Zeige, dass ein Punkt von ist.
Die Ebene enthält den Punkt und sind orthogonal zueinander.
Bestimme eine Gleichung für

Gib eine Gleichung der Ebene an, in der alle Geraden liegen.
Zeige, dass nicht jeder Punkt der Ebene auch ein Punkt von ist.

Untersuche die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit von

Eine der Geraden von hat einen Schnittpunkt mit
Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.

Der Punkt bewegt sich auf der Geraden und bildet mit zwei Punkten und auf der Geraden ein Dreieck.
Begründe, dass es genau einen Punkt gibt, für den das Dreieck minimalen Flächeninhalt hat, wobei die Punkte und nicht variabel sind.

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Einsetzen von in die Gerade liefert Aus der ersten Zeile lässt sich ablesen. Setzt man dies in die anderen beiden Gleichungen ein, ergeben sich auch jeweils wahre Aussagen.
Damit ist ist ein Punkt von Da und orthogonal zueinander stehen, ist der Richtungsvektor von der Normalenvektor von
Für die Ebenengleichung von gilt also Es ist bekannt, dass der Punkt in der Ebene liegt. Einsetzten von in die Ebenengleichung liefert Damit ist die Ebenengleichung gegeben durch

Offenbar ist die -Koordinate unabhängig von und Eine Ebenengleichung der Ebene in der alle Geraden liegen, ist also gegeben durch Durch eine Punktprobe lässt sich feststellen, dass beispielsweise der Punkt zwar in liegt, aber kein Punkt von ist: Die mittlere Zeile liefert Damit kann die erste Zeile für keinen Wert von eine wahre Aussage liefern.

Die Schnittpunkte von und lassen sich durch Einsetzen der Koordinaten von in berechnen: Für haben und keine gemeinsamen Punkte.
Für hat jede Gerade einen eindeutigen Schnittpunkt mit der Ebene

Gleichsetzen: Die dritte Zeile liefert , also
Wird dieser Wert für in die zweite Zeile eingesetzt, ergibt sich und damit
Einsetzen der beiden Werte für und in die erste Zeile liefert und damit (Alternativ können die Werte für und auch über ein LGS, welches mit dem CAS gelöst werden kann, bestimmt werden.) Also hat die Gerade einen Schnittpunkt mit Durch Einsetzen von in ergibt sich: Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten Der Richtungsvektor von ist gegeben durch der Richtungsvektor der Geraden ist gegeben durch Der Schnittwinkel zwischen und lässt sich wie folgt berechnen: Daraus folgt

Der Richtungsvektor von ist gegeben durch Damit sind und offenbar nicht parallel. Aus Teilaufgabe d) folgt außerdem, dass die beiden Geraden sich nicht schneiden, folglich müssen sie windschief zueinander sein. Die Grundseite des Dreiecks verändert sich nicht, also ist der Flächeninhalt nur abhängig von der Höhe und damit minimal, wenn minimal ist. Nach Voraussetzung liegt die Grundseite des Dreiecks auf und der Punkt auf Die Höhe des Dreiecks ist also gegeben durch die Länge des Lotes von auf Der Abstand von und ist dann am kleinsten, wenn sich an der Stelle auf befindet, an der der Abstand zwischen und am kleinsten ist, was an genau einem Punkt der Fall ist, da die Geraden windschief zueinander sind.