Aufgabe 2

Die Zeitspanne vom Sonnenaufgang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont überschreitet) bis zum Sonnenuntergang (Zeitpunkt, zu dem die Oberkante der Sonne den Horizont unterschreitet) wird als Tageslänge bezeichnet. Sie hängt vom Ort ab und ändert sich im Verlauf des Jahres.

In der folgenden Abbildung sind die Tageslängen in der kleinen ostwestfälischen Stadt Rahden für jeden ersten Tag eines Monats im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 1. Januar 2018 aufgetragen. Darüber hinaus ist der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ dargestellt, mit der ein Schüler die Tageslängen modelliert hat.
Vereinfachend wird hier angenommen, dass alle Monate die gleiche Länge von $30$ Tagen haben.
Dabei entspricht $t = 0$ dem 1. Januar 2017, $t = \frac{1}{30}\approx 0,03$ entspricht dem 2. Januar 2017, ..., $t = 1$ entspricht dem 1. Februar 2017, $t = 1\frac{1}{30}\approx 1,03$ entspricht dem 2. Februar 2017 usw.

Grafik zeigt die Tageslängen in Stunden über die Monate des Jahres.

Abb. 1

Entscheide anhand der Abbildung, welchen Grad die ganzrationale Funktion $f$ mindestens haben muss, und begründe deine Entscheidung.

(4 BE)

Aufgrund zu großer Abweichungen hat der Schüler die Modellierung mit der Funktion $f$ wieder verworfen. In einem neuen Ansatz hat er zur Modellierung der Tageslängen in Rahden im Zeitraum vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 für $0 \leq t \leq 5,67$ die Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(t)= ...$

Vollständige Formel anzeigen

$t \in \mathbb{R},$

verwendet. Dabei wird $g(t)$ als Tageslänge in Stunden aufgefasst.

(1)

Ermittle mit der Funktion $g$ die Tageslänge in Rahden für den heutigen Tag (3. Mai, also $t \approx 4,07$ ) und vergleiche den von dir berechneten Wert mit der tatsächlichen heutigen Tageslänge in Rahden von $15$ Stunden und $10$ Minuten.

(4 BE)

(2)

Gib den Wert des Terms $\dfrac{g(4)-g(2)}{2}$ an und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang.

(4 BE)

(3)

Vom 1. Januar 2017 bis zum 21. Juni 2017 $(t \approx 5,67 )$ werden nördlich des Äquators (und damit auch in Rahden) die Tage immer länger.
Zeige rechnerisch, dass diese Tatsache durch die Funktion $g$ zutreffend modelliert wird.

(6 BE)

(4)

Für die zweite Ableitung $g‘‘$ der Funktion $g$ gilt die folgende Aussage:

$g ‘‘(t) \lt 0$ für alle $t \in\mathbb{R}$ mit $t \gt 2,635.$

Interpretiere die Bedeutung dieser Aussage für $2,635 \lt t \lt 5,67$ unter Berücksichtigung von b) (3) im Sachzusammenhang.
[Hinweis: Ein Nachweis der Aussage ist nicht erforderlich.]

(3 BE)

(5)

Entscheide, ob die Funktion $g$ zur Modellierung der Tageslängen für das gesamte Jahr 2017 geeignet ist, und begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

Der 21. Juni 2017 $( t \approx 5,67 )$ ist der längste Tag des Jahres 2017, der 21. Dezember 2017 $( t \approx 11,67 )$ ist der kürzeste Tag des Jahres 2017 in Rahden.
Eine Freundin des Schülers schlägt vor, zur Modellierung der Tageslängen vom 21. Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018 für $5,67 \leq t \leq 12$ eine ganzrationale Funktion $h$ dritten Grades zu verwenden, deren Ableitung $h‘$ eine quadratische Funktion von folgender Form ist:

$h‘(t)= a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67) ,$ $t \in \mathbb{R},$

wobei $a$ eine noch zu ermittelnde reelle Zahl ist.

(1)

Begründe, dass es sinnvoll ist, von dem Ansatz $h‘(t) = a \cdot ( t - 5,67) \cdot (t - 11,67)$ auszugehen, wenn die Tageslängen ab dem 21. Juni 2017 durch eine ganzrationale Funktion $h$ dritten Grades modelliert werden sollen.

(4 BE)

(2)

Vom 21. Juni 2017 bis zum 21. Dezember 2017 werden die Tage in Rahden um insgesamt $9,15$ Stunden kürzer.
Ermittle $a$ passend zu diesem Wert.
[Zur Kontrolle: $a \approx 0,25417$ ]

(5 BE)

(3)

Bestimme ausgehend von den Betrachtungen in c) (1) und (2) eine Gleichung einer Funktion $h$ zur Modellierung der Tageslängen in Rahden vom 21. Juni 2017 bis zum 1. Januar 2018, in der kein Integralzeichen auftritt.

(7 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Grad der ganzrationalen Funktion angeben

Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph mindestens zwei Wendepunkte besitzt, bei $t\approx 2$ und $t\approx 9.$ Das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt lautet $f‘‘(t)=0.$ Die zweite Ableitung von $f$ muss also mindestens zwei Nullstellen besitzen. Da eine ganzrationale Funktion $n$ -ten Grades höchstens $n$ Nullstellen besitzen kann, muss die zweite Ableitung mindestens zweiten Grades sein und damit die eigentliche Funktion $f$ mindestens vierten Grades.

(1)

$\blacktriangleright$ Tageslänge ermitteln

Mit dem GTR ergibt sich: $g(4,07)\approx 15,30.$

Dies entspricht $15$ Stunden und $18$ Minuten und weicht damit um $8$ Minuten von der tatsächlichen Tageslänge in Rahden ab.

Graph einer mathematischen Funktion auf einem Taschenrechner-Display mit Achsen und Werten.

Abb. 1: 2nd $\to$ trace(calc) $\to$ 1: value

(2)

$\blacktriangleright$ Wert des Terms angeben

Wie oben ergibt sich mit dem GTR:

$\frac{g(4)-g(2)}{2} \approx 2,1$