschlossen wird.
Berechne alle $a$ , für die $A(a)=\mathrm e$ gilt.
$\big[$ Zur Kontrolle: $A(a)=\dfrac{1}{\mathrm e \cdot a^2}$ . $\big]$

(5P)

d)

Betrachte nun die Funktionen $g$ und $h$ .

(1)

Weise nach, dass $g(-x)=-h(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt.
Interpretiere diese Aussage geometrisch.

(4P)

(2)

Beweise: Es gilt $h(x)\gt g(x)$ für alle $x\geq0$ .

(4P)

(3)

Für alle $u\gt 0$ sei $p_u$ die Parallele zur $y$ -Achse durch den Punkt $P_u (u \mid 0)$ .
Es sei $I(u)$ der Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $g$ und $h$ , der $y$ -Achse und $p_u$ eingeschlossen wird.
Zeige: Es gilt $I(u)=u\cdot(\mathrm e^{u}+\mathrm e^{-u}$ ) für alle $u\gt 0$ .
Begründe, dass die Funktion $I$ mit der Gleichung $I(u)=u\cdot(\mathrm e^{u}+\mathrm e^{-u}$ ), $u\gt 0$ streng monoton steigend ist.

(8P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

© 2016 - SchulLV.

a)

(1)

$\blacktriangleright$ Nullstelle nachweisen

Du sollst zeigen, dass $x_0= -\dfrac{1}{a}$ die einzige Nullstelle von $f_a$ ist. Setze dazu $f_a(x)=0$ . Du kannst hier den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beachte, dass der Term $\mathrm{e} ^x$ nicht den Wert Null annehmen kann.

$-\dfrac{1}{a}=x$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Es kann nur der Faktor $\left( x + \dfrac{1}{a}\right)$ Null werden. Die Gleichung $x + \dfrac{1}{a} = 0$ besitzt nur die Lösung $x_0 = -\dfrac{1}{a}$ . Demnach ist dies die einzige Nullstelle von $f_a$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte angeben

Du sollst die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte angeben. Für eine Extremstelle $x_E$ gibt es die folgenden beiden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f‘(x_E)= 0$
Hinreichendes Kriterium:
- $f‘‘(x_E) < 0$ : Bei $x_E$ liegt ein Hochpunkt.
- $f‘‘(x_E) > 0$ : Bei $x_E$ liegt ein Tiefpunkt.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bilde die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$ .
Wende das notwendige Kriterium an, um mögliche Extremstellen zu bestimmen.
Überprüfe das hinreichende Kriterium und bestimme so die Art der Extrempunkte.
Berechne die vollständigen Koordinaten durch Einsetzen der Extremstellen in $f_a(x)$ .

1. Schritt: Ableitungen bilden

Du kannst die Produktregel anwenden:

\( \)

\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a‘(x) &=& \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a‘‘(x) &=& \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] \end{array} \( \)

\( \)

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Setze $f_a‘(x) =0$ und löse nach $x$ :

$x=\dfrac{-2}{a}$

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Setze nun $x_E=\dfrac{-2}{a}$ in den Funktionsterm $f_a‘‘(x)$ ein:

$f_a‘‘\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} \neq 0$

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Es ist $\mathrm{e}^{-2} < 0$ , also $f_a‘‘\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} < 0$ falls $a < 0$ und $f_a‘‘\left( \dfrac{-2}{a} \right) > 0$ falls $a > 0$ .

Für $a < 0$ besitzt $f_a$ an der Stelle $x_E = \dfrac{-2}{a}$ eine Maximalstelle. Für $a > 0$ besitzt $f_a$ dort eine Minimalstelle.

4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen

Setze die Extremstelle nun in $f_a(x)$ ein:

$f_a\left(\dfrac{-2}{a}\right) =\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}}$

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Der Graph von $f_a$ besitzt einen Extrempunkt mit den Koordinaten $P\left(\dfrac{-2}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}}\right)$ . Für $a< 0$ handelt es sich dabei um einen Hochpunkt, für $a > 0$ um einen Tiefpunkt.

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte bestimmen

Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f‘‘(x_W)=0$
Hinreichendes Kriterium: $f‘‘‘(x_W)\neq 0$

Du kannst also ähnlich wie oben vorgehen:

Bilde die dritte Ableitung $f_a‘‘‘$ .
Bestimme mit dem notwendigen Kriterium mögliche Wendestellen von $f_a$ .
Überprüfe das hinreichende Kriterium.
Berechne die zugehörigen $y$ -Koordinaten.

1. Schritt: Ableitung bilden

Auch hier kannst du die Produktregel anwenden:

$f_a‘‘‘(x) = \left( 4a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Setze jetzt $f_a‘‘(x)=0$ :

$x = \dfrac{-3}{a}$

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Setze nun in $f_a‘‘‘(x)$ ein:

$f_a‘‘‘\left( \dfrac{-3}{a}\right) = a^2\cdot \mathrm{e}^{-3} > 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Auch für negative $a$ ist dieser Term immer positiv, also ist $f_a‘‘‘\left( \dfrac{-3}{a}\right) \neq 0$ . Damit handelt es sich bei $x = \dfrac{-3}{a}$ tatsächlich um eine Wendestelle.

4. Schritt: Koordinaten berechnen

Setze nun die Wendestelle noch in $f_a$ ein, um die Koordinaten des Wendepunkts zu vervollständigen:

$f_a\left(\dfrac{-3}{a}\right) =\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3}$

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Der Graph von $f_a$ besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W \left( \dfrac{-3}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} \right)$ .

b)

(1)

$\blacktriangleright$ Koordinaten angeben

Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse angeben. Ein solcher Schnittpunkt hat immer die $x$ -Koordinate Null. Setze also $x =0$ in den Funktionsterm $f_a(x)$ ein:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=&\left(0 + \dfrac{1}{a} \right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{a} \\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f_a$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung aufstellen

Gesucht ist eine Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$ . Diese Tangente ist eine Gerade mit folgenden Eigenschaften:

Der Punkt $S_a$ liegt auf $t_a$ .
$t_a$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f_a$ im Punkt $S_a$ .

Die Koordinaten von $S_a$ hast du bereits berechnet: $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$ . Da es sich bei der Tangente um eine Gerade handelt, kannst du hier die Punkt-Steigungsform verwenden, um eine Geradengleichung zu bestimmen:

$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_S) + y_S$

Berechne also die Steigung der Tangente als $m = f_a‘(0)$ und setze dann zusammen mit den Koordinaten von $S_a$ in die Formel ein.

$\begin{array}[t]{rll} m&=& f_a‘(0)\\[5pt] &=&\left(2+ a\cdot 0\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen in die Formel liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} t_a: \quad y &=& m\cdot (x-x_{S_a}) + y_{S_a} \\[5pt] &=&2\cdot (x-0) + \dfrac{1}{a} \\[5pt] &=& 2x + \dfrac{1}{a}\\[5pt] \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$ lautet wie folgt:

$t_a: \quad y = 2x + \dfrac{1}{a}$

(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Für die Berechnung des Flächeninhalts ist es hilfreich, das Dreieck in dem Schaubild zu skizzieren.

Das Dreieck wird vom Ursprung $O$ und den Schnittpunkten der Tangente mit den Koordinatenachsen begrenzt. Da die Koordinatenachsen rechtwinklig zueinander stehen, kannst du den Flächeninhalt wie folgt berechnen:

$D(a) = \frac{1}{2} \cdot \left| \overline{Q_aO}\right|\cdot \left| \overline{S_aO}\right|$

Die Längen der Strecken $\overline{Q_aO}$ und $\overline{S_aO}$ ergeben sich über den Betrag der $x$ -Koordinate von $Q_a$ bzw. der $y$ -Koordinate von $S_a$ . Die Koordinaten von $S_a$ kennst du bereits, also ist $\left| \overline{S_aO}\right| = \dfrac{1}{a}$ .

Grafik mit einer Funktion, die eine grüne Kurve und ein orangefarbenes Dreieck zeigt, dargestellt im Koordinatensystem.

Abb. 1: Dreieck

Berechne also nun für die $x$ -Koordinate von $Q_a$ die Nullstelle von $t_a$ :

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x + \dfrac{1}{a} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{a}\\[5pt] -\dfrac{1}{a}&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \dfrac{-1}{2a}&=& x \\[5pt] \end{array}$

Also ist $\left| \overline{Q_aO}\right| = \dfrac{1}{2a}$

Einsetzen in die Formel liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} D(a)&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \overline{Q_aO}\right|\cdot\left| \overline{S_aO}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2a}\cdot \dfrac{1}{a}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4a^2} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks kann in Abhängigkeit von $a$ durch $D(a)=\dfrac{1}{4a^2}$ dargestellt werden.

c)

(1)

$\blacktriangleright$ Stammfunktion ermitteln

Du sollst eine Stammfunktion von $f_a$ ermitteln. Betrachtest du den Funktionsterm genauer, fällt dir auf, dass es sich bei $f_a(x)$ um ein Produkt handelt, bei dem einer der Faktoren $\left(x+\dfrac{1}{a}\right)$ ein Polynom ist. Wende hier also die partielle Integration an.

$\displaystyle\int_{}^{}f_a(x)\;\mathrm dx = x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} +C$

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Eine mögliche Stammfunktion von $f_a$ ist $F_a(x)= x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax}$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Gesucht ist hier der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f_a$ und der $x$ -Achse. Nach links ist diese Fläche durch die Nullstelle $x_0 = \dfrac{-1}{a}$ von $f_a$ begrenzt, nach rechts durch die $y$ -Achse. Du kannst den gesuchten Flächeninhalt daher über folgendes Integral berechnen:

$A(a)= \left|\displaystyle\int_{\frac{-1}{a}}^{0}f_a\;\mathrm dx \right|$

Zur Berechnung des Integrals kannst du die oben bestimmte Stammfunktion verwenden.

Grafik einer mathematischen Funktion mit einem hervorgehobenen Bereich unter der Kurve.

Abb. 2: Fläche unter dem Graphen

$A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$

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Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_a$ mit den Koordinatenachsen einschließt, ergibt sich als $A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{a}$ berechnen

Um alle $a$ zu berechnen, für die $A(a)=\mathrm{e}$ ist, setze den eben berechneten Term für $A(a)$ gleich $\mathrm{e}$ .

$\begin{array}[t]{rll} A(a)&=&\mathrm{e} \\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}&=& \mathrm{e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^2\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}}&=& \mathrm{e}\cdot a^2&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm{e}\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}^2}&=& a^2 \\[5pt] \end{array}$

Also ist sowohl für $a = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ und $a = \dfrac{-1}{\mathrm{e}}$ der Flächeninhalt $A(a) = \mathrm{e}$ .

d)

(1)

$\blacktriangleright$ Gleichung nachweisen

Du sollst nachweisen, dass $g(-x) = -h(x)$ gilt. Forme also $g(-x)$ so weit um, bis du $-h(x)$ erhältst.

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x-1)\cdot\mathrm{e}^{-x} \\[10pt] h(x)&=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[10pt] g(-x)&=&(-x-1)\cdot \mathrm{e}^{-(-x)} \\[5pt] &=&-(x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=& -h(x)\\[5pt] \end{array}$

Also ist $g(-x)=-h(x)$ .

$\blacktriangleright$ Aussage interpretieren

Dir sollte auffallen, dass die obige Gleichung Ähnlichkeit mit der Definition der Punktsymmetrie eines Graphen zum Ursprung aufweist.

Der Graph von $g$ geht also aus dem Graphen von $h$ durch Spiegelung am Ursprung hervor.

(2)

$\blacktriangleright$ Ungleichung beweisen

Um die Korrektheit der Ungleichung zu beweisen, beginne mit einem der beiden Funktionsterme, beispielsweise $h(x)$ , und schätze schrittweise einzelne Summanden des Terms ab. Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung $x \geq 0$ vorgegeben ist.

Es ist $h(x) = (x+1)\cdot \mathrm{e}^x = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x$

Da $\mathrm{e}^x$ in jedem Fall positiv ist, wird zu $x\cdot \mathrm{e}^x$ immer etwas positives addiert, also ist

$h(x) = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x > x\cdot \mathrm{e}^x$

Weil $x \geq 0$ gilt, ist $\mathrm{e}^x \geq \mathrm{e}^{-x}$ und damit dann auch $x\cdot \mathrm{e}^x \geq x\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .

Subtrahierst du davon nun wieder etwas, also zum Beispiel $\mathrm{e}^{-x}$ , so wird das Ergebnis wieder kleiner:

$x\cdot \mathrm{e}^{-x} > x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}$

Insgesamt gilt also folgender Zusammenhang:

$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=&x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x\\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &>&x\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=&(x-1)\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=& g(x) \\[5pt] \end{array}$

(3)

$\blacktriangleright$ Term für den Flächeninhalt zeigen

Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen von $g$ und $h$ , die nach links von der $y$ -Achse und nach rechts durch die Parallele zur $y$ -Achse durch den Punkt $P_u(u\mid 0)$ begrenzt wird.

Den Inhalt einer Fläche zwischen zwei Graphen kannst du mit Hilfe eines Integrals über die Differenz dieser beiden Funktionen berechnen. Mit den Grenzen $0$ und $u$ ergibt sich daher folgendes Integral:

$I(u)= \displaystyle\int_{0}^{u}(h(x)-g(x))\;\mathrm dx$

Da du oben gezeigt hast, dass $h(x) > g(x)$ für alle $x\geq 0$ ist, weißt du, dass der Graph von $h$ im betrachteten Intervall ( $u > 0$ ) über dem von $g$ liegt. Daher kannst du dieses Integral in zwei Integrale aufteilen.

Diagramm mit zwei Kurven in grün und blau, sowie einer rot schattierten Fläche zwischen ihnen.

Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen

Beachtest du, dass $h(x)= f_1(x)$ und $g(x)=f_{-1}(x)$ , dann kannst du die Stammfunktion aus c) (1) verwenden.

$I(u)=...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Insgesamt gilt daher $I(u)= u\cdot \left(\mathrm{e}^u +\mathrm{e}^{-u}\right)$ .

$\blacktriangleright$ Monotonie begründen

Du sollst zeigen, dass $I$ streng monoton steigend ist. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen beschreibt, kannst du diese betrachten. Der Graph einer Funktion $f$ steigt streng monoton, wenn für die erste Ableitungsfunktion gilt:

$f‘(x) > 0$

Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $I$ mit der Produktregel und schätze den Funktionsterm nach unten ab. Beachte dabei, dass $u > 0$ ist.

$I‘(u) > 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Da $I‘(u) > 0$ für alle $u > 0$ ist, ist $I$ streng monoton steigend.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

© 2016 - SchulLV.

[2]

© 2016 - SchulLV.

[3]

© 2016 - SchulLV.

a)

(1)

$\blacktriangleright$ Nullstelle nachweisen

Du sollst zeigen, dass $x_0= -\dfrac{1}{a}$ die einzige Nullstelle von $f_a$ ist. Setze dazu $f_a(x)=0$ . Du kannst hier den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beachte, dass der Term $\mathrm{e} ^x$ nicht den Wert Null annehmen kann.

$-\dfrac{1}{a}=x$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Es kann nur der Faktor $\left( x + \dfrac{1}{a}\right)$ Null werden. Die Gleichung $x + \dfrac{1}{a} = 0$ besitzt nur die Lösung $x_0 = -\dfrac{1}{a}$ . Demnach ist dies die einzige Nullstelle von $f_a$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte angeben

Du sollst die Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte angeben. Für eine Extremstelle $x_E$ gibt es die folgenden beiden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f‘(x_E)= 0$
Hinreichendes Kriterium:
- $f‘‘(x_E) < 0$ : Bei $x_E$ liegt ein Hochpunkt.
- $f‘‘(x_E) > 0$ : Bei $x_E$ liegt ein Tiefpunkt.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bilde die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$ .
Wende das notwendige Kriterium an, um mögliche Extremstellen zu bestimmen.
Überprüfe das hinreichende Kriterium und bestimme so die Art der Extrempunkte.
Berechne die vollständigen Koordinaten durch Einsetzen der Extremstellen in $f_a(x)$ .

1. Schritt: Ableitungen bilden

Du kannst die Produktregel anwenden:

\( \)

\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \left( x + \dfrac{1}{a}\right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a‘(x) &=& \left( 2+ax \right)\cdot \mathrm{e}^{ax} \\[10pt] f_a‘‘(x) &=& \left( 3a + a^2x \right)\cdot \mathrm{e}^{ax}\\[5pt] \end{array} \( \)

\( \)

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Setze $f_a‘(x) =0$ und löse nach $x$ :

$x=\dfrac{-2}{a}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Setze nun $x_E=\dfrac{-2}{a}$ in den Funktionsterm $f_a‘‘(x)$ ein:

$f_a‘‘\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} \neq 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es ist $\mathrm{e}^{-2} < 0$ , also $f_a‘‘\left( \dfrac{-2}{a} \right) = a\cdot \mathrm{e}^{-2} < 0$ falls $a < 0$ und $f_a‘‘\left( \dfrac{-2}{a} \right) > 0$ falls $a > 0$ .

Für $a < 0$ besitzt $f_a$ an der Stelle $x_E = \dfrac{-2}{a}$ eine Maximalstelle. Für $a > 0$ besitzt $f_a$ dort eine Minimalstelle.

4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen

Setze die Extremstelle nun in $f_a(x)$ ein:

$f_a\left(\dfrac{-2}{a}\right) =\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f_a$ besitzt einen Extrempunkt mit den Koordinaten $P\left(\dfrac{-2}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-1}{a\mathrm{e}^{2}}\right)$ . Für $a< 0$ handelt es sich dabei um einen Hochpunkt, für $a > 0$ um einen Tiefpunkt.

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte bestimmen

Für eine Wendestelle $x_W$ gibt es ebenfalls zwei Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $f‘‘(x_W)=0$
Hinreichendes Kriterium: $f‘‘‘(x_W)\neq 0$

Du kannst also ähnlich wie oben vorgehen:

Bilde die dritte Ableitung $f_a‘‘‘$ .
Bestimme mit dem notwendigen Kriterium mögliche Wendestellen von $f_a$ .
Überprüfe das hinreichende Kriterium.
Berechne die zugehörigen $y$ -Koordinaten.

1. Schritt: Ableitung bilden

Auch hier kannst du die Produktregel anwenden:

$f_a‘‘‘(x) = \left( 4a^2 +a^3x\right) \cdot \mathrm{e}^{ax}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Setze jetzt $f_a‘‘(x)=0$ :

$x = \dfrac{-3}{a}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Setze nun in $f_a‘‘‘(x)$ ein:

$f_a‘‘‘\left( \dfrac{-3}{a}\right) = a^2\cdot \mathrm{e}^{-3} > 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Auch für negative $a$ ist dieser Term immer positiv, also ist $f_a‘‘‘\left( \dfrac{-3}{a}\right) \neq 0$ . Damit handelt es sich bei $x = \dfrac{-3}{a}$ tatsächlich um eine Wendestelle.

4. Schritt: Koordinaten berechnen

Setze nun die Wendestelle noch in $f_a$ ein, um die Koordinaten des Wendepunkts zu vervollständigen:

$f_a\left(\dfrac{-3}{a}\right) =\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f_a$ besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W \left( \dfrac{-3}{a}\,\bigg \vert \,\dfrac{-2}{a} \cdot \mathrm{e}^{-3} \right)$ .

b)

(1)

$\blacktriangleright$ Koordinaten angeben

Du sollst die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse angeben. Ein solcher Schnittpunkt hat immer die $x$ -Koordinate Null. Setze also $x =0$ in den Funktionsterm $f_a(x)$ ein:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=&\left(0 + \dfrac{1}{a} \right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{a} \\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f_a$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung aufstellen

Gesucht ist eine Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$ . Diese Tangente ist eine Gerade mit folgenden Eigenschaften:

Der Punkt $S_a$ liegt auf $t_a$ .
$t_a$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f_a$ im Punkt $S_a$ .

Die Koordinaten von $S_a$ hast du bereits berechnet: $S_a\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{a} \right)$ . Da es sich bei der Tangente um eine Gerade handelt, kannst du hier die Punkt-Steigungsform verwenden, um eine Geradengleichung zu bestimmen:

$t_a:\quad y= m\cdot (x-x_S) + y_S$

Berechne also die Steigung der Tangente als $m = f_a‘(0)$ und setze dann zusammen mit den Koordinaten von $S_a$ in die Formel ein.

$\begin{array}[t]{rll} m&=& f_a‘(0)\\[5pt] &=&\left(2+ a\cdot 0\right)\cdot \mathrm{e}^{a\cdot 0} \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen in die Formel liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} t_a: \quad y &=& m\cdot (x-x_{S_a}) + y_{S_a} \\[5pt] &=&2\cdot (x-0) + \dfrac{1}{a} \\[5pt] &=& 2x + \dfrac{1}{a}\\[5pt] \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente $t_a$ an den Graphen von $f_a$ im Punkt $S_a$ lautet wie folgt:

$t_a: \quad y = 2x + \dfrac{1}{a}$

(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Für die Berechnung des Flächeninhalts ist es hilfreich, das Dreieck in dem Schaubild zu skizzieren.

Das Dreieck wird vom Ursprung $O$ und den Schnittpunkten der Tangente mit den Koordinatenachsen begrenzt. Da die Koordinatenachsen rechtwinklig zueinander stehen, kannst du den Flächeninhalt wie folgt berechnen:

$D(a) = \frac{1}{2} \cdot \left| \overline{Q_aO}\right|\cdot \left| \overline{S_aO}\right|$

Die Längen der Strecken $\overline{Q_aO}$ und $\overline{S_aO}$ ergeben sich über den Betrag der $x$ -Koordinate von $Q_a$ bzw. der $y$ -Koordinate von $S_a$ . Die Koordinaten von $S_a$ kennst du bereits, also ist $\left| \overline{S_aO}\right| = \dfrac{1}{a}$ .

Grafik mit einer Funktion, die eine grüne Kurve und ein orangefarbenes Dreieck zeigt, dargestellt im Koordinatensystem.

Abb. 1: Dreieck

Berechne also nun für die $x$ -Koordinate von $Q_a$ die Nullstelle von $t_a$ :

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x + \dfrac{1}{a} &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{a}\\[5pt] -\dfrac{1}{a}&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \dfrac{-1}{2a}&=& x \\[5pt] \end{array}$

Also ist $\left| \overline{Q_aO}\right| = \dfrac{1}{2a}$

Einsetzen in die Formel liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} D(a)&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \overline{Q_aO}\right|\cdot\left| \overline{S_aO}\right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2a}\cdot \dfrac{1}{a}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4a^2} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks kann in Abhängigkeit von $a$ durch $D(a)=\dfrac{1}{4a^2}$ dargestellt werden.

c)

(1)

$\blacktriangleright$ Stammfunktion ermitteln

Du sollst eine Stammfunktion von $f_a$ ermitteln. Betrachtest du den Funktionsterm genauer, fällt dir auf, dass es sich bei $f_a(x)$ um ein Produkt handelt, bei dem einer der Faktoren $\left(x+\dfrac{1}{a}\right)$ ein Polynom ist. Wende hier also die partielle Integration an.

$\displaystyle\int_{}^{}f_a(x)\;\mathrm dx = x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax} +C$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Eine mögliche Stammfunktion von $f_a$ ist $F_a(x)= x\cdot \dfrac{1}{a}\cdot \mathrm e^{ax}$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Gesucht ist hier der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f_a$ und der $x$ -Achse. Nach links ist diese Fläche durch die Nullstelle $x_0 = \dfrac{-1}{a}$ von $f_a$ begrenzt, nach rechts durch die $y$ -Achse. Du kannst den gesuchten Flächeninhalt daher über folgendes Integral berechnen:

$A(a)= \left|\displaystyle\int_{\frac{-1}{a}}^{0}f_a\;\mathrm dx \right|$

Zur Berechnung des Integrals kannst du die oben bestimmte Stammfunktion verwenden.

Grafik einer mathematischen Funktion mit einem hervorgehobenen Bereich unter der Kurve.

Abb. 2: Fläche unter dem Graphen

$A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_a$ mit den Koordinatenachsen einschließt, ergibt sich als $A(a)= \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{a}$ berechnen

Um alle $a$ zu berechnen, für die $A(a)=\mathrm{e}$ ist, setze den eben berechneten Term für $A(a)$ gleich $\mathrm{e}$ .

$\begin{array}[t]{rll} A(a)&=&\mathrm{e} \\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}\cdot a^2}&=& \mathrm{e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^2\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}}&=& \mathrm{e}\cdot a^2&\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm{e}\\[5pt] \dfrac{1}{\mathrm{e}^2}&=& a^2 \\[5pt] \end{array}$

Also ist sowohl für $a = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$ und $a = \dfrac{-1}{\mathrm{e}}$ der Flächeninhalt $A(a) = \mathrm{e}$ .

d)

(1)

$\blacktriangleright$ Gleichung nachweisen

Du sollst nachweisen, dass $g(-x) = -h(x)$ gilt. Forme also $g(-x)$ so weit um, bis du $-h(x)$ erhältst.

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x-1)\cdot\mathrm{e}^{-x} \\[10pt] h(x)&=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[10pt] g(-x)&=&(-x-1)\cdot \mathrm{e}^{-(-x)} \\[5pt] &=&-(x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=& -h(x)\\[5pt] \end{array}$

Also ist $g(-x)=-h(x)$ .

$\blacktriangleright$ Aussage interpretieren

Dir sollte auffallen, dass die obige Gleichung Ähnlichkeit mit der Definition der Punktsymmetrie eines Graphen zum Ursprung aufweist.

Der Graph von $g$ geht also aus dem Graphen von $h$ durch Spiegelung am Ursprung hervor.

(2)

$\blacktriangleright$ Ungleichung beweisen

Um die Korrektheit der Ungleichung zu beweisen, beginne mit einem der beiden Funktionsterme, beispielsweise $h(x)$ , und schätze schrittweise einzelne Summanden des Terms ab. Beachte dabei, dass in der Aufgabenstellung $x \geq 0$ vorgegeben ist.

Es ist $h(x) = (x+1)\cdot \mathrm{e}^x = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x$

Da $\mathrm{e}^x$ in jedem Fall positiv ist, wird zu $x\cdot \mathrm{e}^x$ immer etwas positives addiert, also ist

$h(x) = x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x > x\cdot \mathrm{e}^x$

Weil $x \geq 0$ gilt, ist $\mathrm{e}^x \geq \mathrm{e}^{-x}$ und damit dann auch $x\cdot \mathrm{e}^x \geq x\cdot \mathrm{e}^{-x}$ .

Subtrahierst du davon nun wieder etwas, also zum Beispiel $\mathrm{e}^{-x}$ , so wird das Ergebnis wieder kleiner:

$x\cdot \mathrm{e}^{-x} > x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}$

Insgesamt gilt also folgender Zusammenhang:

$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& (x+1)\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &=&x\cdot \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^x\\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^x \\[5pt] &>&x\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &>& x\cdot \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=&(x-1)\cdot \mathrm{e}^{-x} \\[5pt] &=& g(x) \\[5pt] \end{array}$

(3)

$\blacktriangleright$ Term für den Flächeninhalt zeigen

Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen den beiden Graphen von $g$ und $h$ , die nach links von der $y$ -Achse und nach rechts durch die Parallele zur $y$ -Achse durch den Punkt $P_u(u\mid 0)$ begrenzt wird.

Den Inhalt einer Fläche zwischen zwei Graphen kannst du mit Hilfe eines Integrals über die Differenz dieser beiden Funktionen berechnen. Mit den Grenzen $0$ und $u$ ergibt sich daher folgendes Integral:

$I(u)= \displaystyle\int_{0}^{u}(h(x)-g(x))\;\mathrm dx$

Da du oben gezeigt hast, dass $h(x) > g(x)$ für alle $x\geq 0$ ist, weißt du, dass der Graph von $h$ im betrachteten Intervall ( $u > 0$ ) über dem von $g$ liegt. Daher kannst du dieses Integral in zwei Integrale aufteilen.

Diagramm mit zwei Kurven in grün und blau, sowie einer rot schattierten Fläche zwischen ihnen.

Abb. 3: Fläche zwischen den Graphen

Beachtest du, dass $h(x)= f_1(x)$ und $g(x)=f_{-1}(x)$ , dann kannst du die Stammfunktion aus c) (1) verwenden.

$I(u)=...$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Insgesamt gilt daher $I(u)= u\cdot \left(\mathrm{e}^u +\mathrm{e}^{-u}\right)$ .

$\blacktriangleright$ Monotonie begründen

Du sollst zeigen, dass $I$ streng monoton steigend ist. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen beschreibt, kannst du diese betrachten. Der Graph einer Funktion $f$ steigt streng monoton, wenn für die erste Ableitungsfunktion gilt:

$f‘(x) > 0$

Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $I$ mit der Produktregel und schätze den Funktionsterm nach unten ab. Beachte dabei, dass $u > 0$ ist.

$I‘(u) > 0$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Da $I‘(u) > 0$ für alle $u > 0$ ist, ist $I$ streng monoton steigend.

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