Aufgabe 1

In einem Entwicklungslabor wird der Ladevorgang bei Akkus an verschiedenen Ladegeräten getestet. Der zeitliche Verlauf des Ladezustands für verschiedene Ladegeräte wird durch Funktionen $Q_k$ mit $Q_k(t)=1000\left(1-\mathrm e^{-k\cdot t}\right),$ $k\in \mathbb{R},$ $k\gt 0,$ modelliert und ist für $k = 0,2;$ $k = 0,4;$ $k = 0,6$ und $k = 0,95$ in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Dabei gibt $t$ die seit Beginn des Ladevorgangs vergangene Zeit in Stunden und $Q_k(t)$ die Ladung des Akkus zum Zeitpunkt $t$ (Einheit: $\text{mAh}$ ) an.
Der Ladevorgang beginnt im Folgenden stets zum Zeitpunkt $t = 0$ und es gilt $Q_k(0) = 0,$ d. h., in der Modellierung wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ladung des Akkus zu Beginn immer den Wert $0$ hat.

(1)

Der Verlauf des Graphen legt die Vermutung nahe, dass sich die Funktionen $Q_k(t)$ für große Werte von $t$ unabhängig von $k$ dem Wert $1000$ annähern und ihn nicht überschreiten. Entscheide begründet, ob diese Vermutung wahr ist.

Die maximale Ladung, die ein Akku unter idealen Bedingungen aufnehmen kann, wird Kapazität genannt. Im Folgenden haben die betrachteten Akkus jeweils eine Kapazität von $1000\,\text{mAh}.$ Eine Balkenanzeige am Ladegerät signalisiert während des Ladevorgangs den momentanen Ladezustand des Akkus mit folgenden Symbolen:

kein Balken:

Die Ladung beträgt weniger als $33\,\%$ der Kapazität.

ein Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $33\,\%$ und weniger als $66\,\%$ der Kapazität.

zwei Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $66\,\%$ und weniger als $99\,\%$ der Kapazität.

drei Balken:

Die Ladung beträgt mindestens $99\,\%$ der Kapazität.

(2)

Bestimme in Abhängigkeit von $k,$ wie lange es ab dem Start des Ladevorgangs dauert, bis die Balkenanzeige den ersten Balken anzeigt. Begründe anschaulich, ggf. mit Abbildung 1, dass die Zeitdauer bis zum Erscheinen eines weiteren Balkens von Balken zu Balken immer größer wird.

(3)

Beschreibe die Bedeutung größer werdender Werte für den Parameter $k$ im Sachzusammenhang und gib begründet an, welcher Graph in Abbildung 1 zum Parameter $k=0,4$ gehört.

(3 + 5 + 3 Punkte)

Die momentane Änderungsrate der Ladung $Q_k$ wird Ladestrom $I_k$ genannt (Einheit: $\,\text{mA}$ ).
Der Ladestrom wird zur Kontrolle des Ladungsvorgangs benutzt. In diesem Falle lautet also die Funktionsgleichung für den Ladestrom: $\(I_k(t)=Q_k$

(1)

Um den Akku zu schonen, soll der Ladestrom während des Ladevorgangs nicht zu groß werden.
Begründe, dass der Ladestrom in einem beliebigen Zeitintervall jeweils am Intervallrand maximal ist, und gib begründet an, an welchem der beiden Intervallränder das Maximum liegt.

(2)

Für den vorliegenden Akku soll der Ladestrom während des Ladevorgangs den Wert $500$ zu keinem Zeitpunkt überschreiten.
Bestimme, für welche Werte von $k$ die Vorgabe eingehalten wird. Gib an, welche der Ladegeräte aus a) die Vorgabe nicht erfüllen.

(3)

Der Ladevorgang wird abgeschaltet, wenn der Ladestrom $I_k$ den Wert $10k$ unterschreitet.
Bestimme die von $k$ abhängige Dauer eines solches Ladevorgangs. Zeige, dass die Abschaltbedingung bewirkt, dass der Ladevorgang unabhängig von $k$ immer in dem Moment abgeschaltet wird, wenn die Anzeige zum letzten Balken wechselt.

(3+ 3+ 5 Punkte)

Ein defektes Ladegerät steuert den Ladestrom fälschlicherweise nach der Funktionsvorschrift $I_d(t)= (100t+50)\mathrm e^{-0,4t+0,1}.$
Nach $12$ Stunden wird der Ladevorgang an diesem Ladegerät abgebrochen.

(1)

Zeige rechnerisch, dass die Funktion $I_d$ genau ein lokales Maximum besitzt.

(2)

Begründe, dass der Ladestrom $I_d$ während des Ladevorgangs den Wert $150$ nie überschreitet.

(7 + 2 Punkte)

Ein Powerladegerät soll den Akku schnell aufladen. Dazu wird der Akku zunächst mit einem konstanten Ladestrom von $500\,\text{mA}$ geladen, bis der Akku eine Ladung von $900\,\text{mAh}$ erreicht hat. Ab diesem Zeitpunkt $t_1$ wird der Ladestrom gemäß der Funktion $I$ mit $I(t)= 500\mathrm e^{-5(t-t_1)}$ verringert bis zum Zeitpunkt $t_2,$ wenn der Wert $I(t_2) = 10$ erreicht wird und der Ladevorgang abgeschaltet wird. Ein solcher Ladevorgang ist in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

(1)

Bestimme die Dauer des gesamten Ladevorgangs.

$\big[$ Zur Kontrolle: ca. $2,58$ [Stunden] $\big]$

(2)

Bestimme die Gesamtladung $Q$ des Akkus am Ende des Ladevorgangs.

(4 + 5 Punkte)

(1)

Es gilt: $\mathrm e^{-k\cdot t} \gt 0.$

Da $t \geq 0,$ folgt $0 \lt \mathrm e^{-k\cdot t} \leq 1.$

Daraus folgt $0 \leq (1-\mathrm e^{-k\cdot t}) \lt 1,$ woraus sich ergibt, dass $1000\cdot (1-\mathrm e^{-k\cdot t}) \lt 1000.$

Die Werte der Funktionen $Q_k(t)$ überschreiten somit nie den Wert $1000.$
Die Vermutung ist also wahr.

(2)

Der erste Balken erscheint, wenn mindestens $33\,\%$ des Akkus geladen sind, wenn also die Ladung $Q_k(t)=330$ beträgt.

$\begin{array}[t]{rll} Q_k(t) &=& 330 \\[5pt] 1000\cdot(1-\mathrm e^{-k\cdot t}) &=& 330 &\quad \scriptsize \mid\;:1.000 \\[5pt] 1-\mathrm e^{-k\cdot t}&=& 0,33 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -\mathrm e^{-k\cdot t}&=& -0,67 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] \mathrm e^{-k\cdot t}&=& 0,67 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -k\cdot t&=& \ln (0,67)&\quad \scriptsize \mid\;:(-k) \\[5pt] t&=& -\frac{\ln (0,67)}{k} \end{array}$

Nach $-\frac{\ln 0,67}{k}$ Stunden zeigt die Balkenanzeige den ersten Balken.

In Abbildung 1 lässt sich erkennen, dass die Graphen von $Q_k$ mit größer werdenden Werten von $t$ immer weniger stark ansteigen, da sie sich der Asymptote $y=1000$ annähern.
Die Ladung des Akkus nimmt zu, je weiter der Akku schon geladen ist.
Da die Balken jeweils in einem konstanten Ladungsabstand von $33\,\%$ bzw. $330\,\text{mAh}$ angezeigt werden, dauert es länger, bis der nächste Balken angezeigt wird.

(3)

Je größer der Wert $k$ ist, desto größer ist auch der Funktionswert $Q_k(t)$ an einer bestimmten Stelle $t \gt 0.$ Die Funktion steigt für einen größeren Wert von $k$ folglich schneller an. Der Akku gewinnt dadurch schneller an Ladung und hat so schneller eine bestimmte Ladung erreicht.
Der Wert $k=0,4$ ist der drittgrößte der angegebenen Werte. Der Graph zu Ladegerät 3 gehört also zum Parameter $k=0,4.$

(1)

Der Ladestrom wird durch die Funktion $I_k$ mit $I_k(t) = 1000 \cdot k\cdot\mathrm e^{-k\cdot t}$ beschrieben.
Für größer werdende Werte von $t$ wird $\mathrm e^{-k\cdot t}$ immer kleiner, der Faktor $1000\cdot k$ bleibt dagegen konstant. Die Funktion $I_k$ ist für $t \geq 0$ streng monoton fallend. Der Ladestrom ist also immer zum Startzeitpunkt des Intervalls am größten.

(2)

$\begin{array}[t]{rll} I_k(0)&=& 1000\cdot k\cdot \mathrm e^{-k\cdot 0} \\[5pt] &=& 1000\cdot k \\[5pt] \end{array}$

Es soll gelten $I_k(0)\leq 500:$

$\begin{array}[t]{rll} I_k(0)&\leq& 500 \\[5pt] 1.000\cdot k&\leq& 500 &\quad \scriptsize \mid\; :1.000\\[5pt] k&\leq& 0,5 \end{array}$

Die Vorgabe wird unter der Voraussetzung $k\gt 0$ für $k\leq 0,5$ eingehalten. Die Ladegeräte 1 und 2 erfüllen die Vorgabe also nicht.

(3)

$\begin{array}[t]{rll} I_k(t)&=& 10 \\[5pt] 1.000\cdot k \cdot \mathrm e^{-k\cdot t}&=& 10k &\quad \scriptsize \mid\;:1.000k\neq 0 \\[5pt] \mathrm e^{-k\cdot t}&=& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] -k\cdot t&=& \ln 0,01&\quad \scriptsize \mid\; :(-k) \\[5pt] t&=& - \frac{\ln 0,01}{k} \end{array}$

Die Dauer des Ladesvorgangs mit dem Ladestrom $I_k$ beträgt $- \frac{\ln 0,01}{k}$ Stunden.

Die Anzahl der Balken richtet sich nach der Ladung. Diese wird durch $Q_k$ beschrieben.

$\begin{array}[t]{rll} Q_k\left(- \frac{\ln 0,01}{k}\right)&=& 1.000\cdot \left(1-\mathrm e^{-k\cdot \left(- \frac{\ln 0,01}{k} \right)} \right) \\[5pt] &=& 1.000\cdot \left(1-\mathrm e^{\ln 0,01} \right) \\[5pt] &=& 1.000\cdot \left(1- 0,01 \right) \\[5pt] &=& 990 \\[5pt] \end{array}$

Beim Beenden des Ladevorgangs beträgt die Ladung also von $k$ unabhängig $990\,\text{mAh},$ was $99\,\%$ entspricht. Die Anzeige wechselt also zum letzten Balken.

(1)

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} I_d(t) &=& (100t+50)\mathrm e^{-0,4\cdot t+0,1} \\[5pt] I_d$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} I_d$

Die Funktion $I_d$ kann also höchstens ein lokales Maximum besitzen, da nur an der Stelle $t=2$ das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen erfüllt ist.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} I_d$

An der einzigen Stelle, an der das notwendige Kriterium für ein lokales Extremum erfüllt ist, besitzt $I_d$ also ein Maximum. $I_d$ besitzt daher genau ein lokales Maximum.

(2)

An der Stelle $t=2$ hat $I_d$ laut d) (1) ein lokales Maximum. Der Funktionswert beträgt dort:

$I_d(2)= (100\cdot 2 +50)\cdot \mathrm e^{-0,4\cdot 2+0,1} \approx 124,15$

Da dies die einzige lokale Extremstelle von $I_d$ ist, kann es keine Randextrema geben. Der maximale Wert, den der Ladestrom annimmt, ist daher $124,15.$ Er kann also den Wert $150$ nie überschreiten.

(1)

Der Zeitpunkt $t_1$ ist der Zeitpunkt, an dem der konstante Ladestrom mit $500\,\text{mA}$ in den Ladestrom $I$ wechselt. Dies passiert, wenn die Ladung des Akkus $900\,\text{mAh}$ beträgt.

$t_1 = \dfrac{900\,\text{mAh}}{500\,\text{mA}} = 1,8\,\text{h}$

Nach $1,8$ Stunden hat der Akku also eine Ladung von $900\,\text{mAh}$ erreicht und wechselt in den Ladestrom, der durch die Funktion $I$ beschrieben wird. Der Ladevorgang bricht dann ab, wenn dieser den Wert $10$ erreicht.

$\begin{array}[t]{rll} I(t_2)&=& 10 \\[5pt] 500\mathrm e^{-5(t_2-t_1)} &=& 10 \\[5pt] 500\mathrm e^{-5(t_2-1,8)} &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; :500\\[5pt] \mathrm e^{-5(t_2-1,8)} &=& 0,02 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -5(t_2-1,8)&=& \ln 0,02 &\quad \scriptsize \mid\; :-5 \\[5pt] t_2-1,8&=& -\frac{\ln 0,02}{5} &\quad \scriptsize \mid\; :+1,8 \\[5pt] t_2&=& -\frac{\ln 0,02}{5} +1,8\\[5pt] &\approx& 2,58\\[5pt] \end{array}$

Der Ladevorgang dauert ca. $2,58$ Stunden.

(2)

Bekannt ist bereits, dass die Ladung des Akkus zum Zeitpunkt $t_1=1,8$ $900\,\text{mAh}$ beträgt. Es muss also noch die Ladung berechnet werden, die von $t_1$ bis $t_2$ dazukommt. Diese kann mit einem Integral über $I$ berechnet werden. Der Wert des Integrals wird mit dem GTR bestimmt:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$\approx 97,98$

Vollständige Lösung anzeigen

Am Ende des Ladevorgangs beträgt die Ladung also ca. $998\,\text{mAh}.$