Aufgabe 2
In einem Skatepark soll ein neuer Teilabschnitt gebaut werden. Der Entwurf des Architekten für den Längsschnitt des Abschnitts ist in Abbildung 1 zu sehen.
Der Abschnitt soll aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden zusammengesetzt werden. Die äußeren Elemente 
und 
sind quaderförmig, für die beiden mittleren Elemente 
und 
werden die in Abbildung 1 dargestellten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen 
und 
modelliert (Abbildung 2). Die in Abbildung 1 dargestellten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die 
-Achse modelliert. Außer beim Übergang von zu sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen, um ein störungsfreies Fahren zu gewährleisten.
Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element verwendet das Architekturbüro für 
die Funktion mit 
Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem 
in der Realität.
Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfür betragen 
pro 
Die Skatebahn hat überall eine Breite von 
soll durch eine ganzrationale Funktion zweiten Grades modelliert werden, deren Graph im Punkt 
sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit dem Graphen von übereinstimmt (siehe Abbildung 2). Dabei soll der tiefste Punkt der oberen Randlinie von in 
horizontaler Entfernung vom Punkt liegen.
die Gleichung 
Abbildung 1
Abbildung 2
a)
(1)
Begründe, dass 
für alle 
gilt, und interpretiere dies geometrisch.
(2)
Ermittle rechnerisch den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von 
(3)
Zeige, dass die obere Randlinie von Element knickfrei an die obere Randlinie des quaderförmigen Elements anschließt.
(4)
Aus Sicherheitsgründen soll an der steilsten Stelle der Bahn der Betrag der Steigung höchstens 
sein.
Zeige, dass diese Vorgabe beim Element eingehalten wird.
Zeige, dass diese Vorgabe beim Element
(2 + 4 + 2 + 3 Punkte)
b)
Ermittle die Materialkosten für das Element
Die obere Randlinie von Element
(3 Punkte)
c)
Ermittle eine Gleichung der Funktion 
Verwende im Folgenden für die Modellierung von
(5 Punkte)
d)
(1)
Für werden in einem ersten Entwurf zunächst Materialkosten von 
veranschlagt.
![\(d \approx 8,24 [\text{m}]\)](https://mathjax.schullv.de/df5f8ea17607c8f36f5628182ee1a3f2726d100f645bf85bd453a898f7066a6e?color=5a5a5a)
.
(i)
Stelle eine Gleichung auf, mit der die Länge 
des Elements so berechnet werden kann, dass die Materialkosten betragen.
Als Lösung der Gleichung ergibt sich eine Länge von
(ii)
Bestimme die daraus resultierenden Materialkosten für bei einer feststehenden Länge von 
für 
[Kontrolllösung: Die Materialkosten für betragen ungefähr 
]
[Kontrolllösung: Die Materialkosten für
(2)
Dem Architekturbüro wird mitgeteilt, dass für die beiden Elemente und nur Materialkosten von zusammen 
entstehen dürfen.
(i)
Berechne, um wie viel Prozent die Materialkosten beim ersten Entwurf über dieser Vorgabe liegen.
(ii)
In einem neuen Entwurf wird daher die Länge von Element verändert. Die Länge von Element soll weiterhin betragen.
Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge
von Element so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von und zusammen genau betragen.
[Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]
Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge
[Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]
(4 + 4 Punkte)
e)
Der Abschnitt wird schließlich mit einer Länge von ![\(d = 7,5 [\text{m}]\)](https://mathjax.schullv.de/0b60804f2fdb3e1785bef50b0ba246504cc885c30f924ad843a0a14be5262a96?color=5a5a5a)
gebaut.
Eine Kamera soll in einer Höhe von
über der unteren Randlinie von befestigt werden, um die Fahrten der Skater auf zu filmen. Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt 
dargestellt.
Eine Kamera soll in einer Höhe von
(1)
Ermittle den Wert von 
für den die Punkte und 
gleich weit von 
entfernt sind.
(2)
Bestimme die minimale Entfernung des Punktes 
vom Graphen von
(4 + 4 Punkte)
f)
In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion 
mit 
mit 
(1)
Zeige, dass 
gilt, und begründe, dass für jedes 
die Lage und Art der Extemstellen von 
mit der Lage und Art der Extremstellen von 
übereinstimmen.
(2)
Ermittle den Wert von 
bei dem diese Bahn im Abschnitt an der Stelle 
die Steigung 
hat.
(3 + 2 Punkte)
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a)
(1)
Da eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist, gilt 
. Hieraus folgt ebenfalls, dass der Graph von achsensymmetrisch zur 
-Achse ist.
(2)
Es werden die globalen Extremstellen der Funktion von gesucht. Diese sind entweder die Randstellen des Intervalls oder eventuelle Extrema im Intervall.
1. Schritt: Randwerte von berechnen
2. Schritt: Extrema bestimmen
Die Ableitung von ist 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/24aecbec47f89a314b53a21c3a154b5fa530b37479c234ffa95281581bf00448?color=5a5a5a)
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
und
![\(\begin{array}[t]{rll}
-\dfrac{1}{64}x^2+\dfrac{1}{4}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt]
\dfrac{1}{64}x^2-\dfrac{1}{4}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{4} \\[5pt]
\dfrac{1}{64}x^2&=&\dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 64 \\[5pt]
x^2&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
x_{2,3}&=&\pm 4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/661b138aa62b7cf9b7019c53d21fa5774edb865cd4bbc981e331a4ac8cb08d1f?color=5a5a5a)
3. Schritt: Höhenunterschied bestimmen
Der niedrigste Funktionswert von im gegebenen Intervall ist somit und der höchste 
. Der Höhenunterschied beträgt somit 
(3)
Die obere Randlinie von ist waagerecht, hat also die Steigung Null. Die obere Randlinie von folgt dem Verlauf des Graphen von , welcher bei 
wie in Aufgabenteil (2) gezeigt eine Extremstelle hat. Somit ist die Steigung der oberen Randlinie von an der Stelle ebenfalls Null. Da mit der Höhe von übereinstimmt, schließen die beiden Randlinien also knickfrei aneinander an.
(4)
Mit dem CAS werden die Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes des Graphen von in ![\([-4;4,8]\)](https://mathjax.schullv.de/ba43f56f569b19cb9fe6699a74d95eb1734d6464ea40f63b9302661d70491a29?color=5a5a5a)
bestimmt.
Die steilste Stelle der Bahn liegt folglich bei 
. Mit 
wird die Vorgabe eingehalten.
b)
1. Schritt: Volumen berechnen
Das Volumen ergibt sich aus der Breite multipliziert mit dem Flächeninhalt des Elements E2 .
Somit beträgt das Volumen 
2. Schritt: Materialkosten berechnen
c)
Die allgemeine Gleichung für eine Funktion zweiten Grades lautet: 
. Somit lautet ihre erste Ableitung: 
.
Es gilt:
Somit lautet die Funktionsgleichung:
d)
(1)
(i)
(ii)
Die Höhe 
des Quaders ist gleich der Höhe von an ihrem Berührpunkt.
Die Materialkosten für den Quader betragen somit:
(2)
(i)
Die Materialkosten von und beim ersten Entwurf betragen insgesamt
Somit liegen die Kosten 
über der Vorgabe.
(ii)
Mithilfe des Ergebnisses aus Teilaufgabe (1) ergibt sich die Gleichung als:
e)
(1)
Mit dem Solve-Befehl des CAS ergibt sich 
(2)
Für die Entfernung 
des Punktes 
zu einem Punkt 
des Graphen von gilt:
Der CAS liefert im Intervall ![\([4,8;12,3]\)](https://mathjax.schullv.de/662f14b75b8b8b0c30e84e3d8319a37e5a2d7f576838ef38c7ae7f4765da7e41?color=5a5a5a)
den absoluten Tiefpunkt 
des Graphen von 
.
Somit ist die minimale Entfernung des Punktes vom Graphen der Funktion ungefähr 
f)
(1)
Die erste Ableitung von ist: 
Da der Graph von 
durch eine Streckung in -Richtung mit einem positiven Streckfaktor 
aus dem Graphen von 
hervorgeht, stimmen die Lage und die Art der Extremstellen von und überein.
(2)