Aufgabe 5

In Deutschland liegt bei $1\,\%$ der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.

Liegt bei einer Person eine Glutenunverträglichkeit vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von $98\,\%$ positiv. Liegt bei einer Person keine Glutenunverträglichkeit vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis dennoch positiv ist, $4\,\%.$ Bei einer Person, die aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt wurde, wird der Test durchgeführt.

(1)

Erstelle zu dem beschriebenen Sachverhalt ein beschriftetes Baumdiagramm.

(4 BE)

(2)

Ermittle für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

„Bei der Person liegt eine Glutenunverträglichkeit vor und das Testergebnis ist positiv.“

„Das Testergebnis ist negativ.“

(4 BE)

(3)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, wenn das Testergebnis positiv ist.

(4 BE)

Im Rahmen einer Studie sollen aus der Bevölkerung Deutschlands $20.000$ Personen zufällig ausgewählt werden. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der ausgewählten Personen an, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt.

(1)

Erläutere, warum das Modell der binomialverteilten Zufallsgröße zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten hier geeignet ist.

(3 BE)

(2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ abweicht.

(5 BE)

Der Test wird mithilfe eines Teststreifens durchgeführt, auf dem eine Substanz als Indikator aufgebracht ist. Ist die Indikatormenge auf einem Teststreifen zu gering, so ist dieser unbrauchbar.
Der Hersteller der Teststreifen verfolgt das Ziel, dass höchstens $10\,\%$ der hergestellten Teststreifen unbrauchbar sind, und führt deshalb regelmäßig eine Qualitätskontrolle durch. Dazu wird der laufenden Produktion eine Stichprobe von $100$ Teststreifen entnommen. Nur wenn sich darunter mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen befinden, entscheidet man sich dafür, das Herstellungsverfahren zu verbessern.

(1)

Beschreibe, welche Fehlentscheidungen bei dieser Qualitätskontrolle auftreten können.

(4 BE)

(2)

Bestimme, wie hoch die Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens ist, dass der Hersteller sich aufgrund seiner Entscheidungsregel irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens bemüht.
[Zur Kontrolle: $3,99\,\%$ ]

(3 BE)

(3)

Der Hersteller entschließt sich, die Kontrolle künftig mit einer größeren Stichprobe von $200$ Teststreifen durchzuführen. Die Wahrscheinlichkeit für eine unnötige Verbesserung des Herstellungsverfahrens soll durch diese Änderung nur noch ein Drittel der ursprünglichen Wahrscheinlichkeit für eine unnötige Verbesserung des Verfahrens betragen.
Ermittle, wie groß die Anzahl unbrauchbarer Teststreifen, ab der man sich dafür entscheidet, das Herstellungsverfahren zu verbessern, nun mindestens sein muss.

(4 BE)

(4)

Von einer früheren Qualitätskontrolle mit nicht mehr bekanntem Stichprobenumfang weiß man, dass der Erwartungswert für die binomialverteilte Anzahl unbrauchbarer Teststreifen bei $18$ und die Standardabweichung bei $4$ lag.
Bestimme, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen und der Stichprobenumfang bei dieser Qualitätskontrolle waren.

(3 BE)

Die Indikatormenge auf den Teststreifen ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von $20\,\text{mg}$ und einer Standardabweichung von $4,0\,\text{mg}.$ Ein Teststreifen ist unbrauchbar, wenn die Indikatormenge auf dem Teststreifen kleiner als $15\,\text{mg}$ ist.

(1)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teststreifen unbrauchbar ist.
[Zur Kontrolle: $10,56\,\%$ ]

(3 BE)

(2)

Durch eine Verbesserung konnte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teststreifen aufgrund der Indikatormenge unbrauchbar ist, halbiert werden. Der Erwartungswert für die Indikatormenge blieb dabei unverändert.
Bestimme die geänderte Standardabweichung auf eine Nachkommastelle genau.

(3 BE)

(1)

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen

Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:

$G:$ Es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor
$\overline{G}:$ Es liegt keine Glutenunverträglichkeit vor
$T:$ Der Test liefert ein positives Ergebnis.
$\overline{T}:$ Der Test liefert ein negatives Ergebnis.

Diagramm eines Entscheidungsbaums mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisse.

Abb. 1: Baumdiagramm

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten ermitteln

Mit den Pfadregeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& 95,06\,\% \end{array}$

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(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

$P_T(G)\approx 19,84\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $19,84\,\%$ liegt eine Glutenunverträglichkeit vor, wenn das Testergebnis positiv ist.

(1)

$\blacktriangleright$ Eignung der Binomialverteilung erläutern

Da die Personen für die Studie aus der gesamten Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt werden, kann man davon ausgehen, dass das Auftreten der Glutenunverträglichkeit bei den einzelnen Personen unabhängig von den übrigen Personen ist.
Der Anteil der Bevölkerung mit $1\,\%$ kann also als Wahrscheinlichkeit angesehen werden, da die Menge aus der die Personen ausgewählt werden hinreichend groß ist.
Zudem gibt es pro Person in der Studie nur zwei mögliche Ergebnisse, entweder es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor oder nicht. Die Binomialverteilung ist also geeignet.

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$X$ kann nach b) (1) als binomialverteilt angenommen werden mit $n= 20.000$ und $p=0,01.$ Der Erwartungswert ergibt sich also zu:
$\mu = n\cdot p = 20.000\cdot 0,01 = 200$
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich mithilfe des CAS zu:

$... \approx 14,50\,\%$

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Grafische Benutzeroberfläche für die Berechnung der Binomialverteilung mit Eingabefeldern.

Abb. 2: menu $\to$ 6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ E: binomialCdf

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $14,50\,\%$ weicht die Anzahl der Personen mit Glutenunverträglichkeit um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ ab.

(1)

$\blacktriangleright$ Fehlentscheidungen beschreiben

Werden mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden, entscheidet man sich dafür, das Herstellungsverfahren zu verbessern. Es kann jedoch sein, dass der Anteil der unbrauchbaren Teststreifen tatsächlich nicht über $10\,\%$ liegt und man sich dafür entscheidet das Herstellungsverfahren zu verbessern, obwohl dies nicht nötig wäre.

Werden weniger als $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden, wird das Herstellungsverfahren nicht verbssert. Es kann aber sein, dass der Anteil der unbrauchbaren Teststreifen in der Realität tatsächlich über $10\,\%$ liegt und man fälschlicherweise von einer besseren Fehlerquote ausgeht. In dem Fall könnten eventuell wichtige Verbesserungsmaßnahmen nicht vorgenommen werden.

(2)

$\blacktriangleright$ Fehlerwahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung bestimmen

Betrachtet wird die Zufallsvariable $Y,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen unter $100$ Teststreifen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ angenommen werden.
Der beschriebene Fehler tritt auf, wenn $p\leq 0,1$ gilt, aber trotzdem mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen gefunden werden. Nimmt man also für $Y$ die größtmögliche Wahrscheinlichkeit $p=0,1$ an, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung zu:

$P(Y\geq 16 )\approx 3,99\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,99\,\%$ bemüht sich der Hersteller irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens.

(3)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Teststreifen ermitteln

Betrachetet wird nun die Zufallsvariable $Y_{200},$ die wie $Y$ als binomialverteilt angenommen wird mit $n=200$ und $p=0,1.$

Gesucht ist nun $k,$ sodass die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq k)$ ca. $\frac{1}{3}\cdot3,99\,\%$ beträgt.

$\begin{array}[t]{rll} P(Y_{200}\geq k)&=& 0,0133 \\[5pt] 1-P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,0133 \\[5pt] P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,9867 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Tabellen-Menü des CAS erhält man:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y_{200}\leq 28)&\approx&0,9729 \\[5pt] P(Y_{200}\leq 29)&\approx& 0,9837 \\[5pt] P(Y_{200}\leq 30)&\approx& 0,9905 \end{array}$

Es ist also $k-1 = 29,$ also $k=30.$

Tabelle mit Zahlen und Werten in einem Tabellenkalkulationsprogramm.

Abb. 3: menu $\to$ 4: Statistik $\to$ 2: Verteilungen $\to$ E: Binom Cdf

Die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen muss nun mindestens $30$ betragen.

(4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang berechnen

Die Zufallsgröße $B,$ die die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen beschreibt, ist laut Aufgabenstellung binomialverteilt. Gesucht sind der Stichprobenumfang $n$ und die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen unbrauchbaren Teststreifen.
Entsprechend der Binomialverteilung können der Erwartungswert und die Standardabweichung wie folgt berechnet werden:

$\mu = n\cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 18&=& n\cdot p \\ \text{II}\quad& 4&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\ \end{array}$

$\text{I}$ kann in $\text{II}$ eingesetzt werden:

$\frac{1}{9}= p$

Vollständige Lösung anzeigen

Einsetzen in die erste Gleichung liefert:

$162=n$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Stichprobenumfang ist $n=162,$ die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen beträgt $p=\frac{1}{9}.$

(1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Betrachtet wird die Zufallsvariable $Z,$ die die Indikatormenge auf den Teststreifen beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit $\mu = 20$ und $\sigma= 4.$

Mit dem CAS und der kumulierten Normalverteilung ergibt sich:

$P(Z\leq 15)\approx 0,1056 = 10,56\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,56\,\%$ ist ein Teststreifen unbrauchbar.

Dialogfenster für die Normalverteilung mit Eingabefeldern für obere und untere Schranken, μ und σ.

Abb. 4: menu $\to$ 6: Statistik $\to$ 5: Verteilungen $\to$ 2: normal Cdf

(2)

$\blacktriangleright$ Geänderte Standardabweichung bestimmen

Betrachtet wird nun die Zufallsvariable $Z$ für unbekanntes $\sigma .$
Es wird nun gefordert $P(Z\leq 15)\approx 0,0528.$ Mithilfe des Tabellen-Menüs des CAS ergeben sich folgende Werte:

Lösung anzeigen

Tabelle mit Zahlen und Berechnungen in einem Dokument. Einige Zellen sind hervorgehoben.

Abb. 5: Schrittweite der Tabelle: $0,1$

Für $\sigma\approx 3,1$ halbiert sich die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen also.

Bildnachweise [nach oben]

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(1)

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm zeichnen

Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:

$G:$ Es liegt eine Glutenunverträglichkeit vor
$\overline{G}:$ Es liegt keine Glutenunverträglichkeit vor
$T:$ Der Test liefert ein positives Ergebnis.
$\overline{T}:$ Der Test liefert ein negatives Ergebnis.

Abb. 1: Baumdiagramm

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten ermitteln

Mit den Pfadregeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 0,98\,\% \\[10pt] P(B)&=& 95,06\,\% \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

(3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:

$P_T(G)\approx 19,84\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $19,84\,\%$ liegt eine Glutenunverträglichkeit vor, wenn das Testergebnis positiv ist.

(1)

$\blacktriangleright$ Eignung der Binomialverteilung erläutern

(2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$... \approx 14,50\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Dialogfenster zur Berechnung der binomialen kumulativen Verteilungsfunktion mit Eingabefeldern.

Abb. 2: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $14,50\,\%$ weicht die Anzahl der Personen mit Glutenunverträglichkeit um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ ab.

(1)

$\blacktriangleright$ Fehlentscheidungen beschreiben

(2)

$\blacktriangleright$ Fehlerwahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verbesserung bestimmen

$P(Y\geq 16 )\approx 3,99\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,99\,\%$ bemüht sich der Hersteller irrtümlich um eine Verbesserung des Herstellungsverfahrens.

(3)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Teststreifen ermitteln

Betrachetet wird nun die Zufallsvariable $Y_{200},$ die wie $Y$ als binomialverteilt angenommen wird mit $n=200$ und $p=0,1.$

Gesucht ist nun $k,$ sodass die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq k)$ ca. $\frac{1}{3}\cdot3,99\,\%$ beträgt.

$\begin{array}[t]{rll} P(Y_{200}\geq k)&=& 0,0133 \\[5pt] 1-P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,0133 \\[5pt] P(Y_{200}\leq k-1)&=& 0,9867 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Tabellen-Menü des CAS erhält man:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y_{200}\leq 28)&\approx&0,9729 \\[5pt] P(Y_{200}\leq 29)&\approx& 0,9837 \\[5pt] P(Y_{200}\leq 30)&\approx& 0,9905 \end{array}$

Es ist also $k-1 = 29,$ also $k=30.$

Grafische Darstellung einer Funktion mit Werten in einer Tabellenansicht.

Abb. 3: Berechnung mit dem CAS

Die Anzahl der unbrauchbaren Teststreifen muss nun mindestens $30$ betragen.

(4)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang berechnen

$\mu = n\cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 18&=& n\cdot p \\ \text{II}\quad& 4&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\ \end{array}$

$\text{I}$ kann in $\text{II}$ eingesetzt werden:

$\frac{1}{9}= p$

Vollständige Lösung anzeigen

Einsetzen in die erste Gleichung liefert:

$162=n$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Stichprobenumfang ist $n=162,$ die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen beträgt $p=\frac{1}{9}.$

(1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Betrachtet wird die Zufallsvariable $Z,$ die die Indikatormenge auf den Teststreifen beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit $\mu = 20$ und $\sigma= 4.$

Mit dem CAS und der kumulierten Normalverteilung ergibt sich:

$P(Z\leq 15)\approx 0,1056 = 10,56\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,56\,\%$ ist ein Teststreifen unbrauchbar.

Dialogfenster für die Berechnung einer Normalverteilung mit Eingabefeldern für obere und untere Grenzen sowie Mittelwert.

Abb. 4: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Fortlaufend $\to$ normCDf

(2)

$\blacktriangleright$ Geänderte Standardabweichung bestimmen

Betrachtet wird nun die Zufallsvariable $Z$ für unbekanntes $\sigma .$ Es wird nun gefordert $P(Z\leq 15)\approx 0,0528.$ Mithilfe des Tabellen-Menüs des CAS ergeben sich folgende Werte:

Lösung anzeigen

Für $\sigma\approx 3,1$ halbiert sich die Wahrscheinlichkeit für einen unbrauchbaren Teststreifen also.

Grafik eines mathematischen Programms mit Funktionen und Werten in Tabellenform.

Abb. 5: Schrittweite der Tabelle: $0,1$

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