Aufgabe 1

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung

$f(x)=\left(x^3-5\right) \cdot \mathrm e ^x, x \in \mathbb{R} .$

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

(1)

Berechne die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(-1 \mid f(-1)),$ ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.

Der Graph von $f$ besitzt genau eine Extremstelle und drei Wendestellen.

(2)

Berechne die Wendestellen der Funktion $f$ auf drei Nachkommastellen gerundet.

Für $z\gt 0$ ist $P_z(z \mid f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f.$ Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_z(z \mid 0)$ ein Dreieck $O P_z Q_z.$

(3)

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $O P_z Q_z,$ wenn für $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird.

(3 + 3 + 3 Punkte)

(1)

Zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$ -Achse liegt im 3. und 4. Quadranten eine Fläche mit endlichem Flächeninhalt, die nach links unendlich ausgedehnt ist. Diese Fläche ist in Abbildung 2 grün dargestellt.

Abbildung 2

(i)

Bestimme den Inhalt dieser Fläche gerundet auf drei Nachkommastellen.

(ii)

Die $y$ -Achse teilt diese Fläche in zwei Teilflächen.

Ermittle das Verhältnis der zugehörigen Flächeninhalte.

(2)

Für $z \neq 0$ hat die Gleichung $\displaystyle\int_0^z f(x)\; \mathrm d x=0$ genau eine Lösung.

Bestimme diese Lösung und interpretiere die Lösung geometrisch.

(3)

Die Punkte $O(0 \mid 0), N(-5 \mid 0), Y(0 \mid-5)$ bilden ein Dreieck $O N Y.$ Der Graph der Funktion $f$ verläuft teilweise innerhalb des Dreiecks und schließt mit der Seite $\overline{N Y}$ eine Fläche $A$ ein.

(i)

Zeichne die Fläche $A$ in Abbildung 1 ein.

(ii)

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $A.$

(iii)

Ermittle die beiden Punkte auf dem Graphen von $f,$ in denen die Tangente parallel zur Seite $\overline{N Y}$ verläuft.

(6 + 5 + 9 Punkte)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ durch die Funktionsgleichung

$f_k(x)=\left(x^3+k\right) \cdot \mathrm e ^x$ mit $k \in \mathbb{R}.$

Die Funktion $f_{-5}$ stimmt mit der Funktion $f$ überein.

Die folgende Abbildung zeigt drei Graphen $G_I, G_{I I}, G_{I I I}$ der Schar für drei verschiedene Parameter $k_I, k_{I I}, k_{I I I}.$

Abbildung 3

(1)

Gib die zugehörigen Parameter an.

(2)

Begründe, dass jede Funktion $f_k$ der Schar genau eine Nullstelle hat.

Für die Ableitungsfunktion $f_k^{\prime}$ gilt:

$f_k^{\prime}(x)=\left(x^3+3 x^2+k\right) \cdot \mathrm e ^x,$ $\quad x \in \mathbb{R};$ $\quad k \in \mathbb{R}.$

(3)

Um die Abhängigkeit der Anzahl der Extremstellen der Funktion $f_k$ vom Parameter $k$ näher zu betrachten, wird die Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=x^3+3 x^2+k$ auf Nullstellen untersucht.

Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $h_0$ $($ also $k=0).$

Abbildung 4

(i)

Gib anhand von Abbildung 4 die Anzahl der Nullstellen der Funktion $h_k$ in Abhängigkeit vom Parameter $k$ an.
(Von einer Berechnung der Nullstellen im Taschenrechner ist abzusehen)

(ii)

Begründe die Richtigkeit der folgenden drei Aussagen:

S1: Für jedes $k \gt 0$ hat die Funktion $f_k$ genau eine Extremstelle.

S2: Es gibt keine Funktion $f_k,$ die mehr als drei Extremstellen hat.

S3: Es gibt keine Funktion $f_k,$ die genau zwei Extremstellen hat.

(2 + 2 + 7 Punkte)

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(1)

Die Tangente $t_y=m\cdot x+b$ an den Graphen von $f$ verläuft durch $P$ und besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $P.$

Mit dem CAS ergibt sich:

$t_y(-1)= f(-1) \approx -2,21$

$\(m=f$

Einsetzen in die Tangentengleichung:

$\begin{array}[t]{rll} t_y(-1)&\approx& -2,21 \\[5pt] -1,10 \cdot (-1)+b&\approx& -2,21 &\quad \scriptsize \mid\;-1,10 \\[5pt] b&\approx& -3,31 \end{array}$

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ ergibt sich zu $y_t= -1,10\cdot x-3,31.$

(2)

Notwendige Bedingung für Wendestellen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich:

$x_{W_1}\approx -4,361$

$x_{W_2}\approx -2,167$

$x_{W_3}\approx 0,529$

In der Aufgabenstellung ist die Existenz der Wendestellen gegeben, weshalb die hinreichende Bedingung für Wendestellen nicht mehr geprüft werden muss.

(3)

Mit dem CAS werden die Koordinaten des Tiefpunkts ermittelt.

$T(1,1 \mid -11)$

Es gilt $z\approx 1,1$ und somit folgen die Koordinaten von $Q_z$ mit $Q_{1,1}(1,1 \mid 0).$

Hilfsskizze zum besseren Verständnis

Beim Dreieck $OP_{1,1}Q_{1,1}$ handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Der Inhalt der Dreiecksfläche ergibt sich zu:

$A_D\approx \dfrac{1}{2}\cdot 1,1\cdot 11 = 6,05 \;\text{[FE]}$

(1)

(i)

Mit dem CAS ergibt sich $x\approx 1,71$ als Schnittstelle mit der $x$ -Achse.

Der gesuchte Flächeninhalt wird durch den Wert eines uneigentlichen Integrals beschrieben, der mit dem CAS berechnet werden kann:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{1,71}f(x)\;\mathrm dx=\lim\limits_{z\to -\infty}\displaystyle\int_{z}^{1,71}f(x)\;\mathrm dx\approx -24,95$

Der Graph der Funktion $f$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche ein, deren Inhalt ca. $24,95 \;\text{[FE]}$ beträgt.

(ii)

Hilfsskizze zum besseren Verständnis

In der Hilfsskizze sind die beiden Teilflächen markiert. Aus der vorherigen Teilaufgabe ist der Inhalt der Gesamtfläche bekannt.

Der Inhalt der Fläche $A_2$ lässt sich mit Hilfe eines Integrals im CAS berechnen:

$\displaystyle\int_{0}^{1,71}f(x)\;\mathrm dx$ $\approx -13,95$

$A_2= 13,95 \;\text{FE}$

Der Flächeninhalt von $A_1$ folgt daraus zu:

$A_1\approx 24,95\;\text{FE}-13,95 \;\text{FE}$ $=11 \;\text{FE}.$

$\dfrac{A_2}{A_1}= \dfrac{13,95 \;\text{FE} }{11 \;\text{FE}}$ $\approx 1,27$

Das Verhältnis der Inhalte der Teilflächen $A_1 : A_2$ ist also $1:1,27.$

(2)

Lösung bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{z}f(x)\;\mathrm dx=...$

Mit dem CAS ergibt sich für $z \neq 0$ als einzige Lösung $z \approx 2,27.$

Geometrische Interpretation

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse im Bereich $]-\infty;1,71]$ begrenzt und unterhalb der $x$ -Achse liegt, besitzt den gleichen Flächeninhalt, wie das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse im Bereich $[1,71;z\approx 2,27]$ begrenzt und oberhalb der $x$ -Achse liegt.

(3)

(i)

(ii)

Die Dreieckseite $\overline{N Y}$ ist Teil der Geraden mit der Gleichung $y_g=-x-5.$

Die Geradengleichung wird graphisch anhand der Abbildung bestimmt oder alternativ mit Hilfe des CAS.

Schnittstelle von $g$ und $f$ bestimmen:

Mit dem CAS ergibt sich für $x\lt0:$ $x \approx-3,582.$

Der gesuchte Flächeninhalt lässt sich mit Hilfe eines Integrals bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{-3,582}^0(f(x)-y_g)\;\mathrm d x \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{-3,582}^0(f(x)-(-x-5))\;\mathrm d x \end{array}$

Mit dem CAS ergibt sich $A\approx 3,748\,\text{[FE]}.$

(iii)

Die Tangenten an den Graphen von $f$ in den beiden Punkten verlaufen parallel zur Geraden $y_g,$ wenn sie dieselbe Steigung aufweisen.

Gesucht sind also die Punkte, in denen der Graph von $f$ die Steigung der Geraden $y_g$ besitzt.

Mit dem CAS ergeben sich für $\(f$ die Lösungen $x_1\approx -1,05$ und $x_2\approx 1,07.$

$f(-1,05)\approx -2,16$

$f(1,07)\approx -11,01$

Die Koordinaten der gesuchten Punkte auf dem Graphen von $f$ ergeben sich ca. zu:

$P_1(-1,05 \mid -2,15)$

$P_2(1,07 \mid -11,01)$

(1)

$k_I=2, k_{I I}=0, k_{I I I}=-4$ .

(2)

$\begin{array}[t]{rll} f_k(x)&=& 0\\[5pt] (x^3+k)\cdot \mathrm e^x=& 0 \end{array}$

Da stets $\mathrm e^x \neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R},$ muss $x^3+k=0$ sein.

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x^3+k&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -k\\[5pt] x^3&=& -k &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] x&=&\sqrt[3]{-k} \end{array}$

Die Gleichung hat für alle $k \in \mathbb{R}$ genau eine Lösung: $x=-\sqrt[3]{k}$ für $k \geq 0$ bzw. $x=\sqrt[3]{-k}$ für $k \lt 0.$

(3)

(i)

Der Graph von $h_k$ geht aus dem Graphen von $h_0$ durch Verschiebung um $k$ Einheiten entlang der $y$ -Achse hervor.

Liegt der Hochpunkt oder der Tiefpunkt des Graphen von $h_k$ auf der $x$ -Achse, gibt es genau zwei Nullstellen. Dies ist der Fall für $k=0$ oder $k=-4.$

Es existiert genau eine Nullstelle für $k\gt 0$ oder $k\lt -4.$

Es existieren genau drei Nullstellen für $-4\lt k\lt 0.$

(ii)

Aussage S1: Für $k\gt 0$ hat die Funktion $h_k$ und damit auch die Funktion $f_k{ }^{\prime}$ genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
$f_k$ hat daher genau eine Extremstelle.

Aussage S2: Die Funktion $h_k$ kann als Polynomfunktion vom Grad 3 maximal drei Nullstellen haben. Wegen $\mathrm e^x\neq 0$ gilt dies auch für $\(f_k$ Wegen der notwendigen Bedingung $f_k{ }^{\prime}(x)=0$ für Extremstellen kann es daher nicht mehr als drei Extremstellen für die Funktion $f_k$ geben.

Aussage S3: Die Funktion $h_k$ hat nur für $k=0$ oder $k=4$ zwei Nullstellen. Dabei handelt es sich um eine Nullstelle mit und eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Deshalb gibt es in diesen Fällen nur eine Extremstelle und eine Sattelstelle für die Funktion $f_k.$
[Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass im Falle von genau drei Nullstellen jeweils ein Vorzeichenwechsel vorliegt und dann drei Extremstellen existieren.]

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