Analysis 1

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a(x) = a \cdot \mathrm e^{(a-1) \cdot x}, a \neq0.$ Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.
Die Abbildung zeigt die Graphen $G_2, G_{0,3}, G_{-0,2}$ und $G_{-1}$ .

Mathematische Graphen mit verschiedenen Kurven und Achsenbeschriftungen in einem Koordinatensystem.

Ordne den Graphen aus der Abbildung den passenden Parameterwert zu.

(3 Punkte)

Gib an, für welche Werte von $a$ die zugehörigen Funktionen $f_a$ streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend sind.

(3 Punkte)

Bestimme den Parameter $a$ so, dass die Tangente an den Graphen $G_a$ in seinem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse die Steigung 2 hat.

(2 Punkte)

Ermittle die Gleichung der Gerade s, die zur Tangente an den Graphen $G_2$ im Punkt $S(0 \mid 2 )$ senkrecht verläuft.

(2 Punkte)

Gib begründet alle Werte von $m \in \mathbb{R}$ an, bei denen die Gerade $y= m \cdot x + 2$ mit dem Graphen $G_2$ der Funktion $f_2(x) = 2 \cdot \mathrm e^x$ genau einen Schnittpunkt gemeinsam hat.

(5 Punkte)

Nun sei $a \gt 1:$ Der Term $A(a)=\lim\limits_{z\to-\infty} \left(\frac{a}{a-1}- \frac{a}{a-1} \cdot \mathrm e^{(a-1)\cdot z} \right)$ beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph $G_a$ und die $x$ -Achse im 2. Quadranten einschließen.

Für $a \gt 1$ und $z \lt 0$ sei der Term $A_z(a)$ $= \left( \frac{a}{a-1} - \frac{a}{a-1} \cdot \mathrm e^{(a-1) \cdot z} \right)$ definiert.

Begründe, dass $A_z(a)$ den Inhalt der Fläche, die der Graph $G_a$ , die Koordinatenachsen und die Gerade $x=z$ einschließen, angibt.

Zeige, dass dieser Flächeninhalt für $z \rightarrow$ $- \infty$ den Wert $\dfrac{a}{a-1}$ hat.

(6 Punkte)

Bestimme den Parameter $a$ so, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph $G_a$ und die $x$ -Achse im
2. Quadranten einschließen, mit dem Wert des Parameters übereinstimmt.

(2 Punkte)

Aufgabe 2

In einem Modell wird die Querschnittsfläche eines 200 $\text{m}$ langen künstlichen Kanals im Koordinatensystem näherungsweise durch einen Graphen der Kurvenschar $k_{r, s}$ mit $k_{r,s} (x) = r \cdot \left(\mathrm e^{0,15 \cdot x} + \mathrm e^{-0,15 \cdot x} \right) - s$ und die $x$ -Achse begrenzt $(x$ und $k_{r,s}(x)$ in $m, r \neq 0).$

Beschreibe den Einfluss der Parameter $r$ und $s$ auf die Graphen der Schar.

(3 Punkte)

Bestimme die Parameter $r$ und $s$ so, dass der Kanal die Breite 31,5 $\text{m}$ und die Tiefe 10 $\text{m}$ hat.

(3 Punkte)

Wir betrachten nun die Funktion $k(x) = 1,15 \cdot \left(\mathrm e^{0,15x} + \mathrm e^{-0,15x}\right) - 12,3$ mit den in 2b) geforderten Eigenschaften.

Die Pegelhöhe des Kanals beträgt $3 \;\text{m}.$ Untersuche mithilfe einer geeigneten Rechnung und der Abbildung 2, wie weit sich eine Person, deren Augen sich in einer Höhe von $1,8 \; \text{m}$ befinden, maximal vom Ufer entfernen kann, um trotzdem die Wasserlinie des gegenüberliegenden Ufers sehen zu können.

(5 Punkte)

Die Abbildung 3 stellt einen Lösungsansatz dar, mit dessen Hilfe die Pegelhöhe, zu der der Kanal mit der Hälfte der maximalen Wassermenge gefüllt ist, ermittelt werden soll. Nachfolgend werden Schritte einer rechnerischen Lösung dargestellt. Erläutere die einzelnen Lösungsschritte, ohne dabei die Zahlenwerte nachzurechnen!

Abbildung 3

(1)

$\begin{vmatrix}\displaystyle\int_{-t}^{t}k(x)\;\mathrm dx-2 \cdot t \cdot k(t)\end{vmatrix}$ $= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix}\displaystyle\int_{-15,74}^{15,74}k(x)\;\mathrm dx\end{vmatrix}$

(2)

$\dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix}\displaystyle\int_{-15,74}^{15,74}k(x)\;\mathrm dx\end{vmatrix} \approx 113,045$

(3)

$\begin{vmatrix} \displaystyle\int_{0}^{t}k(x)\;\mathrm dx-t \cdot k (t) \end{vmatrix} \approx 56,5225$

(4)

$\begin{vmatrix} \frac{1,15}{0,15} \cdot \left( \mathrm e^{0,15t} -\mathrm e^{-0,15t} \right) -12,3 \cdot t - t \cdot k(t) \end{vmatrix}$ $\approx 56,5225 \Rightarrow t \approx 13,13466$

(5)

$k(t) = k(13,13466) \approx - 3,89174 \Rightarrow$ Pegelhöhe ca. 6,1 $\text{m}$

(6 Punkte)

(40 Punkte)

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Lösung 1

Der Graph $(1)$ verläuft monoton fallend über der $x$ -Achse. Der Parameter $a$ muss folglich positiv sein und der Exponent der $\mathrm e$ -Funktion negativ. Dies ist von den möglichen Funktionen der Schar $f_a$ nur für die Funktion mit $a=0,3$ erfüllt.

Es gilt $f_2=2\cdot \mathrm e^x.$ Es handelt sich also um die mit dem Faktor $2$ gestreckte Exponentialfunktion, die folglich den $y$ -Achsenabschnitt 2 hat. Damit lässt sich der Graph $(2)$ der Funktion $f_2$ zuordnen.

Es gilt $f_{-1}(0)=-1\cdot \mathrm e^{(-1-1)\cdot 0}=-1.$ Damit lässt sich der Graph $3$ eindeutig der Funktion $f_{-1}$ zuordnen.

Nach dem Ausschlusskriterium lässt sich der Graph $4$ nun der Funktion $f_{-0,2}$ zuordnen.

Für $a\gt1$ ist $f_a$ streng monoton wachsend, da in diesem Fall die $\mathrm e$ -Funktion und auch das $x$ im Exponenten einen positiven Vorfaktor haben.

Für $0 \lt a \lt 1$ ist $f_a$ streng monoton fallend, da die $\mathrm e$ -Funktion einen positiven und das $x$ im Exponenten einen negativen Vorfaktor hat.

Für $a \lt 0$ ist $f_a$ wieder streng monoton wachsend, da in diesem Fall die $\mathrm e$ -Funktion und auch das $x$ im Exponenten einen negativen Vorfaktor haben.

Damit die Tangente an den Graphen $G_a$ in seinem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse die Steigung $2$ hat, muss $\(f$ gelten.

$\(f$

Gesucht ist also die Lösung der Gleichung $(a-1) \cdot a=2:$

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot (a-1)&=& 2 \\ a^2-a&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] a^2-a-2&=& 0 \end{array}$

Mit der pq-Formel folgt:

$a_{1,2}=\dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2}$

$a_1=-1$
$a_2=2$

Gesucht ist eine Gerade $s=m \cdot x +c,$ die senkrecht zur Tangente an $G_2$ im Punkt $(0|2)$ verläuft.

$\boldsymbol{m}$ berechnen

Die Steigung der Tangenten an $G_2$ an der Stelle $0$ ist gegeben durch $\(f_2$

Die Steigung $m$ der Geraden $s$ lässt sich berechnen durch $\(m = -\dfrac{1}{f$

$\boldsymbol{c}$ berechnen

Da $s$ außerdem den Punkt $(0|2)$ enthalten muss, muss $s(0) = 2$ gelten.

$\begin{array}[t]{rll} s(x)&=& -\dfrac{1}{2}x+c \\[5pt] s(0)&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 0+c =c\\[5pt] \end{array}$

Es gilt also $c=2$ und damit $s(x)=-\dfrac{1}{2}x+2.$

Für $m \lt 0$ ist $y$ streng monoton fallend, während $f_2$ streng monoton wachsend ist (siehe Teilaufgabe b). Folglich hat die Gerade mit der Funktion nur einen Schnittpunkt.

Für $m=0$ nimmt $y$ konstant den Wert $2$ an. Da $f_2$ streng monoton wachsend ist, hat die Funktion mit der Geraden auch hier nur einen Schnittpunkt.

Für $m\gt 0$ sind sowohl $y$ als auch $f_a$ streng monoton wachsend. Es gibt also nur dann genau einen Schnittpunkt, wenn $y$ eine Tangente an $f_2$ ist. Da sowohl $y$ als auch $f_2$ den $y$ -Achsenabschnitt $2$ haben, ist $y$ eine Tangente an $f_2,$ wenn die Gerade an der Stelle $0$ außerdem die gleiche Steigung wie die Funktion $f_2$ hat. Wegen $\(f_2$ hat $y$ also auch für $m=2$ genau einen Schnittpunkt mit $f_2$ gemeinsam.

Begründen, dass $\boldsymbol{A_z(a)}$ den beschriebenen Flächeninhalt angibt

Für $a\gt1$ gilt $f_a(x) \gt 0$ für alle $x \in \mathbb{R}.$

Damit ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen $G_a$ , der $x$ -Achse und den Geraden $x=z$ und $x = 0$ gegeben durch $\displaystyle\int_{z}^{0}f_a(x)\;\mathrm dx.$

$F_a(x) = \dfrac{a}{a-1} \cdot \mathrm e^{(a-1) \cdot x}$ ist eine Stammfunktion von $f_a(x).$

Weiter gilt $F_a(0) = \dfrac{a}{a-1}$ .

Damit ergibt sich:

$\displaystyle\int_{z}^{0}f_a(x)\;\mathrm dx = F_a(0) - F_a(z)$ $= \dfrac{a}{a-1}-\dfrac{a}{a-1} \cdot \mathrm e^{(a-1) \cdot z} = A_z(a).$

Flächeninhalt für $\boldsymbol{z \rightarrow -\infty}$

Für $a \gt 1$ und $z \rightarrow -\infty$ gilt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$A_z(a)\rightarrow \dfrac{a}{a-1}$

Nach Teilaufgabe f ist der gesuchte Flächeninhalt durch $\dfrac{a}{a-1}$ gegeben. Gesucht ist also die Lösung der Gleichung $\dfrac{a}{a-1} = a.$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{a-1}&=& a \quad \scriptsize \mid\; \cdot (a-1)\\[5pt] a&=& a\cdot (a-1) \quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] 1&=& a-1 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 2&=& a \\[5pt] a&=&2 \end{array}$

Der gesuchte Wert ist $a=2.$

Aufgabe 2

Der Parameter $r$ streckt bzw. staucht den Graphen in $y$ -Richtung.

$r \lt 0:$ Der Graph hat einen Hochpunkt und verläuft rechtsgekrümmt.

$r \gt 0:$ Der Graph hat einen Tiefpunkt und verläuft linksgekrümmt.

Der Parameter $s$ verschiebt den Graphen entlang der $y$ -Achse.

Es gilt $k_{r, s}(x)=r \cdot (\mathrm e^{0,15 \cdot x}+\mathrm e^{-0,15 \cdot x})-s$ $=r \cdot (\mathrm e^{-0,15 \cdot x}+\mathrm e^{0,15 \cdot x})-s$ $=k_{r, s}(-x).$

Damit ist $k_{r, s}$ symmetrisch zur $y$ -Achse. Der Abstand von der $y$ -Achse zum Rand des Kanals muss also auf beiden Seiten $\dfrac{31,5}{2}=15,75\,\text{[m]}$ betragen. Außerdem liegt der tiefste Punkt des Kanals auf der $y$ -Achse.

Das zu lösende Gleichungssystem ergibt sich nun aus den folgenden Bedingungen:

Vollständige Gleichung anzeigen

$\text{I}\quad k_{r, s}(0)=-10$

Vollständige Gleichung anzeigen

$\text{II} \quad k_{r,s}(15,75)=0$

Mit dem Taschenrechner folgt $r \approx 1,14789$ und $s \approx 12,29578.$

Der Punkt $U$ befindet sich auf der Kante des Ufers. Die Gerade $h$ verläuft im Querschnitt des Kanals durch die Punkte $U(-15,74\mid 0)$ und $A,$ welcher auf der Wasserlinie der gegenüberliegenden Seite liegt.

Da der Kanal $10 \,\text{m}$ tief ist und die Pegelhöhe $3\,\text{m}$ beträgt, befindet sich die Wasserlinie in den sieben Metern Tiefe. Die Koordinaten des Punktes $A$ ergeben sich somit aus der Gleichung $k(x)= -7,$ wobei $x\gt 0$ sein muss. Mit dem Taschenrechner folgt $x \approx 9,8476,$ also $A \approx (9,8476 \mid -7).$

Skizze

Für die Geradengleichung $h(x)=m\cdot x+c$ gilt durch Einsetzen der Koordinaten von $U$ und $A:$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$m\approx -0,27357 \quad c\approx -4,306$

Insgesamt gilt also $h(x) \approx -0,27357x - 4,306.$

Der Punkt $P$ beschreibt die Lage der Augenhöhe der Person. $P$ ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden $g:y=1,8$ und $h$ . Die $x$ -Koordinate von $P$ beschreibt also die Stelle mit der maximalen Entfernung zum Ufer, an der die Person stehen kann, um trotzdem die Wasserlinie des gegenüberliegenden Ufers sehen zu können.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x \approx -22,319$

Die Person kann folglich höchstens $22,32 \,\text{m} - 15,75 \,\text{m} = 6,57 \,\text{m}$ vom Ufer entfernt stehen.

Anmerkung: Aufgrund unterschiedlicher Rundungen können sich leichte Abweichungen ergeben.

Zur Ermittlung der entsprechenden Pegelhöhe genügt die Betrachtung der Querschnittsfäche des Kanals.

(1) und (2):
Die hellschraffierte Fläche ist die linke Seite bei (1) und stellt die Querschnittsfläche des Kanals bei halber Füllung dar. Sie ergibt sich aus der Differenz der gesamten Fläche im Intervall $[-t ; t]$ und dem grün schraffierten Rechteck. Sie soll halb so groß sein wie die gesamte Querschnittsfläche des Kanals, also $113,045\,\text{m}^2$ .

(3):
Es genügt aus Symmetriegründen, die Fläche im Intervall $[0 ; t]$ zu betrachten.

(4):
Es wird nun die Stammfunktion von $k$ eingesetzt. Anschließend wird die Lösung der entstehenden Gleichung ermittelt.

(5):
Der $y$ -Wert des Punktes $P$ wird berechnet. Die Pegelhöhe ergibt sich schließlich als Differenz dieses Wertes und des $y$ -Achsenabschnittes der Funktion $k$ .

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