Aufgabe 1

Aufgabenstellung:

In einer Studie zum Spracherwerb von Kindern ist untersucht worden, wie sich die Länge gesprochener Sätze (kurz: Satzlänge) mit dem Alter der Kinder entwickelt.
Ein Sprachforscher modelliert mit einer Funktion $r$ die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge $^1$ der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, im Alter von $1,5$ Jahren bis $5,5$ Jahren verändert. Dazu verwendet er für $1,5 \leq t \leq 5,5$ die Gleichung

$r(t) = 0,31 \cdot \mathrm e^{-0,25 \cdot t^2 + 1,25 \cdot t}$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Dabei wird $t$ als Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Jahr und $r(t)$ als Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Wort pro Jahr aufgefasst.
Der Graph von $r$ im Bereich $1,5 \leq t \leq 5,5$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Diagramm mit einem Graphen, der eine Kurve zeigt. Achsen sind mit Werten beschriftet.

Abb. 1

$^1$ Im Folgenden wird die durchschnittliche Satzlänge der Kinder, die an der Studie teilgenommen haben, kurz als Satzlänge bezeichnet.

(1)

Berechne den Funktionswert von $r$ an der Stelle $t=2$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(2P)

(2)

Für die Funktion $r$ gilt die Aussage:

$r(t)\gt 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ .

Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang.

(3P)

(1)

Bestimme $r‘(t)$ und $r‘‘(t)$ .

Zur Kontrolle

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(8P)

(2)

Weise rechnerisch nach, dass im gegebenen Modell im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt.

(7P)

(3)

Das Alter zwischen $1,5$ und $5,5$ Jahren, in dem die momentane Änderungsrate der Satzlänge am schnellsten abnimmt, ist durch die Wendestelle von $r$ im Intervall [ $1,5; 5,5$ ] gegeben.
Ermittle diese Wendestelle.
[Hinweis: Auf den Nachweis einer hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden.]

(5P)

In der Studie ist bei den Kindern im Alter von $1,5$ Jahren eine Satzlänge von $1,2$ Wörtern beobachtet worden.

(1)

Interpretiere die Bedeutung der Terme $\displaystyle\int_{1,5}^{t} r(u) \,\mathrm du$ und $1,2 + \displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt$ im Sachzusammenhang.

(4P)

Die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms einer Stammfunktion von $r$ mit Hilfe eines Integrationsverfahrens ist nicht möglich. Daher wird der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt$ durch ein numerisches Verfahren bestimmt. In Abbildung 2 ist dieses Verfahren veranschaulicht.

Grafik mit einer Kurve und Achsenbeschriftungen, die eine mathematische Funktion darstellt.

Abb. 2

(2)

Beschreibe kurz das Vorgehen bei diesem numerischen Verfahren.

(4P)

(3)

Berechne mit diesem numerischen Verfahren einen Nährungswert für den Term $1,2 + \displaystyle\int_{1,5}^{5,5} r(t) \,\mathrm dt$ .

(6P)

Für $1,5 \leq a\leq 4,5$ ist die Funktion $z$ definiert durch die Gleichung $z(a) = \displaystyle\int_{a}^{a+1} r(t) \,\mathrm dt$ .

(1)

Interpretiere, welche Bedeutung die Funktion $z$ im Sachzusammenhang hat.

(2P)

(2)

Begründe, warum für die Ableitung der Funktion $z$ mit $z(a) = \displaystyle\int_{a}^{a+1} r(t) \,\mathrm dt$ gilt:
$z‘(a) = r(a+1) - r(a)$ .

[Du kannst davon ausgehen, dass es eine Stammfunktion $R$ von $r$ gibt. Wie bereits in c) angegeben, ist die konkrete Ermittlung eines Funktionsterms von $R$ mit Hilfe eines Integrationsverfahrens aber nicht möglich.]
Für die Funktion $z$ wird folgende Berechnung durchgeführt, die von dir in den Teilaufgaben (3) und (4) zum Teil nachvollzogen und interpretiert werden soll:

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II $z‘‘(2) = - \dfrac {31}{200} \cdot \mathrm e^{\frac{3}{2}}\lt 0$ .

(3P)

(3)

Weise nach, dass gilt: $\dfrac{r(a+1)}{r(a)} = \mathrm e^{-0,5 \cdot a +1}$ (siehe I).

(3P)

(4)

Interpretiere die Lösung $a=2$ der Gleichung $z‘(a)=0$ (siehe I ) unter Berücksichtigung von II im Sachzusammenhang.

(3P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

(1)

$\blacktriangleright$ Funktionswert berechnen und interpretieren

Die Funktion $r$ beschreibt die momentane Änderungsrate, mit der sich die durchschnittliche Satzlänge von Kindern ändert. Du sollst den Funktionswert von $r$ an der Stelle $t=2$ berechnen und den Wert im Sachzusammenhang interpretieren. Dabei ist $r(t)$ die Maßzahl zur Maßeinheit $1$ Wort pro Jahr.

$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} \\[5pt] r(2)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot2^2+1,25\cdot2}\\[5pt] r(2)&\approx& 1,4 \end{array}$

Der Funktionswert an der Stelle $t=2$ beträgt ca. $1,4$ . Dies bedeutet, dass sich die Satzlänge der Kinder im Alter von $2$ Jahren um etwa $1,4$ Wörter pro Jahr verlängert.

(2)

$\blacktriangleright$ Aussage interpretieren

Für die Funktion gilt: $r(t)\gt 0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ . Überlege dir, was diese Aussage im Sachzusammenhang bedeutet.

Ist $r(t)\gt 0$ , so heißt dies, dass die momentane Änderungsrate der Funktion immer positiv ist. Die Satzlänge der Kinder nimmt demnach mit jedem Jahr im Alter von $1,5$ bis $5,5$ Jahren weiter zu. Die Sätze werden demnach immer länger.

(1)

$\blacktriangleright$ Erste und zweite Ableitung bestimmen

Nun sollst du die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ bestimmen. Beachte dabei, dass für die $\mathrm e$ -Funktion die Kettenregel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\mathrm e^{nx} \\[5pt] f‘(x)&=& n\cdot\mathrm e^{nx} \end{array}$

1. Ableitung:

$\scriptsize{r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t}}$

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2. Ableitung:

Beachte hier zusätzlich zur Kettenregel die Produktregel.

$\scriptsize{ r‘‘(t) = 0,31\left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2...}}$

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Die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ lauten:

$\scriptsize{ r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

$\scriptsize{r‘‘(t)= 0,31 \left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

(2)

$\blacktriangleright$ Größte momentane Änderungsrate nachweisen

Um nachzuweisen, dass im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt, berechnest du das Maximum der Funktion $r$ .

Hat die Funktion an der Stelle $t=2,5$ ein Maximum, so liegt zu diesen Zeitpunkt die größte momentane Änderungsrate vor.

Für ein Maximum einer Funktion $r$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:

Notwendige Bedingung: $r‘(t_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $r‘‘(t_E)\lt 0$

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen:

Prüfe die notwendige Bedingung
Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Die erste Ableitung $r‘$ hast du bereits in dem Aufgabenteil (1) der Teilaufgabe gebildet. Da der Term mit der $\mathrm e$ -Funktion nicht gleich Null werden kann, genügt es, wenn du nach dem Satz vom Nullprodukt nur den Klammerterm der ersten Ableitung beachtest.

$t_1 = 2,5$

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Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ eine potentielle Extremstelle.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Setze nun $t_1=2,5$ in den Funktionsterm der zweiten Ableitung $r‘‘$ ein, um zu überprüfen, ob es sich bei der Extremstelle um ein Maximum handelt.

$r‘‘(2,5)\approx -0,74 \lt 0$

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Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ ein Maximum. Damit liegt im Alter von $2,5$ Jahren die größte Änderungsrate der Satzlänge vor.

(3)

$\blacktriangleright$ Wendestelle ermitteln

Nun sollst du die Wendestelle der Funktion $r$ in dem Intervall $[1,5;5,5]$ ermitteln. Für eine Wendestelle einer Funktion $r$ gelten folgende Bedingungen:

Notwendige Bedingung: $r‘‘(t_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $r‘‘‘(t_E)\neq0$

Die hinreichende Bedingung musst du laut Aufgabenstellung nicht überprüfen. Du kannst den Wert von $t$ von Hand berechnen, oder mit deinem GTR.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: per Hand

Setze den Term der zweiten Ableitung $r‘‘$ gleich Null und löse nach $t$ auf, um die Wendestelle der Funktion zu berechnen. Beachte auch hier den Satz vom Nullprodukt.

$t_1\approx1,1$
$t_2\approx3,9$

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Der Wert von $t_1\approx1,1$ liegt nicht in dem vorgegebenen Intervall von $[1,5;5,5]$ . Die gesuchte Wendestelle liegt daher an der Stelle $t_2\approx3,9$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: per GTR

Nach dem Satz vom Nullprodukt kann nur der Klammerterm der zweiten Ableitung gleich Null werden. Untersuche daher den Term $0,25t^2-1,25t+1,0625$ mit deinem GTR auf Nullstellen.

Lasse dir den Graphen zeichnen und bestimme mit folgendem Befehl die Nullstelle.

$2nd\to calc\to 2:zero$

Wähle als Grenzen die Grenzen des Intervalls $[1,5;5,5]$ . Du erhältst eine Nullstelle an der Stelle $t=3,9$ .

Graf einer quadratischen Funktion mit Achsen und Berechnungsoptionen.

Abb. 1: Berechnung der Wendestelle.

Somit nimmt die momentane Änderungsrate der Satzlänge nach etwa $3,9$ Jahren am schnellsten ab.

(1)

$\blacktriangleright$ Terme interpretieren

Du sollst nun die Bedeutung der Terme $\displaystyle\int_{1,5}^{t}r(u)\;\mathrm du$ und $1,2\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ im Sachzusammenhang interpretieren. Überlege dazu, was die Fläche unter dem Funktionsgraphen bedeutet. Zusätzlich weißt du, dass im Alter von $1,5$ Jahren eine Satzlänge von $1,2$ Wörtern beobachtet wird.

Die Funktion $r$ gibt die momentane Änderungsrate der durchschnittlichen Satzlänge an. Somit gibt die Fläche unter dem Funktionsgraphen an, um wie viele Wörter die Satzlänge in dem vorgegebenen Intervall anwächst.

Der Term $\displaystyle\int_{1,5}^{t}r(u)\;\mathrm du$ steht also für die Anzahl der Wörter in einem Satz, die die Kinder ab dem Alter von $1,5$ Jahren bis zu dem Zeitpunkt $t$ dazulernen.

Der Term $1,2\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ beschreibt entsprechend, wie viele Wörter die Kinder im Alter von $5,5$ Jahren in einem Satz verwenden.

(2)

$\blacktriangleright$ Numerisches Verfahren beschreiben

Um das numerische Verfahren, mit dem das Integral $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ bestimmt wird, zu beschreiben, betrachtest du die Abbildung 2 der Aufgabenstellung.

Bei dem numerischen Verfahren wird die Fläche unter dem Graphen in acht Rechtecke unterteilt. Eine Seite des Rechtecks ist jeweils gleich groß. Diese Strecke entspricht den Abschnitten auf der $t$ -Achse. Diese Abschnitte sind in $0,5$ er Schritten unterteilt.

Die andere Seite des Rechtecks entspricht den jeweiligen Funktionswerten. Dieser wird jeweils in der Mitte des $0,5$ er Intervalls berechnet. Das erste Rechteck liegt beispielsweise in dem Intervall $[1,5;2]$ . Der Funktionswert wird in der Mitte des Intervalls, also an der Stelle $t=1,75$ , berechnet. Betrachtest du das Rechteck, so erkennst du, dass ein Teil des Rechtecks über dem Graphen liegt und ein anderer Teil den Graphen nicht mit einschließt. Diese Flächen sind etwa gleich groß, so dass somit näherungsweise die Fläche unter dem Graphen berechnet wird.

Addierst du die Fläche der einzelnen Rechtecke zusammen, erhältst du näherungsweise den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ .

Unterteilst du das Intervall in mehr Rechtecke, so wird die Näherung genauer.

(3)

$\blacktriangleright$ Näherungswert berechnen

Nun sollst du den Näherungswert für den Term $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ berechnen.

Es gilt:

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt=...$

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Berechne zunächst die jeweiligen Funktionswerte und setze dann in die Formel ein.

$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} \\[5pt] r(1,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot1,75^2+1,25\cdot1,75} \\[5pt] &\approx& 1,28\\[5pt] r(2,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot2,25^2+1,25\cdot2,25}\\[5pt] &\approx& 1,46\\[5pt] r(2,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot275^2+1,25\cdot275} \\[5pt] &\approx& 1,46\\[5pt] r(3,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot3,25^2+1,25\cdot3,25} \\[5pt] &\approx& 1,28\\[5pt] r(3,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot3,75^2+1,25\cdot3,75} \\[5pt] &\approx& 1,00\\[5pt] r(4,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot4,25^2+1,25\cdot4,25} \\[5pt] &\approx& 0,69\\[5pt] r(4,75)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot4,75^2+1,25\cdot4,75} \\[5pt] &\approx& 0,42\\[5pt] r(5,25)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot5,25^2+1,25\cdot5,25} \\[5pt] &\approx& 0,22\\[5pt] \end{array}$

Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen.

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt\approx5,1$

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Der Wert des Terms beträgt ca. $5,1$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Funktion interpretieren

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Bedeutung der Funktion $z(a)=\displaystyle\int_{a}^{a+1}r(t)\;\mathrm dt$ für $1,5\leq a\leq4,5$ im Sachzusammenhang interpretieren.

Aus Teilaufgabe c) weißt du, dass das Integral $\displaystyle\int r(t)\;\mathrm dt$ die Anzahl der Wörter in einem Satz angibt, um die die Satzlänge in einem bestimmten Intervall anwächst. Überlege dir, was dies für die Funktion $z$ bedeutet.

Die Funktion $z$ beschreibt somit die Anzahl der Wörter in einem Satz, die die Kinder im Alter von $1,5$ bis $5,5$ Jahren innerhalb von einem Zeitraum von einem Jahr dazulernen.

(2)

$\blacktriangleright$ Ableitung begründen

Um zu begründen, warum $z‘(a)=r(a+1)-r(a)$ die erste Ableitung der Funktion $z(a)=\displaystyle\int_{a}^{a+1}r(t)\;\mathrm dt$ ist, überlegst du dir, wie du das Integral der Funktion $z$ berechnest. Beachte, dass es eine Stammfunktion $R$ von $r$ gibt.

Für $z$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} z(a)&=& \displaystyle\int_{a}^{a+1}r(t)\;\mathrm dt\\[5pt] &=&\left[R(t)\right]_a^{a+1}\\[5pt] &=& R(a+1)-R(a) \end{array}$

Da $R$ eine Stammfunktion der Funktion $r$ ist, so ist $r$ die erste Ableitung der Funktion $R$ . Leitest du die Funktion $z$ nach der Summenregel ab, so erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} z(a)&=& R(a+1)-R(a)\\[5pt] z‘(a)&=& r(a+1)-r(a) \end{array}$

(3)

$\blacktriangleright$ Weise nach

Du sollst nachweisen, dass gilt: $\dfrac{r(a+1)}{r(a)}=\mathrm e^{-0,5a+1}$

Um dies nachzuweisen, setzt du $t=a$ bzw. $t=a+1$ in die Funktion $r$ ein und setzt in $\dfrac{r(a+1)}{r(a)}=1$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{r(a+1)}{r(a)}&=& 1 \\[5pt] \dfrac{0,31\cdot\mathrm e^{-0,25(a+1)^2+1,25(a+1)}}{0,31\cdot\mathrm e^{-0,25a^2+1,25a}}&=& 1\\[5pt] \dfrac{\mathrm e^{-0,25(a^2+2a+1)+1,25a+1,25}}{\mathrm e^{-0,25a^2+1,25a}}&=& 1\\[5pt] \dfrac{\mathrm e^{-0,25a^2-0,5a-0,25+1,25a+1,25}}{\mathrm e^{-0,25a^2+1,25a}}&=& 1\\[5pt] \mathrm e^{-0,5a-0,25+1,25}&=& 1\\[5pt] \mathrm e^{-0,5a+1}&=& 1 \end{array}$

Somit gilt:

$\dfrac{r(a+1)}{r(a)}=\mathrm e^{-0,5a+1}$

(4)

$\blacktriangleright$ Interpretiere die Lösung $\boldsymbol{a=2}$ im Sachzusammenhang

Du weißt, dass $a=2$ die Lösung der Gleichung $z‘(a)=0$ ist. Außerdem ist die zweite Ableitung $z‘‘$ an der Stelle $a=2$ kleiner Null. Überlege dir, was du mit $z‘(a)$ berechnest.

Bei Gleichung $\text{I}$ wird mit $z‘(a)=0$ die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $z$ überprüft. Mit der Gleichung $\text{II}$ wird die Art der Extremstelle untersucht. Da die zweite Ableitung $z‘‘$ an der Stelle $a=2$ kleiner als Null ist, hat die Funktion $z$ an dieser Stelle ein Maximum.

Im Alter von $2$ Jahren beginnt demnach das Jahr, in dem die Kinder die meisten Wörter dazulernen und die Satzlänge somit am stärksten zunimmt.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

(1)

$\blacktriangleright$ Funktionswert berechnen und interpretieren

$\begin{array}[t]{rll} r(t)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} \\[5pt] r(2)&=& 0,31\cdot\mathrm e^{-0,25\cdot2^2+1,25\cdot2}\\[5pt] r(2)&\approx& 1,4 \end{array}$

Der Funktionswert an der Stelle $t=2$ beträgt ca. $1,4$ . Dies bedeutet, dass sich die Satzlänge der Kinder im Alter von $2$ Jahren um etwa $1,4$ Wörter pro Jahr verlängert.

(2)

$\blacktriangleright$ Aussage interpretieren

Für die Funktion gilt: $r(t)\gt 0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ . Überlege dir, was diese Aussage im Sachzusammenhang bedeutet.

(1)

$\blacktriangleright$ Erste und zweite Ableitung bestimmen

Nun sollst du die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ bestimmen. Beachte dabei, dass für die $\mathrm e$ -Funktion die Kettenregel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\mathrm e^{nx} \\[5pt] f‘(x)&=& n\cdot\mathrm e^{nx} \end{array}$

1. Ableitung:

$\scriptsize{r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t}}$

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2. Ableitung:

Beachte hier zusätzlich zur Kettenregel die Produktregel.

$\scriptsize{ r‘‘(t) = 0,31\left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2...}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die erste und zweite Ableitung der Funktion $r$ lauten:

$\scriptsize{ r‘(t)= 0,31\cdot(-0,5t+1,25)\cdot\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

$\scriptsize{r‘‘(t)= 0,31 \left(0,25t^2-1,25t+1,0625\right)\mathrm e^{-0,25t^2+1,25t} }$

(2)

$\blacktriangleright$ Größte momentane Änderungsrate nachweisen

Um nachzuweisen, dass im Alter von $2,5$ Jahren die größte momentane Änderungsrate der Satzlänge vorliegt, berechnest du das Maximum der Funktion $r$ .

Hat die Funktion an der Stelle $t=2,5$ ein Maximum, so liegt zu diesen Zeitpunkt die größte momentane Änderungsrate vor.

Für ein Maximum einer Funktion $r$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:

Notwendige Bedingung: $r‘(t_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $r‘‘(t_E)\lt 0$

Du kannst nun folgendermaßen vorgehen:

Prüfe die notwendige Bedingung
Prüfe die hinreichende Bedingung

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

$t_1 = 2,5$

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Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ eine potentielle Extremstelle.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Setze nun $t_1=2,5$ in den Funktionsterm der zweiten Ableitung $r‘‘$ ein, um zu überprüfen, ob es sich bei der Extremstelle um ein Maximum handelt.

$r‘‘(2,5)\approx -0,74 \lt 0$

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Die Funktion $r$ hat an der Stelle $t_1=2,5$ ein Maximum. Damit liegt im Alter von $2,5$ Jahren die größte Änderungsrate der Satzlänge vor.

(3)

$\blacktriangleright$ Wendestelle ermitteln

Nun sollst du die Wendestelle der Funktion $r$ in dem Intervall $[1,5;5,5]$ ermitteln. Für eine Wendestelle einer Funktion $r$ gelten folgende Bedingungen:

Notwendige Bedingung: $r‘‘(t_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $r‘‘‘(t_E)\neq0$

Die hinreichende Bedingung musst du laut Aufgabenstellung nicht überprüfen. Du kannst den Wert von $t$ von Hand berechnen, oder mit deinem GTR.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: per Hand

Setze den Term der zweiten Ableitung $r‘‘$ gleich Null und löse nach $t$ auf, um die Wendestelle der Funktion zu berechnen. Beachte auch hier den Satz vom Nullprodukt.

$t_1\approx1,1$
$t_2\approx3,9$

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Der Wert von $t_1\approx1,1$ liegt nicht in dem vorgegebenen Intervall von $[1,5;5,5]$ . Die gesuchte Wendestelle liegt daher an der Stelle $t_2\approx3,9$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: per GTR

Nach dem Satz vom Nullprodukt kann nur der Klammerterm der zweiten Ableitung gleich Null werden. Untersuche daher den Term $0,25t^2-1,25t+1,0625$ mit deinem GTR auf Nullstellen.

Lasse dir den Graphen zeichnen und bestimme mit folgendem Befehl die Nullstelle.

$2nd\to calc\to 2:zero$

Graf einer quadratischen Funktion mit Wurzel und Achsenbeschriftungen.

Abb. 1: Berechnung der Wendestelle.

Du erhältst eine Nullstelle an der Stelle $t=3,9$ .

Somit nimmt die momentane Änderungsrate der Satzlänge nach etwa $3,9$ Jahren am schnellsten ab.

(1)

$\blacktriangleright$ Terme interpretieren

Der Term $\displaystyle\int_{1,5}^{t}r(u)\;\mathrm du$ steht also für die Anzahl der Wörter in einem Satz, die die Kinder ab dem Alter von $1,5$ Jahren bis zu dem Zeitpunkt $t$ dazulernen.

Der Term $1,2\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ beschreibt entsprechend, wie viele Wörter die Kinder im Alter von $5,5$ Jahren in einem Satz verwenden.

(2)

$\blacktriangleright$ Numerisches Verfahren beschreiben

Um das numerische Verfahren, mit dem das Integral $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ bestimmt wird, zu beschreiben, betrachtest du die Abbildung 2 der Aufgabenstellung.

Addierst du die Fläche der einzelnen Rechtecke zusammen, erhältst du näherungsweise den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ .

Unterteilst du das Intervall in mehr Rechtecke, so wird die Näherung genauer.

(3)

$\blacktriangleright$ Näherungswert berechnen

Nun sollst du den Näherungswert für den Term $1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt$ berechnen.

Es gilt:

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Berechne zunächst die jeweiligen Funktionswerte und setze dann in die Formel ein.

Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen.

$1,2+\displaystyle\int_{1,5}^{5,5}r(t)\;\mathrm dt\approx5,1$

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Der Wert des Terms beträgt ca. $5,1$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Funktion interpretieren

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Bedeutung der Funktion $z(a)=\displaystyle\int_{a}^{a+1}r(t)\;\mathrm dt$ für $1,5\leq a\leq4,5$ im Sachzusammenhang interpretieren.

Die Funktion $z$ beschreibt somit die Anzahl der Wörter in einem Satz, die die Kinder im Alter von $1,5$ bis $5,5$ Jahren innerhalb von einem Zeitraum von einem Jahr dazulernen.

(2)

$\blacktriangleright$ Ableitung begründen

Für $z$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} z(a)&=& \displaystyle\int_{a}^{a+1}r(t)\;\mathrm dt\\[5pt] &=&\left[R(t)\right]_a^{a+1}\\[5pt] &=& R(a+1)-R(a) \end{array}$

Da $R$ eine Stammfunktion der Funktion $r$ ist, so ist $r$ die erste Ableitung der Funktion $R$ . Leitest du die Funktion $z$ nach der Summenregel ab, so erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} z(a)&=& R(a+1)-R(a)\\[5pt] z‘(a)&=& r(a+1)-r(a) \end{array}$

(3)

$\blacktriangleright$ Weise nach

Du sollst nachweisen, dass gilt: $\dfrac{r(a+1)}{r(a)}=\mathrm e^{-0,5a+1}$

Um dies nachzuweisen, setzt du $t=a$ bzw. $t=a+1$ in die Funktion $r$ ein und setzt in $\dfrac{r(a+1)}{r(a)}=1$ ein.

Somit gilt:

$\dfrac{r(a+1)}{r(a)}=\mathrm e^{-0,5a+1}$

(4)

$\blacktriangleright$ Interpretiere die Lösung $\boldsymbol{a=2}$ im Sachzusammenhang

Du weißt, dass $a=2$ die Lösung der Gleichung $z‘(a)=0$ ist. Außerdem ist die zweite Ableitung $z‘‘$ an der Stelle $a=2$ kleiner Null. Überlege dir, was du mit $z‘(a)$ berechnest.

Im Alter von $2$ Jahren beginnt demnach das Jahr, in dem die Kinder die meisten Wörter dazulernen und die Satzlänge somit am stärksten zunimmt.

Bildnachweise [nach oben]

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