Aufgabe 3

Aufgabenstellung

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $O( 0 \mid 0 \mid 0 )$ , $A( 8 \mid 0 \mid 0 )$ , $B( 8 \mid 8 \mid 0 )$ , $C (0 \mid 8 \mid 0)$ , $D( 8 \mid 0 \mid 8 )$ , $E( 8 \mid 8 \mid 8 )$ , $F( 0 \mid 8 \mid 8 )$ und $G( 0 \mid 0 \mid 8 )$ Eckpunkte eines Würfels $OABCDEFG$ . Außerdem sind die Punkte $L (8 \mid 0 \mid 1)$ , $M (8 \mid 8 \mid 3)$ und $N (0 \mid 8 \mid 5)$ gegeben (siehe Abbildung).

3D-Darstellung eines Würfels mit Linien und Punkten in einem Koordinatensystem.

Abb. 1

(1)

Zeige, dass das Dreieck $LMN$ gleichschenklig ist.

(4P)

$\,$

(2)

Zeige, dass das Dreieck $LMN$ nicht rechtwinklig ist.

(4P)

$\,$

(3)

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $LMN$ .
[Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt des Dreiecks $LMN$ beträgt $24\cdot \sqrt{2} \ [\text{FE}$ ].]

(5P)

(1)

Ermittle eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene $H$ , die die Punkte $L$ , $M$ und $N$ enthält.
[Mögliches Ergebnis für die Koordinatengleichung: $H: x_1-x_2+4x_3=12$ .]

(7P)

$\,$

(2)

Bestimme das Volumen der Pyramide $LMND$ .
[Zur Kontrolle: Das Volumen der Pyramide $LMND$ beträgt $74, \overline{6}$ $\big[VE\big]$ .]

(6P)

$\,$

(3)

Berechne, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt.

(3P)

(1)

Skizziere in der Abbildung das Schnittgebilde, das die Ebene $H$ mit dem Würfel bildet.

(3P)

$\,$

Das Schnittgebilde von Ebene und Würfel ist ein Raute.

$\,$

(2)

Untersuche, ob der Punkt $S(2 \mid 6 \mid 4)$ in der Raute liegt.

(3P)

$\,$

(3)

Untersuche, ob es einen Punkt auf der Geraden $AB$ gibt, der von dem Punkt $S$ den Abstand $7$ $[\text{LE}]$ besitzt.

(7P)

Es gibt genau eine Gerade $k$ durch $M$ , die die Geraden $LN$ und $GF$ (außerhalb des Würfels) schneidet.

$\,$

(1)

Begründe, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt.

(4P)

$\,$

(2)

Bestimme die Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden $k$ .

(4P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

(1)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ gleichschenklig ist

Bei dieser Aufgabe gibt es zwei Möglichkeiten sie zu lösen. Du kannst die Länge der Vektoren handschriftlich oder mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

Ein Dreieck heißt gleichsschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Berechne die Länge der Seiten, übder die Beträge der drei Verbindungsvektoren $\overrightarrow{LM}$ , $\overrightarrow{MN}$ und $\overrightarrow{NL}$ .

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$ $\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$ $

Vollständige Lösung anzeigen

Zwei Seiten des Dreiecks $\text{LMN}$ sind gleich lang. Du musst jetzt noch zeigen, dass die dritte Seite nicht gleich lang ist, denn sonst handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{144} = 12 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da die Seiten $\overrightarrow{LM}$ und $\overrightarrow{MN}$ gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

Die Länge der Vektoren kannst du auch mit deinem Taschenrechner berechnen. Bilde dazu als erstes die Verbindungsvektoren.

$\overrightarrow{LM} = \pmatrix{8 \\ 8 \\ 3} - \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} = \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2}$

$\overrightarrow{MN}= \pmatrix{0 \\ 8 \\ 5} - \pmatrix{8 \\ 8 \\ 3} =\pmatrix{-8 \\ 0 \\ 2}$

$\overrightarrow{NL} = \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} - \pmatrix{0 \\ 8 \\ 5} =\pmatrix{ 8 \\ -8 \\ -4}$

Die Länge kannst du jetzt mit deinem Taschenrechner berechnen:

menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 7: Normen $\rightarrow$ 1: Norm

Den Vektor kannst du mit folgendem Befehl einfügen:

menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 1: Erstellen... $\rightarrow$ 1: Matrix...

Mathematische Berechnungen zur Norm von Vektoren in einem Dokument.

Abb. 1: Betrag der Vektoren berechnen.

Da die Seiten $\overrightarrow{LM}$ und $\overrightarrow{MN}$ gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

(2)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ nicht rechtwinklig ist

Um zu zeigen, dass das Dreieck $\text{LMN}$ nicht rechtwinklig ist, kannst du das Skalarprodukt verwenden. Du weißt, dass zwei Vektoren im rechten Winkel aufeinander stehen, wenn das Skalarprodukt zwischen ihnen Null ist. Wenn also das Skalarprodukt von keinen zwei der drei Vektoren Null ist, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Hier kannst du die Skalarprodukte handschriftlich oder mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

$\begin{array}[t]{rll} &=& 4\neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da das Skalarprodukt aller Vektoren des Dreiecks ungleich 0 ist, handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

Mit folgendem Befehl kannst du das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen:

menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ C: Vektor $\rightarrow$ 3: Skalarprodukt

Mit dem gleichen Befehl wie oben kannst du die Vektoren einsetzen.

Mathematische Berechnungen mit Matrizen in einem Dokument.

Abb. 2: Skalarprodukt berechnen.

Da das Skalarprodukt aller Vektoren des Dreiecks ungleich 0 ist, handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{\text{LMN}}$ berechnen

Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist die Höhe des Dreiecks zu berechnen und anschließend mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks den Flächeninhalt zu berechnen die andere Möglichkeit ist mit Hilfe des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:

$A = \frac{1}{2}\cdot g \cdot h$

Die Länge der Grundseite $\overrightarrow{NL}$ hast du bereits in der Aufgabe a) (1) berechnet. Es fehlt noch die Länge der Höhe des Dreiecks. Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ist die Höhe gerade die Länge des Vektors, der vom Mittelpunkt der Grundseite zum Punkt $M$ zeigt.

Die Koordinaten des Mittelpunktes kannst du mit folgender Formel berechnen:

$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \left| \frac{y_1 + y_2}{2} \right| \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

Berechne als erstes die Koordinaten des Mittelpunktes $R$ . Die Länge des Vektors $\overrightarrow{RM}$ kannst du dann wie in der Aufgabe zuvor mit deinem Taschenrechner berechnen. Anschließend kannst du beide Längen in die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks einsetzen.

$R\left(\dfrac{8+ 0}{2}\; \left|\; \dfrac{0 + 8}{2} \;\right| \;\dfrac{1 + 5}{2} \right)$

$\Rightarrow R\left(4\; |\; 4\; |\; 3 \right)$

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{RM}\right|&=&4\sqrt{2} \end{array}$

$A = \left |\overrightarrow{NL}\right| \cdot \left| \overrightarrow{RM}\right | = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

Der Betrag des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) enstpricht dem Flächeninhalt des durch die beiden Vektoren aufgespannten Paralellogramms. In dieser Aufgabe kannst du das Dreieck $\text{LMN}$ zu einem Parallelogramm ergänzen, den Betrag des Vektorprodukts berechnen und den berechneten Flächeninhalt durch zwei teilen.
Das Vektorprodukt kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen.

menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ C: Vektor $\rightarrow$ 2: Kreuzprodukt

Mathematische Berechnung mit Vektoren und Kreuzprodukt in einer Softwareanwendung.

Abb. 3: Kreuzprodukt berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{NL} \times \overrightarrow{LM} &=&\pmatrix{16 \\ -16 \\ 64} \end{array}$

Den Betrag des Vektors kannst du wie in den Aufgaben zuvor mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \left| \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64} \right| &=&48\sqrt{2} \end{array}$

$48\sqrt{2} : 2 = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform der Ebene H bestimmen

In dieser Aufgabe sollst du eine Ebenengleichung in Parameterform der Ebene H bestimmen, die die Punkte $\text{L}$ , $\text{M}$ und $\text{N}$ enthält. Wähle einen Ortsvektor, der zu einem der drei Punkte zeigt, als Stützvektor der Ebene und berechne anschließend die beiden Richtungsvektoren.

$H: \vec{x}= \overrightarrow{OL} + r\cdot \overrightarrow{LM} + s\cdot \overrightarrow{LN}$

$H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{8-8 \\ 8-0 \\ 3-1} + s\cdot \pmatrix{0-8 \\ 8-0 \\ 5-1}$

$\longrightarrow H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$

Eine Ebenengleichung in Parameterform lautet $H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$ .

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene H bestimmen

Um eine Ebenengleichung in Koordinatenform anzugeben, benötigst du den Normalenvektor der Ebene. Den Normalenvektor hast du vielleicht schon in der Aufgabe a) (3) berechnet, wenn nicht, kannst du den Normalenvektor mit deinem Taschenrechner berechnen. Diesen kannst du dann noch mit $16$ kürzen

menu $\rightarrow$ 7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ C: Vektor $\rightarrow$ 2: Kreuzprodukt

Abb. 4: Kreuzprodukt berechnen.

$\vec{n} = \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64}$

$\vec{n_1} =\pmatrix{1 \\ -1 \\ 4}$

H: x_1 - x_2 + 4x_3 = d $<div class="abstand_ntext"></div> Den Parameter$ d $kannst du berechnen, indem du die Koordinaten des Stützvektors in die Ebenengleichung einsetzt. <div class="abstand_ntext"></div>$ 1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 1 = 12 $<div class="abstand_nueschrift"></div> H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$

Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet ${H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Volumen der Pyramide $\boldsymbol{\text{LMND}}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ berechnen. Die Formel für das Volumen einer Pyramide lautet:

$V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot g \cdot h$

Den Flächeninhalt der Grundseite hast du in der Aufgabe a) (3) schon berechnet. Die Höhe der Pyramide kannst du berechnen, indem du den Abstand vom Punkt $D$ zur Ebene $H$ berechnest. Den Abstand $c$ zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst du mit der Hesseschen Normalenform berechnen:

$\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-d}{\left|\vec{n}\right|}=0$

Setze in die Hessesche Normalenform die Koordinaten des Punktes D ein. Den Betrag des Normalenvektors kannst di mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} c&=&\dfrac{1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 8 -12}{3\sqrt{2}} \\[5pt] &=&\dfrac {28}{3\sqrt{2}} = \dfrac{14\sqrt{2}}{3} \end{array}$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe der Pyramide in die Formel einsetzen:

$V_{\text{Pyramide}} = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{14\sqrt{2}}{3} = 74,\overline{6}$

Das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ beträgt $74,\overline{6}\; VE$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Berechnen, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt

In dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt. Dazu musst du als erstes das Volumen des Würfels berechnen. Das Volumen eines Würfels kannst du mit dieser Formel berechnen:

$V_{\text{Würfel}}= a^3$

Die Seitenlänge des Würfels kannst du mit Hilfe der Koordinaten der Eckpunkte bestimmen. Eine Ecke des Würfels liegt im Ursprung des Koordinatensystem. Der Punkt $A$ liegt auf der $x_1$ -Achse. Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A(8 \;|\; 0 \;|\; 0)$ . Der Punkt $A$ ist also $8\;LE$ vom Ursprung entfernt. Die Seitenlänge des Würfels beträgt also $8\; LE$ . Das kannst du nun in die Formel einsetzen.

$V_{\text{Würfel}}= 8 ^3 = 512$

Der Würfel hat ein Volumina von $512\; VE$ .

Jetzt kannst du das Verhältnis der beiden Volumen berechnen:

$\dfrac{V_{\text{Pyramide}}}{V_{\text{Würfel}}} = \dfrac{74,\overline{6}\;VE}{512\;VE}= 0,146$

Das Pyramidenvolumen nimmt ca. $14,6\; \%$ des Würfelvolumens ein.

(1)

$\blacktriangleright$ Schnittgebilde skizzieren

In dieser Aufgabe sollst du das Schnittgebilde, das die Ebene $H$ mit dem Würfel bildet, skizzieren. Berechne dazu als erstes den Schnittpunkt $T$ der Ebene $H$ mit der $x_3$ -Achse. Damit die Ebene die $x_3$ - Achse schneidet, müssen die $x_1-$ und $x_2-$ Koordinaten des Schnittpunktes $T=0$ sein.

$T(0\;|\; 0 \;|\; t)$

Wenn du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Ebenengleichung der Ebene $H$ einsetzt, kannst du die fehlende Koordinate des Punktes $T$ berechnen. Du erhälst zwei Gleichungen, die du mit deinem Taschenrechner lösen kannst.

menu $\rightarrow$ 3: Algebra $\rightarrow$ 7: Gleichungssystem lösen $\rightarrow$ 1: Gleichungssytsem lösen...

Mathematische Gleichungen und Lösungen in einem Dokument.

Abb. 5: Gleichung lösen.

Wenn du jetzt die berechneten Werte für $r$ und $s$ in die dritte Zeile der Ebenengleichung einsetzt, erhälst du die Koordinaten des Schnittpunktes $T$ .

$1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot (4) = 3$

Die Koordinaten des Punktes $T$ lauten $T(0\;|\; 0 \;|\; 3)$ .

Diesen Punkt kannst du nun in das gegebene Koordinatensystem einzeichnen, und anschließend die Eckpunkte $L$ und $N$ mit dem Punkt $T$ verbinden.

Diagramm eines Quaders mit Linien und Punkten zur Veranschaulichung geometrischer Beziehungen.

Abb. 6: Skizze Schnittgebilde

(2)

$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der Punkt $\boldsymbol{S}$ in der Raute liegt.

Um zu überprüfen ob der Punkt $S$ in der Raute liegt, musst du als erstes überprüfen, ob der Punkt auf der Ebene $H$ liegt. Setze dazu die Koordinaten des Punktes $S$ in die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene $H$ ein. Ist die Gleichung erfüllt, dann liegt der Punkt $S$ in der Ebene $H$ :

$1 \cdot 2 -1\cdot 6 +4\cdot 4 \stackrel{!}{=} 12$

$12 = 12$

Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt $S$ liegt somit in der Ebene $H$ .

Die Koordinaten der Eckpunkte des Würfels sind größer als 0, aber kleiner als 8. Auch die Koordinaten des Punktes $S$ sind größer als 0, aber kleiner als 8. Der Punkt liegt also innerhalb des Würfels und da gerade gezeigt wurde, dass der Punkt $S$ in der Ebene $H$ liegt, liegt er auch auf der Raute.

(3)

$\blacktriangleright$ Existenz eines Punktes überprüfen

Um zu überprüfen, ob es einen Punkt auf der Geraden $AB$ gibt, der den Abstand $7\;LE$ zum Punkt $S$ hat, bildest du als erstes die Gerade $g$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ geht.

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

Den Richtungsvektor kannst du noch kürzen und die Geradengleichung lautet dann:

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

Jetzt kannst du den allgemeinen Punkt der Gerade $g$ bestimmen. Der Abstand zwischen dem allgemeinen Punkt von der Geraden $g$ und dem Punkt $S$ muss dann $7\;LE$ sein.

$G( 8\;|\; t \;| \; 0)$

$|\overrightarrow{GS}| = \left|\pmatrix{8 \\ t \\ 0} -\pmatrix{2 \\ 4 \\ 6} \right| = \left|\pmatrix{6 \\ t-6 \\ -4}\right|$

$\begin{array}[t]{rll} 7&\stackrel{!}{=}&\left|\pmatrix{6 \\ t-6 \\ -4}\right| \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Norm in einem Dokument.

Abb. 7: Gleichung lösen.

Da die Gleichung nicht lösbar ist, gibt es keinen Punkt auf der Geraden $AB$ , der den Abstand $7\;\text{LE}$ zum Punkt $S$ hat.

(1)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt.

In dieser Aufgabe sollst du begründen, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt. Aus der Aufgabe weißt du, dass die Gerade $k$ die Gerade $LN$ schneidet und durch den Punkt $M$ geht. Da die Gerade $LN$ und der Punkt $M$ in der Ebene $H$ liegen muss auch die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegen.

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden $k$ bestimmen.

In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten eines weiteren Punktes, der auf der Geraden $k$ liegt berechnen. Aus der Aufgabe weißt du, dass sich die Gerade $k$ und die Gerade $GF$ in einem Punkt schneiden. In der Aufgabe davor hast du gezeigt, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt. Du kannst also den Schnittpunkt zwischen der Ebene $H$ und der Geraden $k$ berechnen und dieser Schnittpunkt liegt dann gerade auf der Geraden $k$ .

1. Schritt: Gerade $\boldsymbol{GF}$ bestimmen

Bestimme als erstes die Gerade $GF$ :

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

2. Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{R}$ berechnen.

Jetzt kannst du den Schnittpunkt $R$ zwischen der Ebene $H$ und der Geraden $GF$ berechnen. Setze dazu die Koordinaten der Gerade in die Koordinatenform der Ebene $H$ ein und löse die Gleichung mit deinem Taschenrechner.

Screenshot einer mathematischen Gleichungslösung in einer Software, die x=20 zeigt.

Abb. 8: Gleichung lösen.

Setze für $r=20$ in die Geradengleichung ein:

$R(0\; | \; 160 \;|\; 8)$

Ein zweiter Punkt der auf der Geraden $k$ liegt hat die Koordinaten $R(0\; | \; 20 \;|\; 8)$ .

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

(1)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ gleichschenklig ist

Bei dieser Aufgabe gibt es zwei Möglichkeiten sie zu lösen. Du kannst die Länge der Vektoren handschriftlich oder mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$ $\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{68} \approx 8,25 \end{array}$ $

Vollständige Lösung anzeigen

Zwei Seiten des Dreiecks $\text{LMN}$ sind gleich lang. Du musst jetzt noch zeigen, dass die dritte Seite nicht gleich lang ist, denn sonst handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

$\begin{array}[t]{rll} &=& \sqrt{144} = 12 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da die Seiten $\overrightarrow{LM}$ und $\overrightarrow{MN}$ gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

Die Länge der Vektoren kannst du auch mit deinem Taschenrechner berechnen. Bilde dazu als erstes die Verbindungsvektoren.

$\overrightarrow{LM} = \pmatrix{8 \\ 8 \\ 3} - \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} = \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2}$

$\overrightarrow{MN}= \pmatrix{0 \\ 8 \\ 5} - \pmatrix{8 \\ 8 \\ 3} =\pmatrix{-8 \\ 0 \\ 2}$

$\overrightarrow{NL} = \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} - \pmatrix{0 \\ 8 \\ 5} =\pmatrix{ 8 \\ -8 \\ -4}$

Die Länge kannst du jetzt mit dem Norm-Befehl berechnen:

Den Vektor kannst du mit folgendem Befehl einfügen:

Keyboard $\rightarrow$ Math2

Mathematische Berechnungen zur Norm von Vektoren in einer Softwareanwendung.

Abb. 1: Betrag der Vektoren berechnen.

Da die Seiten $\overrightarrow{LM}$ und $\overrightarrow{MN}$ gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.

(2)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ nicht rechtwinklig ist

Hier kannst du die Skalarprodukte handschriftlich oder mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

$\begin{array}[t]{rll} &=& 4\neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} &=& -72 \neq 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da das Skalarprodukt aller Vektoren des Dreiecks ungleich 0 ist, handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

Mit dem dotP-Befehl kannst du das Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnen:

Mit dem gleichen Befehl wie oben kannst du die Vektoren einsetzen.

Mathematische Berechnungen mit Vektoren und Skalarprodukten in einer Softwareanwendung.

Abb. 2: Skalarprodukt berechnen.

Da das Skalarprodukt aller Vektoren des Dreiecks ungleich 0 ist, handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck.

(3)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreieck $\boldsymbol{\text{LMN}}$ berechnen

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A:

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:

$A = \frac{1}{2}\cdot g \cdot h$

Die Koordinaten des Mittelpunktes kannst du mit folgender Formel berechnen:

$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \left| \frac{y_1 + y_2}{2} \right| \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

$R\left(\dfrac{8+ 0}{2}\; \left|\; \dfrac{0 + 8}{2} \;\right| \;\dfrac{1 + 5}{2} \right)$

$\Rightarrow R\left(4\; |\; 4\; |\; 3 \right)$

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{RM}\right|&=&4\sqrt{2} \end{array}$

$A = \left |\overrightarrow{NL}\right| \cdot \left| \overrightarrow{RM}\right | = \frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B:

Mathematische Berechnung mit Vektoren und Kreuzprodukt in einer Software.

Abb. 3: Kreuzprodukt berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{NL} \times \overrightarrow{LM} &=&\pmatrix{16 \\ -16 \\ 64} \end{array}$

Den Betrag des Vektors kannst du wie in den Aufgaben zuvor mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \left| \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64} \right| &=&48\sqrt{2} \end{array}$

$48\sqrt{2} : 2 = 24\sqrt{2}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{LMN}$ beträgt $24\sqrt{2}\; \text{FE}$ .

(1)

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Parameterform der Ebene H bestimmen

$H: \vec{x}= \overrightarrow{OL} + r\cdot \overrightarrow{LM} + s\cdot \overrightarrow{LN}$

$H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{8-8 \\ 8-0 \\ 3-1} + s\cdot \pmatrix{0-8 \\ 8-0 \\ 5-1}$

$\longrightarrow H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$

Eine Ebenengleichung in Parameterform lautet $H: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 2} + s\cdot \pmatrix{-8\\ 8 \\ 4}$ .

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene H bestimmen

Um eine Ebenengleichung in Koordinatenform anzugeben, benötigst du den Normalenvektor der Ebene. Den Normalenvektor hast du vielleicht schon in der Aufgabe a) (3) berechnet, wenn nicht, kannst du den Normalenvektor mit dem crossP-Befehl berechnen. Diesen kannst du dann noch mit $16$ kürzen

Interaktive Software zur Berechnung des Kreuzprodukts von Vektoren mit Resultaten in Matrixform.

Abb. 4: Kreuzprodukt berechnen.

$\vec{n} = \pmatrix{16 \\ -16 \\ 64}$

$\vec{n_1} =\pmatrix{1 \\ -1 \\ 4}$

$\longrightarrow H: x_1 - x_2 + 4x_3 = d$

Den Parameter $d$ kannst du berechnen, indem du die Koordinaten des Stützvektors in die Ebenengleichung einsetzt.

$1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 1 = 12$

$\longrightarrow H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$

Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet ${H: x_1 - x_2 + 4x_3 = 12$ .

(2)

$\blacktriangleright$ Volumen der Pyramide $\boldsymbol{\text{LMND}}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ berechnen. Die Formel für das Volumen einer Pyramide lautet:

$V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot g \cdot h$

$\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-d}{\left|\vec{n}\right|}=0$

Setze in die Hessesche Normalenform die Koordinaten des Punktes D ein. Den Baatrag des Normalenvektors kannst di mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} c&=&\dfrac{1\cdot 8 - 1\cdot 0 + 4\cdot 8 -12}{3\sqrt{2}} \\[5pt] &=&\dfrac {28}{3\sqrt{2}} = \dfrac{14\sqrt{2}}{3} \end{array}$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe der Pyramide in die Formel einsetzen:

$V_{\text{Pyramide}} = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{14\sqrt{2}}{3} = 74,\overline{6}$

Das Volumen der Pyramide $\text{LMND}$ beträgt $74,\overline{6}\; VE$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Berechnen, wie viel Prozent des Würfelvolumens das Pyramidenvolumen einnimmt

$V_{\text{Würfel}}= a^3$

$V_{\text{Würfel}}= 8 ^3 = 512$

Der Würfel hat ein Volumina von $512\; VE$ .

Jetzt kannst du das Verhältnis der beiden Volumen berechnen:

$\dfrac{V_{\text{Pyramide}}}{V_{\text{Würfel}}} = \dfrac{74,\overline{6}\;VE}{512\;VE}= 0,146$

Das Pyramidenvolumen nimmt ca. $14,6\; \%$ des Würfelvolumens ein.

(1)

$\blacktriangleright$ Schnittgebilde skizzieren

$T(0\;|\; 0 \;|\; t)$

Wenn du den Ortsvektor des Punktes $T$ in die Ebenengleichung der Ebene $H$ einsetzt, kannst du die fehlende Korrdinate des Punktes $T$ berechnen. Du erhälst zwei Gleichungne, die du mit deinem Taschenrechner lösen kannst.

Keyboard $\rightarrow$ Math1

Mathematische Gleichungen und Lösungen in einem interaktiven Editor.

Abb. 5: Gleichung lösen.

Wenn du jetzt die berechneten Werte für $r$ und $s$ in die dritte Zeile der Ebenengleichung einsetzt, erhälst du die Koordinaten des Schnittpunktes $T$ .

$1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot (4) = 3$

Die Koordinaten des Punktes $T$ lauten $T(0\;|\; 0 \;|\; 3)$ .

Diesen Punkt kannst du nun in das gegebene Koordinatensystem einzeichnen, und anschließend die Eckpunkte $L$ und $N$ mit dem Punkt $T$ verbinden.

Abb. 6: Skizze Schnittgebilde

(2)

$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der Punkt $\boldsymbol{S}$ in der Raute liegt.

$1 \cdot 2 -1\cdot 6 +4\cdot 4 \stackrel{!}{=} 12$

$12 = 12$

Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt $S$ liegt somit in der Ebene $H$ .

(3)

$\blacktriangleright$ Existenz eines Punktes überprüfen

Um zu überprüfen, ob es einen Punkt auf der Geraden $AB$ gibt, der den Abstand $7\;LE$ zum Punkt $S$ hat, bildest du als erstes die Gerade $g$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ geht.

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

Den Richtungsvektor kannst du noch kürzen und die Geradengleichung lautet dann:

$g: \vec{x}= \pmatrix{8 \\ 0 \\ 0} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

Jetzt kannst du den allgemeinen Punkt der Gerade $g$ bestimmen. Der Abstand zwischen dem allgemeinen Punkt von der Geraden $g$ und dem Punkt $S$ muss dann $7\;LE$ sein.

$G( 8\;|\; t \;| \; 0)$

$|\overrightarrow{GS}| = \left|\pmatrix{8 \\ t \\ 0} -\pmatrix{2 \\ 4 \\ 6} \right| = \left|\pmatrix{6 \\ t-6 \\ -4}\right|$

$\begin{array}[t]{rll} 7&\stackrel{!}{=}&\left|\pmatrix{6 \\ t-6 \\ -4}\right| \\[5pt] \end{array}$

Mathematische Software zeigt eine Gleichung mit dem Ergebnis

Abb. 7: Gleichung lösen.

Da die Gleichung nicht lösbar ist, gibt es keinen Punkt auf der Geraden $AB$ , der den Abstand $7\;\text{LE}$ zum Punkt $S$ hat.

(1)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die Gerade $k$ in der Ebene $H$ liegt.

(2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden $k$ bestimmen.

1. Schritt: Gerade $\boldsymbol{GF}$ bestimmen

Bestimme als erstes die Gerade $GF$ :

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 8 \\ 0}$

$GF: \vec{x} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 8} + r \cdot \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}$

2. Schritt: Schnittpunkt $\boldsymbol{R}$ berechnen.

Screenshot einer mathematischen Software mit einer Gleichung und ihrer Lösung.

Abb. 6: Skizze Schnittgebilde

Setze für $r=20$ in die Geradengleichung ein:

$R(0\; | \; 160 \;|\; 8)$

Ein zweiter Punkt der auf der Geraden $k$ liegt hat die Koordinaten $R(0\; | \; 20 \;|\; 8)$ .

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]