Aufgabe 3

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0\mid0\mid0),$ $B,$ $C(0\mid100\mid0),$ $D(0\mid0\mid246),$ $E(48\mid64\mid246)$ und $F(0\mid100\mid246)$ sowie der Punkt $G(0\mid0\mid146)$ gegeben.

Abbildung 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an.
Für $a\geq0$ ist der Punkt $G_a(0\mid0\mid a)$ gegeben.

(2)

Zeige, dass das Dreieck $G_aEF$ für jedes $a\geq0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist.

(3)

Bestimme $0\leq a\leq 246$ so, dass das Dreieck $G_aEF$ den Flächeninhalt $780\cdot\sqrt{41}\,\text{FE}$ hat.

(4)

Für $a=246$ gilt $G_a=D.$ Das Dreieck $DEF$ hat den Flächeninhalt $2400\,\text{FE}.$ Bestimme das Volumen des Prismas $ABCDEF.$
[Hinweis: $V_{\text{Prisma}}=590400\,\text{VE}.$ ]

(1 + 3 + 3 + 1 Punkte

Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.

(1)

Die Länge der Kante $\overline{AG}$ musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante $\overline{AD}$ um $100\,\text{m}$ auf $146\,\text{m}$ reduziert werden.

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $ABCDEF$ durch diese Reduzierung verkleinert hat.

(2)

Stelle die Menge aller Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ in Parameterform dar.

(3)

Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{4\\10\\200}+k\cdot\pmatrix{3\\7\\-1},$ $k\in\mathbb{R},$ modelliert werden kann.

Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $GEF$ enthält.

(3 + 3 + 4 Punkte)

Durch $E_b:3\cdot x_1+4\cdot x_2-4\cdot x_3=b,$ $b\in\mathbb{R},$ ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben.
Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}.$ Es gibt einen Wert von $b,$ sodass $E_b=E_{\text{Dach}}$ gilt.

(1)

Bestimme $b$ so, dass $E_b=E_{\text{Dach}}$ gilt.
[Zur Kontrolle: $b=-584.$ ]

(2)

Berechne den Winkel zwischen $E_{\text{Dach}}$ und der Ebene $E_{\text{Wand}},$ in der die Wandfläche $BCFE$ liegt.

(3)

Oberhalb der Dachfläche soll in einer Ebene, die parallel zur Dachfläche $GEF$ verläuft, eine Fläche mit Solarkollektoren entstehen (siehe Abbildung 2).

nrw abi lk gtr 2022 aufgabe 3 teil b abbildung 1 prisma solarkollektor

Abbildung 2

Diese Ebene hat einen Abstand von $2,5 \,\text{m}$ zur Dachfläche $GEF.$
Bestimme rechnerisch die $x_3$ -Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P (0 \mid 100 \mid z).$

(1 + 4 + 2 Punkte)

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(1)

$B(48\mid 64\mid 0)$

(2)

Es sind:

$\overrightarrow{EG_a}=\pmatrix{-48\\-64\\a-246}$ und $\overrightarrow{EF}=\pmatrix{-48\\36\\0}$

Prüfen der Orthogonalität:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EG_a} \circ \overrightarrow{EF}&=&\pmatrix{-48\\-64\\a-246}\circ \pmatrix{-48\\36\\0} \\[5pt] &=& 2304-2304 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Das Dreieck $G_aEF$ hat also unabhängig von $a$ in Punkt $E$ immer einen rechten Winkel.

(3)

Das Dreieck $G_aEF$ ist nach (2) immer rechtwinklig.

Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt sich so berechnen:

Rechenweg anzeigen

$A_{G_aEF}=30 \cdot \sqrt{(-48)^2+(-64)^2+(a-246)^2}$

Dieser Flächeninhalt soll nun $780\cdot \sqrt{41}\;\text{FE}$ betragen:

Rechenweg anzeigen

$A_{G_aEF}=780\cdot \sqrt{41}$

Der Solve-Befehl des GTR liefert die Lösungen $a=100$ und $a=392$ , wovon nur $a=100$ die angegebenen Bedingungen erfüllt.

(4)

Wie in (3) kann der Flächeninhalt berechnet werden als:

Rechenweg anzeigen

$A_{DEF}= 2400 \; \text{[FE]}$

Somit ergibt sich $V_{\text{Prisma}}$ $=A_{DEF} \cdot h_{\text{Prisma}}$ $=2400\cdot 246$ $=590400\;\text{[VE]}.$

(1)

Das Volumen der Pyramide $DEFG$ lässt sich berechnen durch:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h_{\text{Pyramide}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot 2400 \cdot 100 \\[5pt] &=& 80000\; \text{[VE]} \end{array}$

Somit verkleinert sich das Volumen um:

$\dfrac{80000}{590400}\approx 13,55\; \text{%}$

(2)

$\overrightarrow{EG}=\pmatrix{-48\\-64\\-100}$

$\overrightarrow{EF}=\pmatrix{-48\\36\\0}$

Somit ist eine Parametergleichung für $E_{\text{Dach}}$ :

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{x}\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100 \end{array}\right)+t \cdot \left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0 \end{array}\right)$

Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ sind gegeben durch:

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100 \end{array}\right)+t \cdot \left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0 \end{array}\right) \;$ mit $s\geq 0$ , $t\geq 0$ und $s+t\leq 1$

(3)

Rechenweg anzeigen

Mit dem GTR folgt:

$\mathbb{L}={\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{6};4\right)}$

Es gilt:

$\dfrac{1}{2}\geq0$ , $\dfrac{1}{6}\geq0$ und $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}\leq1$

Somit enthält die Gerade $g$ einen Punkt der Dachfläche $GEF.$

(1)

Ein Normalenvektor der Ebene $E_b$ ist:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\4\\-4}$

Damit $E_b$ und $E_{Dach }$ identisch sind, müssen sie außer der Parallelität noch an der gleichen Stelle liegen. Dies kann über $b$ erreicht werden.

Aus $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{n} \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\0 \\146 \end{array}\right)=-584$ folgt $b=-584 .$

(2)

Ein Normalenvektor der Ebene $E_{\text{Dach}}$ ist:

$\overrightarrow{n}_{\text{Dach}}=\pmatrix{3\\4\\-4}$

Ein Normalenvektor der Ebene $E_{Wand}$ ergibt sich aus:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_{Wand}&=& \overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{EB} \\[5pt] &=& \pmatrix{-48\\36\\0}\times \pmatrix{0\\0\\-246} \\[5pt] &=& \pmatrix{-8856\\-11808\\0} \end{array}$

Gekürzt ergibt sich:

$\overrightarrow{n}_{\text{Wand}}=\pmatrix{3\\4\\0}$

Für den Winkel zwischen $E_{\text{Dach}}$ und $E_{\text{Wand}}$ gilt:

$\cos(\alpha)=\dfrac{\left|\left(\begin{array}{c}3 \\4 \\-4 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\4 \\0 \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}3 \\4 \\-4 \end{array}\right)\right|\circ \left|\left(\begin{array}{l}3 \\4 \\0 \end{array}\right)\right|}=25 \cdot \dfrac{\sqrt{41}}{205}$

Daraus folgt $\alpha \approx 38,66\text{°}.$

(3)

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d(P, E_{\text{Dach}})&=& 2,5 \\[5pt] \left| \dfrac{3\cdot 0 +4\cdot 100+ (-4)\cdot z -(-584)}{\sqrt{3^2+4^2+(-4)^2}}\right|&=& 2,5 \\[5pt] \left|\dfrac{400-4 z+584}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+4^{2}}}\right|&=& 2,5 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des GTRs ergeben sich die beiden Lösungen $z_{1}$ und $z_{2}$ mit $z_{1} \approx 242$ und $z_{2} \approx 250$ . Wegen $z_{2} \approx 250>246$ , ist $z_{2} \approx 250$ die gesuchte $x_{3}$ -Koordinate.

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