Wahlplichtteil

Aufgabe 1 – Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktionsschar $f_a(x)=a^2x^4+4ax^3$ ; $a \in \mathbb{R}$ ; $a>0.$

Berechne den Wert von $a,$ für den $x=-1$ eine Nullstelle von $f_a$ ist.

Alle Graphen von $f_a$ haben einen von $a$ abhängigen Extrempunkt. Alle diese Extrempunkte liegen auf dem Graphen der Ortskurve $h.$ Bestimme eine Gleichung der Ortskurve $h.$

(1 + 4 Punkte)

Aufgabe 2 – Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=\mathrm e^x\cdot (1-ax)$ ; $a \in \mathbb{R}$ .

Zeige, dass $\(f$ die erste Ableitung von $f_a$ ist.

Untersuche, für welche Werte des Parameters $a$ der Graph von $f_a$ eine waagerechte Tangente besitzt.

(2 + 3 Punkte)

Aufgabe 3 – Vektorielle Geometrie

Gegeben ist die Ebenenschar $E_{a,b}:(2_a-1)x+by-z=1;$ $a,b \in \mathbb{R}$ .

Prüfe, ob $F:3x+3y=1+z$ zur Ebenenschar $E_{a,b}$ gehört.

Ermittle eine Gleichung für die Geradenschar $g_b,$ die die Schnittgeraden der Ebenen $E_{a,b}$ mit der $yz$ -Ebene enthält.

(2 + 3 Punkte)

Aufgabe 4 – Vektorielle Geometrie

Wird der Punkt $P(1\mid 2\mid 3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7\mid 2\mid 11)$ .

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$ ; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$ . Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$ . Bestimme die Koordinaten von $R$ .

(3 + 2 Punkte)

Aufgabe 5 – Stochastik

In einem Behälter befinden sich Gummibärchen.

Es befinden sich $4$ rote und $2$ grüne Gummibärchen im Behälter. Paula nimmt zufällig drei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie dabei mindestens zwei rote Gummibärchen isst.

Es befinden sich $n$ Gummibärchen im Behälter, von denen genau eines orange ist. Max nimmt zufällig zwei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei das orangefarbene Gummibärchen isst, beträgt $0,2$ . Ermittle die Anzahl $n$ der Gummibärchen im Behälter.

(2 + 3 Punkte)

Aufgabe 6 – Stochastik

Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen $X$ und $Y$ :

• Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. $X$ gibt die Summe der dabei gewürfelten Zahlen an.

• Aus einem Behälter mit 60 schwarzen und 40 weißen Kugeln wird zwölfmal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. $Y$ gibt die Anzahl der entnommenen schwarzen Kugeln an.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(X=10)$ übereinstimmt.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von $X$ und $Y$ werden jeweils durch eines der folgenden Diagramme I, II und III dargestellt. Ordne $X$ und $Y$ jeweils dem passenden Diagramm zu und begründe deine Zuordnung.

(2 + 3 Punkte)

(10 Punkte)

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Lösung 1 – Analysis

$\begin{array}[t]{rll} f_a(-1)&=& 0 \\[5pt] a^2-4 a&=&0 \\[5pt] a\cdot (a-4)&=&0 \end{array}$

Anwendung des Satzes vom Nullprodukt:

Es gilt $a \gt 0,$ weshalb $a=0$ keine Lösung ist.

Außerdem gilt:

$\begin{array}[t]{rll} a-4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] a&=&4 \end{array}$

Für $a=4$ ist $x=-1$ eine Nullstelle von $f_a.$

1. Schritt: Extremstelle bestimmen

Es gilt: $\(f_a$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt $4ax^2=0$ oder $ax+3=0.$

$x=0$ ist keine Lösung, da dies für $ax+3=0$ zu einer Ungeleichung führen würde.

Da $a \gt 0$ gilt, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} ax+3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \;\mid\;:a \\[5pt] x&=& -\dfrac{3}{a} \end{array}$

Auf die Anwendung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen kann verzichtet werden, da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass alle Graphen von $f_a$ einen von $a$ abhängigen Extrempunkt haben.

Der von $a$ abhängige Extrempunkt liegt also an der Stelle $x=-\dfrac{3}{a}.$

2. Schritt: Ortskurve $h$ bestimmen

Um die Ortskurve zu berechnen, muss der $x$ -Wert nach $a$ umgestellt und in $f_a$ eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& -\dfrac{3}{a} \quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] ax&=& -3 \quad \scriptsize \mid\; :x \\[5pt] a&=& -\dfrac{3}{x} \end{array}$

Einsetzen in $f_a$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$h(x)=-3x^2$

Die Gleichung der Ortskurve ist gegeben durch $h(x)=-3x^2.$

Lösung 2 – Analysis

Anwendung der Produktregel:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Damit der Graph von $f_a$ eine waagrechte Tangente besitzt, muss $\(f_a$ gelten.

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die Gleichung genau dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist. Da $\mathrm e^x \gt 0$ für alle $x \in \mathbb R$ muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 1-ax-a&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +ax \\[5pt] 1-a&=& ax \quad \scriptsize \mid\; :a \\[5pt] \dfrac{1-a}{a} &=& x \\[5pt] x &=& \dfrac{1-a}{a} \end{array}$

Der Term ist für $a=0$ nicht definiert. Der Graph von $f_a$ besitzt also für alle $a\neq 0$ eine waagrechte Tangente.

Lösung 3 – Vektorielle Geometrie

Der Vergleich der Koeffizienten von $x$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 2a-1&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 2a&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a &=& 2 \end{array}$

Der Koeffizientenvergleich von $y$ ergibt sofort $b=3.$

Diese Werte in $E_{a,b}$ eingesetzt, ergeben:

$\begin{array}[t]{rll} (2\cdot 2-1)x+3y-z&=& 1 \\[5pt] 3x+3y-z&=& 1 \quad \scriptsize \mid\; +z \\[5pt] 3x+3y &=& 1+z \end{array}$

Dies entspricht der Ebenengleichung von $F.$ Damit gehört $F$ zur Ebenenschar $E_{a,b}.$

Für die $yz$ -Ebene gilt: $x=0$

Für die Schnittgeraden muss daher gelten: $x=0$ und $b \cdot y-z=1.$

Zum Beispiel mit $y=r$ folgt: $z=b \cdot r-1.$

$g_b: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ b\end{array}\right) ; r \in R$ ist eine Gleichung der Geradenschar.

Lösung 4 – Vektorielle Geometrie

1. Schritt: Einen Normalenvektor von $E$ bestimmen

Ein Normalenvektor von $E$ ist gegeben durch $\overrightarrow{PQ}:$

$\overrightarrow{PQ}=\pmatrix{7\\2\\11}-\pmatrix{1\\2\\3}=\pmatrix{6\\0\\8}$

2. Schritt: Punkt aus $E$ ermitteln

Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{PQ}$ liegt in der Ebene $E.$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OP}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{PQ} & \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\3}+\dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{6\\0\\8} & \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\2\\7} \end{array}$

3. Schritt: $M$ in $E$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} E: 6\cdot x_1+8\cdot x_3&=&c & \\[5pt] 6\cdot 4+8\cdot 7&=&c & \\[5pt] 80&=&c \end{array}$

Eine Gleichung für $E$ ist somit gegeben durch:

$E: 6x_1+8x_3=80$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=&\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{PQ} & \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\2\\7}-\pmatrix{6\\0\\8} & \\[5pt] &=&\pmatrix{-2\\2\\-1} \end{array}$

Die Koordinaten von $R$ sind gegeben durch $(-2\mid 2 \mid -1).$

Lösung 5 – Stochastik

Für den Fall, dass Paula mindestens zwei rote Gummibärchen isst, gibt es 4 Möglichkeiten:

$r\mathrel{\widehat{=}}$ rotes Gummibärchen

$g\mathrel{\widehat{=}}$ grünes Gummibärchen

$P(rrg)=\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{24}{120}$

$P(rgr)=\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{24}{120}$

$P(grr)=\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{24}{120}$

$P(rrr)=\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{24}{120}$

Somit ergibt sich für das Ereignis folgende Wahrscheinlichkeit:

$P(X\geq 2)= 4\cdot \dfrac{24}{120}= 0,8$

Ereignis $1$ : orangenes Gummibärchen wird zuerst gezogen

$P(E1)=\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{n-1}{n-1}$

Ereignis $2$ : orangenes Gummibärchen wird als zweites gezogen

$P(E2)=\dfrac{n-1}{n}\cdot \dfrac{1}{n-1}$

Anzahl $n$ der Gummibärchen bestimmen:

$n=10$

Rechenweg anzeigen

Es befinden sich somit $10$ Gummibärchen im Behälter.

Lösung 6 – Stochastik

$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=& P({(1;3),(2;2),(3;1)})& \\[5pt] &=& 3\cdot\left(\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\right)& \\[5pt] &=&\dfrac{3}{36} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=10)&=& P({(4;6),(5;5),(6;4)})& \\[5pt] &=& 3\cdot\left(\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\right)& \\[5pt] &=&\dfrac{3}{36} \end{array}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung $Y:$ Diagramm III

Da in dem Behälter mehr schwarze als weiße Kugeln enthalten sind, muss die Verteilung asymmetrisch sein. Dies ist nur im Diagramm III der Fall.

Wahrscheinlichkeitsverteilung $X:$ Diagramm II

Betrachten eines Beispielwertes:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=3)&=& P({(1;2),(2;1)}) & \\[5pt] &=& \dfrac{2}{36} \end{array}$

Da die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ (in $a$ berechnet) nicht doppelt so groß wie $P(X=3)$ ist, kann das Diagramm I ausgeschlossen werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird dementsprechend im Diagramm II dargestellt.

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