Berechne die Stellen, an denen der Graph von eine Steigung von hat.

Bestimme den Wert von so, dass der Punkt auf dem Graphen von liegt.

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von und Weise nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf jedem Graphen der Schar liegt.

Die Gleichung hat in Abhängigkeit von die Lösungen und und wobei die Lösung nicht mit den anderen beiden Lösungen zusammenfallen kann. Gib die Anzahl der Nullstellen von in Abhängigkeit von an und begründe deine Angabe anhand der obigen Terme.

Der Graph jeder Funktion hat genau einen Wendepunkt. Bestimme den Wert von zu dem Wendepunkt mit der größten -Koordinate.

Im Folgenden gilt Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion sowie die Gerade mit der Gleichung die den Graphen in den Punkten und schneidet. Die Gerade die -Achse und die Gerade mit der Gleichung begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck. Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:

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Erläutere diese Schritte und interpretiere die Lösung geometrisch.

Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion ist die Funktion, deren Graph durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse entsteht.

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von und interpretiere die Werte im Sachkontext.

Mit wird die erste Ableitungsfunktion von bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt die folgende Aussage: und Interpretiere dies in Bezug auf die Bewegung von in diesem Zeitraum.

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von zur Wasseroberfläche des Sees Meter. Ermittle den Abstand von zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.

Mit dem CAS folgt für die erste Ableitung von Für die gesuchten Stellen folgt somit: Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich und

Da gilt, folgt somit

Koordinaten der gemeinsamen Punkte ermitteln Gleichsetzen von und liefert: Mit dem solve-Befehl des CAS folgt: Einsetzen in z.B. liefert: Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von und sind somit gegeben durch und Nachweisen, dass es genau einen gemeinsamen Punkt der Schar gibt Nach den Werten von eben kommen nur die Stellen und infrage. Da gilt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts unabhängig von dass gilt. Einsetzen von in z.B. liefert: Somit existiert nur ein Punkt, welcher auf jedem Graphen der Schar liegt.

Wenn gilt, ist der Term unter der Wurzel im Zähler der letzten beiden Nullstellen positiv und es gibt somit zwei weitere Nullstellen außer Damit hat drei Nullstellen. Für ist der Term unter der Wurzel null und die beiden letzten Nullstellen fallen zusammen zu einer, das heißt besitzt zwei Nullstellen. Für ist der Term unter der Wurzel negativ und besitzt somit nur eine Nullstelle.

Mit dem CAS ergibt sich: Die notwendige Bedingung für Wendestellen liefert mit dem solve-Befehl des CAS: Da der Graph jeder Funktion laut Aufgabenstellung genau einen Wendepunkt besitzt, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden. Für die -Koordinaten der Wendepunkte folgt: Die Wendepunkte liegen also auf dem Graphen der Funktion Für die ersten beiden Ableitungen von folgt mit dem CAS: 1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich: 2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen Somit besitzt an der Stelle einen Hochpunkt, das heißt für wird die -Koordinate des Wendepunkts der Schar maximal.

Schritte erläutern Im ersten Schritt wird die Gleichung gelöst, was die Schnittpunkte der Funktion mit der Geraden liefert.
Im zweiten Schritt wird der Inhalt der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks mit dem dreifachen Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen von und miteinander einschließen, gleichgesetzt. Diese Gleichheit ist für den Wert erfüllt. Lösung geometrisch interpretieren Für beträgt das Verhältnis des rechtwinkligen Dreiecks zur eingeschlossenen Fläche zwischen den beiden Graphen

Koordinaten des Tiefpunktes bestimmen Für die ersten beiden Ableitungen von folgt mit dem CAS: 1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden Da die -Funktion stets ungleich null ist, ergeben sich die Nullstellen von als die der Gleichung Mit dem CAS ergibt sich: 2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen Der Graph von besitzt somit bei einen Tiefpunkt. Für dessen -Koordinate folgt: Für die Koordinaten des gesuchten Tiefpunktes folgt somit ca. Werte im Sachkontext interpretieren Nach ca. Minuten sinkt die Unterwasserdrohne mit einer Geschwindigkeit von am schnellsten.

Die Bedingung bedeutet, dass die Drohne sinkt, während bedeutet, dass die Drohne nach oben beschleunigt wird. Insgesamt bewegt sich Drohne in diesem Zeitraum also immer weiter nach unten, allerdings mit immer niedrigerer Geschwindigkeit.

Der Zeitpunkt, zu dem die Unterwasserdrohne den geringsten Abstand zur Wasseroberfläche besitzt, ist die Stelle an der die Stammfunktionen von einen Hochpunkt haben, das heißt muss dort eine Nullstelle besitzen. Da die -Funktion stets ungleich null ist, liefert nach dem Satz des Nullprodukts die Gleichung Mit dem CAS ergibt sich: Es gilt für und für hat somit 6,25 Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche. Der Abstand von zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern lässt sich wie folgt berechnen: Zu Beobachtungsbeginn hat einen Abstand von zur Wasseroberfläche.