Analysis 2

Für einen industriellen Produktionsprozess wird ein Behälter verwendet. Im Laufe des Produktionsprozesses enthält der Behälter unterschiedliche Mengen einer Flüssigkeit. Die Füllhöhe der Flüssigkeit im Behälter in Zentimetern wird mit $h$ bezeichnet.

Die Funktionenschar $M_{a;b}$ mit $M_{a;b}(h)=a\cdot\mathrm{e}^{b\cdot h}$ beschreibt die Abhängigkeit einer Messgröße von $h.$

Die Abbildung zeigt die Messwerte der Messreihe 1.
Bestimme die Werte der Parameter $a$ und $b$ so, dass durch die Funktion $M_{a;b}$ diese Messwerte beschrieben werden.

$\color{#fff}{h [\text{cm}]}$	$\color{#fff}{M_{a;b}(h)}$
20	55
40	30
60	17
80	9
100	5

(4 Punkte)

Verwende nun die Funktion $M_{100;-0,03}$ mit $M_{100;-0,03}(h)=100\cdot\mathrm{e}^{-0,03\cdot h}.$
Berechne die Füllhöhe $h,$ bei der die lokale Änderungsrate von $M$ mit der mittleren Änderungsrate im Intervall $[0 ; 100]$ übereinstimmt.

(4 Punkte)

Das Ergebnis der Messreihe 2 zeigt das in der Abbildung dargestellte Diagramm, bei dem auf der $x$ -Achse $h$ und auf der $y$ -Achse $\text{ln}(M_{a;b}(h))$ abgetragen ist.
Ermittle mithilfe der Steigung der abgebildeten Gerade sowie des Schnittpunktes dieser Gerade mit der $y-$ Achse die passenden Werte der Parameter $a$ und $b.$

rlp mathe abi 2022 cas aufgabe 1 abbildung 2 messreihe 2

(5 Punkte)

Der betrachtete Behälter ist kugelförmig und hat einen Innendurchmesser von $100\,\text{cm}.$ Das Füllvolumen der Flüssigkeit im Behälter in Litern kann in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ mit dem Term $V(h)=\dfrac{1}{1000}\cdot\displaystyle\int_{0}^{h}\pi\cdot(50^2-(50-x)^2) \;\mathrm dx$ berechnet werden.

Die Abbildung zeigt einen vertikalen Schnitt durch den Mittelpunkt des Behälters. Gib die Bedeutung des Terms $\pi\cdot(50^2-(50-x)^2)$ im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe mithilfe der Abbildung 3. Beschreibe die Bedeutung des Faktors $\dfrac{1}{1000}$ im Term $V(h)$ im Sachzusammenhang.

rlp mathe abi 2022 wtr aufgabe 2 abbildung 1 mittelpunkt kreis behaelter

(6 Punkte)

Begründe, dass es im Sachzusammenhang sinnvoll ist, die Definitionsmenge der Funktion $h\mapsto V(h)$ auf das Intervall $[0;100]$ zu beschränken.

(2 Punkte)

Bestimme einen Term für $V(h),$ der kein Integral enthält. Skizziere den Graphen dieser Funktion $h\mapsto V(h)$ im Intervall $[0;100].$

(4 Punkte)

Zeige, dass der Wendepunkt des Graphen der Funktion $h\mapsto V(h)$ an der Stelle $h=50$ liegt, und berechne das zugehörige Füllvolumen.

(4 Punkte)

Während des Produktionsprozesses wird dem Behälter kontinuierlich Flüssigkeit zugeführt und wieder entnommen. Die zeitliche Entwicklung des Füllvolumens der Flüssigkeit im Behälter lässt sich mithilfe des Terms $V(t)=150\cdot\text{sin}\left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t\right)+300$ beschreiben. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Produktionsprozesses vergangene Zeit in Minuten und $V(t)$ das Füllvolumen in Liter.

Begründe, dass das minimale Füllvolumen während des Produktionsprozesses $150$ Liter beträgt.

(2 Punkte)

Berechne denjenigen Zeitpunkt in der ersten halben Stunde nach Beginn des Produktionsprozesses, zu dem das Füllvolumen genau $150$ Liter beträgt. Ermittle die zugehörige Füllhöhe $h.$

(4 Punkte)

Der Mittelwert $\overline{m}$ einer Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ ist definiert als $\overline{m}=\dfrac{1}{b-a}\cdot\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx.$ Untersuche, ob es ein Zeitintervall der Länge zehn Minuten so gibt, dass das mittlere Füllvolumen während dieses Intervalls $400$ Liter beträgt.

(5 Punkte)

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Um die Werte der Parameter $a$ und $b$ zu bestimmen, werden die Messwerte in $M_{a;b}(h)=a \cdot \mathrm e^{b\cdot h}$ eingesetzt.

Es ergibt sich $55= a \cdot \mathrm e^{b \cdot 20}$ und $30= a \cdot \mathrm e^{b \cdot 40}.$

Nach $a$ aufgelöst ergibt sich: $\dfrac{55}{\mathrm e^{b \cdot 20}} =a$ und $\dfrac{30}{\mathrm e^{b \cdot 40}} =a$

Aus Gleichsetzen und Auflösen mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{55}{\mathrm e^{b \cdot 20}}&=&\dfrac{30}{\mathrm e^{b \cdot 40}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{solve} \\[5pt] b&\approx&-0,03 \end{array}$

Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert den Wert für $a:$

$\begin{array}[t]{rll} 55&=& a \cdot \mathrm e^{-0,03 \cdot 20}&\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,03 \cdot 20} \\[5pt] \dfrac{55}{\mathrm e^{-0,03 \cdot 20}}&=& a \\[5pt] 100,21&\approx &a \end{array}$

Mittlere Änderungsrate im Intervall $[0;100]$

$\dfrac{M_{100;-0,03}(100)-M_{100;-0,03}(0)}{100-0}$ $\approx \dfrac{4,98-100}{100}= -0,95$

Lokale Änderungsrate bestimmen

$M(h)= 100 \cdot \mathrm e^{-0,03 \cdot h}$

$\(M$

Die Füllhöhe $h,$ bei der die lokale Änderungsrate von $M$ mit der mittleren Änderungsrate übereinstimmt, ergibt sich durch Gleichsetzen:

$\(\begin{array}[t]{rll} M$

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die allgemeine Geradengleichung hat die Form $y=m \cdot x +c.$

Die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden mit der $y$ -Achse werden aus der Abbildung mit $(0 \mid 4,6)$ abgelesen. Daraus folgt $c=4,6.$

Weitere Koordinaten eines Punktes auf der Geraden können mit $(60 \mid 1)$ abgelesen werden. Die Steigung $m$ ergibt sich mit $m= \dfrac{1-4,6}{60-0}= -0,06.$

Die Geradengleichung folgt mit $y= -0,06 \cdot x +4,6.$

2. Schritt: Term umformen

Anwendung des ersten Logarithmusgesetzes:

$\begin{array}[t]{rll} \ln(M_{a;b}(h))&=& \ln(a \cdot \mathrm e^{b \cdot h}) \\[5pt] \ln(M_{a;b}(h))&=& \ln(a) + \ln(\mathrm e^{b \cdot h})\\[5pt] &=&\ln(a)+b \cdot h \end{array}$

3. Schritt: Parameter $a$ und $b$ bestimmen

Der Term hat die Form einer linearen Funktion, deshalb entspricht $b$ der Steigung der Geraden. Also folgt $b= m =-0,06.$

Außerdem folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \ln(a)&=& 4,6 &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e^{(\;)} \\[5pt] a&\approx& 99,48 \end{array}$

Mit dem Satz des Pythagoras und aus der Skizze folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 50^2&=& (50-x)^2 +y^2 \\[5pt] 50^2-(50-x)^2&=& y^2 \end{array}$

Skizze

Mit dem Term $\pi \cdot (50^2-(50-x)^2) = \pi \cdot y^2$ wird im Sachzusammenhang der Flächeninhalt der Flüssigkeitsoberfläche bestimmt. Die Flüssigkeitsoberfläche innerhalb der Kugel entspricht einer Kreisfläche, wobei $y$ der Radius der Kreisfläche ist.

Der Umrechnungsfaktor in Liter entspricht dem Faktor $\dfrac{1}{1000},$ weshalb der Term $V(h)$ das Füllvolumen der Flüssigkeit im Behälter in Litern angibt.

Im Sachzusammenhang ist es sinnvoll die Definitionsmenge auf das Intervall $[0;100]$ zu beschränken, da der Behälter einen Innendurchmesser von $100 \;\text{cm}$ hat und die Füllhöhe $h$ somit keinen Wert $h\lt 0$ oder $h\gt 100$ annehmen kann.

Rechenweg anzeigen

$V(h)=...$

rlp mathe abi 2022 wtr aufgabe 2 abbildung 2 graph von v

Die ersten drei Ableitungen lauten:

$\(V$

Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} V$

Hinreichende Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(V$

Folglich ist gezeigt, dass sich an der Stelle $h=50$ ein Wendepunkt befindet.

Das zugehörige Füllvolumen ergibt sich mit $V(50)= \dfrac{250}{\pi} \approx 261,8 \; [\text{l}].$

Es muss $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t \right) =-1$ gelten.
Der Graph der $\sin$ -Funktion verläuft nämlich periodisch und hat somit unendlich viele Tiefpunkte, die alle $-1$ als kleinsten Funktionswert annehmen.

Daraus folgt das minimale Füllvolumen mit:

$\begin{array}[t]{rll} & & 150 \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\cdot t \right)+300 \\[5pt] &=& 150 \cdot (-1)+300 \\[5pt] &=&150 \, [\text{l}] \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$t=-6$

Gesucht ist der Zeitpunkt $t_1$ im Intervall $[0;30].$ Da der Graph der Sinusfunktion periodisch verläuft, wird ausgehend von $t$ der Zeitpunkt $t_1$ eine Periode $p$ weiter in positive $t$ -Richtung berechnet.

Es gilt: $p= \dfrac{2 \cdot \pi}{\dfrac{\pi}{12}}=24$

Daraus folgt: $t_1=t+p=-6+24=18$

Nach 18 Minuten beträgt das Füllvolumen in der ersten halben Stunde genau 150 Liter.

1. Schritt: Stammfunktion ermitteln

$\displaystyle\int V(t) \;\mathrm dt$ $= - \dfrac{1800}{\pi} \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{12} \cdot t\right)+300 \cdot t +c$

2. Schritt: Zeitintervall bestimmen

Gesucht ist das Intervall $[t;t+10]$ in dem $\overline{m}=400$ ist. Einsetzen in $\overline{m}$ ergibt:

Rechenweg anzeigen

$\overline{m}=...$

Das $t,$ für das $\overline{m}=400$ gilt, ergibt sich aus der Graphischen Lösung mithilfe des CAS. Ermittelt wird eine mögliche $t$ -Koordinate des Schnittpunkts des Terms mit der Geraden $y=400.$ Diese ergibt sich mit $t\approx 2,693.$

Somit folgt ein mögliches Intervall mit $[2,693; 12,693].$

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