Aufgabe 5

Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 \;\text{m}.$ Die Wasseroberfläche liegt $20 \;\text{m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Abbildung 1

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10 \;\text{m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die $x$ -Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die $y$ -Achse entlang der Symmetrieachse.

Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm

$r(x)=\dfrac{253}{100} \cdot\left( \mathrm e ^{\frac{1}{11}(32-x)}-1\right)$

beschrieben.

(1)

Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640 \;\text{m}$ lang ist.

(2)

Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden.

Gib einen passenden Term $l(x)$ sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt.

(3)

Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche.

(4)

Untersuche rechnerisch, ob die Steigungen, mit denen das rechte und das linke Abspannseil auf den jeweils zugehörigen Pfeiler treffen, zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen.

(5)

In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück.

Ermittle dessen Inhalt in der Realität.

(3 + 3 + 2 + 4 + 3 Punkte)

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16 \;\text{m}.$

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm

$s(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^6 \cdot\left(x^4+2560 x^2\right)+\dfrac{125}{256}$

beschrieben.

(1)

Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.

(2)

Zwei der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt haben eine Länge von jeweils $\dfrac{643061}{64000} \;\text{m} \quad [\approx 10,00 \;\text{m}].$

Zeige rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x=-7,2$ und $x=7,2$ befinden, d.h. $72 \;\text{m}$ links bzw. rechts der Brückenmitte.

Gib außerdem an, an wievielter Position von der Brückenmitte aus sich diese Halteseile befinden.

(3)

Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40\;\text{m}$ und einen Höhenunterschied von $5 \;\text{m}.$

Gib eine Gleichung an, deren Lösung die $x$ -Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist.

(4)

Gib die Bedeutung des Terms

$(s(-20+1,6 \cdot 1)+s(-20+1,6 \cdot 2)$ $+\cdots+s(-20+1,6 \cdot 23)$ $+s(-20+1,6 \cdot 24)) \cdot 10$

im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe.

(2 + 2 + 2 + 4 Punkte)